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专题2.7.3 探索勾股定理（三）六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
3．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西
6．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（）
A．三个内角度数之比为 B．三边之比为
C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2，
7．如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ．
12．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ．
13．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ．
14．如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ．
15．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行．
16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ．
17．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
18．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．若的三边a，b，c满足． 试判断的形状，并说明理由．
20．如图，中，，垂足为D，，，．
(1)求证：；
(2)点P为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．
21．如图，，垂足为D ，，．
(1)求的度数？并说明理由；
(2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长．
22．如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
23．定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数．
(2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程．
24．如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
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专题2.7.3 探索勾股定理（三）六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，结合已知条件可求出A、D选项中对应三角形的三个内角度数，进而可判断A、D；若直角三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断B、C．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意；
B、设，
∵，
∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意；
C、设，
∵，
∴此时该三角形是直角三角形，符合题意；
D、∵，，
∴，，，
∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
3．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则.
【详解】解；如图，取格点F，连接，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B
4．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积；
故选B．
5．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，
，
分两种情况：
如图1，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东，
如图2，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ，
综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西，
故选：A．
6．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（）
A．三个内角度数之比为 B．三边之比为
C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2，
【答案】A
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为
∴最大角为，
∴此时三角形不是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵三边之比为，
∴设，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵三边长分别为，2，，
∴，
∴三角形为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
7．如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最小长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，
此时蚂蚁爬行的最小长度为，
∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：，
则，
即：这只蚂蚁爬行的最小长度为．
故选：D．
8．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．
根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理可得：，
故选：A．
9．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
四边形的面积
．
故选：A．
10．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
12．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
13．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．
【详解】解：如图所示，即为所求，
∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4，
故答案为：4．
14．如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵点D为边上的中点，，
∴，
∵中，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行．
【答案】南偏东
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里），
乙船的路程：（海里），
∵，
∴，
∵是北偏东方向，
∴是南偏东．
故答案为：南偏东．
16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ．
【答案】14
【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和．
【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4，
∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和，
∴的面积为5，
故的面积由勾股定理可得为与的面积之和，
∴的面积为9，
同理可得：的面积为：．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：长方体侧面展开图如图所示．
由题意，得，．
在中，，
∴；
故答案为：
18．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．若的三边a，b，c满足． 试判断的形状，并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，利用完全平方公式将式子化为，再利用非负数的性质，可分别求出，，的值，然后利用勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】解：是直角三角形，理由为：
∴，，，
解得：，，，
∵，
∴是直角三角形．
20．如图，中，，垂足为D，，，．
(1)求证：；
(2)点P为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的长为3或2或．
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求从而可知是直角三角形；
（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
又∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
∴；
（2）解：分三种情况：
①当时，如图：
∵，
∴，
∴；
②当时，如图：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴P是的中点，
∴；
③当时，如图：
∵，，
∴，
综上所述：的长为3或2或．
21．如图，，垂足为D ，，．
(1)求的度数？并说明理由；
(2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)4或或5
【分析】（1）先由勾股定理求出和，再由勾股定理逆定理证出为直角三角形即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
理由：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：分三种情况：①当时，如图，
∵，，
∴，
∴；
②当时，如图，
∵
∴，
∴；
③当时，过点P作于E，如图，
∵，，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，当为等腰三角形时，的长为4或或5．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理、等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
22．如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
【答案】这块空地的面积是
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形面积为：
．
答：这块空地的面积是．
23．定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数．
(2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键．
（1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】（1）解：，，
，，
是类勾股三角形
，
，
是等腰直角三角形，
，
（2）解：如图：以在上找一点使得，再作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
是“类勾股三角形”．
24．如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
【答案】(1)，，
(2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论；
（2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论．
【详解】（1）解：将长方体表面展开，
如图，连接，
在中，，
，
如图，连接，
在中，，
，
如图，连接，
在中，，
，
甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，；
（2）解：，即，
，
又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发，
行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达，
即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
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