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2.8直角三角形全等的判定七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用HL证明全等
【经典例题1】已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．由点是中点，可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论．
【详解】证明：∵D是中点，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【变式训练1-1】图，已知，于点G，于点F，且．
(1)求证：；
(2)吗？请说明理由；
(3)若，是什么三角形？
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)是等边三角形
【分析】（1）由，，，，即可证明，
（2）由，即可证明，
（3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形．
本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式训练1-2】如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据推出，即可根据证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式训练1-3】如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证：
【答案】见详解
【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到．
【详解】证明：，
，即，
，
与都为直角三角形，
在和中，
，
．
【变式训练1-4】如图，在 中，为 的高，点 为 上一点，交 于点 F，，． 求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
首先根据题意得到，然后证明出，进而得到结论．
【详解】为 的高，
，
，
在和中，
，
．
【变式训练1-4】如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出．
【详解】证明：，，
和是直角三角形，
在和中，
，
．
．
又，
；
．
在和中，
，
．
．
【变式训练1-5】如图，已知，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明．
【答案】，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”证明，已知，则添加（斜边相等）即可证明．
【详解】解：条件是，
，
，
和是直角三角形，
证明：在和中，
，
．
题型二：利用“HL”求线段长度
【经典例题2】如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
．
故选：A．
【变式训练2-1】如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长．
【详解】解：平分，，，
，
在和中，
，
，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B
【变式训练2-2】如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的定义，由角平分线的定义得出，再由角平分线的性质定理即可得出，再证明即可得出，即可得解．
【详解】解：∵为的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和，
，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练2-3】在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质．利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练2-4】如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵ 的周长为 4 ， 的周长为12，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练2-5】如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长．
【详解】解：，，
，
是的角平分线，于点，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
题型三：利用“HL”求角度
【经典例题3】如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，连接，如图所示，由中垂线的性质得到，结合等腰三角形的判定与性质得到，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到．
【详解】解：过点作，连接，如图所示：
点在线段的垂直平分线上，
，
，
点在的角平分线上，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键．
【变式训练3-1】如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。
【详解】解：分别过、两点作，于点、，
∵在和中，
∴
∴
∵，
∴
故选：．
【变式训练3-2】如图，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：如图：
，，
，
在和中，
，
，
．
故选：C．
【变式训练3-3】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，，
，
．
故选：B．
【变式训练3-4】如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（ ）
A． B． C．减 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故选C
【变式训练3-5】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案
【详解】解：延长，作，，，
设，
∵平分，
∴，，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
故选．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解题的关键．
题型四：添条件问题
【经典例题4】如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据利用“”判定，必须添加斜边相等即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：∵于P，，
∴利用“”判定，必须添加斜边相等，即，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：还需要添加的条件是，
理由是：∵，，
，
在和中，
，
∴，
故选：C．
【变式训练4-2】如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，添加的条件为，
∵，，
∴，
故选：D．
【变式训练4-3】如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
.，，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意；
.，，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意；
.，，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式训练4-4】如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：还需要添加的条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
，
故选：D．
【变式训练4-5】如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：．
【变式训练4-6】如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵于点D，于点F，．
∴，
∵，
∴补充：或，
可得：，故A，C不符合题意；
补充，
∴，
∴，故D不符合题意；
补充，
∴，
∴，故B符合题意；
故选B
题型五：直角三角形全等判定综合问题之多结论问题
【经典例题5】如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】连接，直接证明，即可求证③，再利用等腰三角形的性质导角，可以判定，可判断②．
【详解】证明：连接，
∵，，
∴和均为直角三角形，
∵，
∴，故③符合题意；
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴， 故②符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键．
【变式训练5-1】如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定等等：先证明得到，再由等边对等角推出，则，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
【变式训练5-2】如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到．
【详解】解：如图所示，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∴，故①不符合题意；
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③不符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，故④符合题意；
故选B．
【变式训练5-3】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
，，，
，，，
与不一定相等，
与不一定相等，
点不一定是的中点，
与不一定相等，故①不正确；
②，，
，
，
，
，
，
，
，
，②正确；
③平分，平分，
，，
，③正确；
④由①可知，
，，
，故④正确，
故选：C．
【变式训练5-4】如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确；
②设，则，表示和的长，可判断②正确；
③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；
④分别表示和的长，可判断④不正确；
⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断⑤错误．
【详解】解：是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，故⑤正确；
设，则，
，，
中，，
，
，故②正确；
③如图，过N作于H，连接，
在等边三角形中，
，
平分，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正确；
是的垂直平分线，
，
等边中，，
，
，故④错误；
，
，
，
，
，故①错误；，
综上所述，正确的②③⑤，共3个，
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练5-5】如图，为的外角平分线上一点并且满足，．过作于，交的延长线于，则下列结论：；②；；．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
根据角平分线的性质和定理判断全等即可；
【详解】解：∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵平分，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故选D．
【变式训练5-6】如图，在中．．，平分，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证明判断①；利用余角性质判断②；根据等腰三角形的三线合一判断③；利用全等三角形的性质及等角对等边判断④．此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：，平分，，
，
在和中，
，
∴，
，
平分，故①正确；
，
，
，故②正确；
，
，
不平分，故③不正确；
，，
，
，
，
，
，
，，
，故④正确；
故选：C．
题型六：直角三角形全等判定综合问题之动点问题
【经典例题6】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．利用分类讨论的思想，结合三角形全等的判定和性质列出方程求解即可；分类讨论：①当点E在线段上，且时，②当点E在线段延长线上，且时，③当点E在线段上，且时和④当点E在线段延长线上，且时，再分别列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：分类讨论：①当点E在线段上，且时，，
∵动点E的速度为2/秒，
∴，
∴，
解得：；
②当点E在线段延长线上，且时，，
∵动点E的速度为2/秒，
∴，
∴，
解得：；
③当点E在线段上，且时，，
∵动点E的速度为2/秒，
∴，
∴，
解得：；
④当点E在线段延长线上，且时，，
∵动点E的速度为2/秒，
∴，
∴，
解得：．
综上可知符合条件的t值有4个．
故选C．
【变式训练6-1】如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒．
【答案】或4或
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定；分三种情形：①当时，点在上，②当时，分别构建方程求解即可；
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，
设，，
∵平分，
∴，则，
在中，
∴
∴，则
在中，
解得：
∴，则
①当时，
动点从点出发，以每秒的速度沿边匀速运动，
∴点的运动时间为秒，
②当时，当在上时，
∵
∴
∴点的运动时间为秒，
当在上时，
在中，
∴
∴
∴
∴点的运动时间为秒
综上所述，点的运动时间或4或
故答案为：或4或．
【变式训练6-2】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等．
【答案】0，3，9，12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
①当E在线段上，时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为（秒）；
②当E在上，时，，
则，
∴，
点E的运动时间为（秒）；
③当E在线段上，时，
∵，
∴，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在上，时，，
则，
∴，
点E的运动时间为（秒）．
综上所述，当点E经过0秒，或3秒，9秒，12秒时，与全等．
故答案为：0，3，9，12．
【变式训练6-3】如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
【答案】或或
【分析】本题考查了三角形全等的判定，分两种情况：①当 P在线段 上，②当 P在射线 上，再分别分和 两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：①当在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
②当在线段上，时，，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意；
③当在射线上，时，，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
【变式训练6-4】如图，在中，，厘米，厘米，动点以4厘米/秒的速度从点向点运动，动点以2厘米/秒的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)与有什么数量关系______；
(2)求证：在运动过程中，不管取何值，都有；
(3)当取何值时，与全等．
【答案】(1)=．
(2)见详解．
(3)当秒时，△DFE与△DMG全等．
【分析】（1）在RtAFD和RtAMD中，由“HL”可证RtAFD≌RtAMD，可得AF=AM；
（2）由角平分线的性质得DF=DM，再由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
在RtAFD和RtAMD中，，
∴RtAFD≌RtAMD（HL）；
∴AF=AM；
故答案为：AF=AM
（2）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵，，
∴，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，
动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=4t（cm），CG=2t（cm），
∴即，
∴在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC．
（3）解：若△DFE与△DMG全等，且DF=DM，∠EFD=∠GMD=90°，
∴EF=MG，
①当0＜t＜2时，点G在线段CM上，点E在线段AF上，
∴EF=10-4t,MG=4-2t,
∴10-4t=4-2t,
∴t=3（不合题意，舍去）；
②当2≤t＜2.5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上，
EF=10-4t,MG=2t-4，
∴10-4t=2t-4，
∴；
综上所述，当秒时，DFE与DMG全等；
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练6-5】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C方向，朝着点C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)在运动过程中，当t 取何值时，点P恰好在∠BAC的角平分线上；
(2)在运动过程中，当t 取何值时，△PBC是等腰三角形．
【答案】(1)t＝时，点P恰好在∠BAC的角平分线上
(2)当t的值为1.4或2或2.5时，△PBC是等腰三角形
【分析】（1）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，证明Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），得AD＝AC＝8，从而求得BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，求解即可；
（2）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC.
由题意知，PD=PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t，BP＝2t﹣10.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8；
∵PC=PD，AP=AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝2.
在Rt△BDP中，22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得t＝．
（2）解：①若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2.
②若PC＝BC，
过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB CH＝AC BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2.
∴点P运动的长度为AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4.
③若PC＝PB，
则∠PCB=∠B.
∵∠PCB+∠PCA =∠A+∠B=90°，
∴∠PCA =∠A
∴AP=PC=PB=5.
点P运动的长度为AP＝2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
题型七：直角三角形全等综合
【经典例题7】如图，已知平分的外角，为上一点，．
(1)如图，求证：；
(2)判断的形状并证明；
(3)如图，过点作于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题；
（2）在射线上截取，连接，证明，得到，再证明即可；
（3）作于点E证明，即可．
【详解】（1）如图，设交于点．
，，
又，，
（2）结论：是等腰三角形．
理由：在射线上截取，连接．
平分，
．
在和中，
∵，
，
，．
，
，
，
，即为等腰三角形；
（3）如图，作于点G．
平分，，，
．
在和中，
，
．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
【变式训练7-1】如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，得到，即可得证；
（2）角平分线的性质，得到，证明，得到，进而得到是线段的垂直平分线，分割法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，中，，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）由直角三角形的性质可得，，从而得出，再由“”可证，可得，再证明即可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-3】如图1，平分，，，垂足分别为点D、E．
(1)求证：；
(2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，（1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练7-4】如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）根据，，得到得到即可证明．
（2）根据平分，且，继而得证．
（3）先证明，再判定线段垂直平分线，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，且，，
∴．
（3）解：∵
∴．
∴．
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练7-5】如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，利用即可判定；
（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，根据邻补角定义求解即可；
（3）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】（1）证明：平分，于点，于点，
，
垂直平分线段，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-6】如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：①；
②；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据条件可证得，然后根据角的关系即可得证；②连接，根据条件可证得，然后根据边长关系等量代换即可得解；
（2）由三角形全等的性质可得到，根据等边对等角性质得到，由三角形内角和计算出，然后由即可得解．
【详解】（1）证明：①，，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
②连接，
，，
，
在和中，
，
，
，
由①知，
，
；
（2）解：，
，
由①知，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和等知识，熟练掌握相关知识并采用等量代换的方法是解题关键．
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2.8直角三角形全等的判定七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用HL证明全等
【经典例题1】已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．
【变式训练1-1】图，已知，于点G，于点F，且．
(1)求证：；
(2)吗？请说明理由；
(3)若，是什么三角形？
【变式训练1-2】如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：．
【变式训练1-3】如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证：
【变式训练1-4】如图，在 中，为 的高，点 为 上一点，交 于点 F，，． 求证： ．
【变式训练1-4】如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：．
【变式训练1-5】如图，已知，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明．
题型二：利用“HL”求线段长度
【经典例题2】如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-1】如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式训练2-5】如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用“HL”求角度
【经典例题3】如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点，过作于点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（ ）
A． B． C．减 D．或
【变式训练3-5】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型四：添条件问题
【经典例题4】如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-4】如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-6】如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（ ）
A． B． C． D．
题型五：直角三角形全等判定综合问题之多结论问题
【经典例题5】如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式训练5-1】如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-2】如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-3】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-4】如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交于点M，点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练5-5】如图，为的外角平分线上一点并且满足，．过作于，交的延长线于，则下列结论：；②；；．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练5-6】如图，在中．．，平分，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型六：直角三角形全等判定综合问题之动点问题
【经典例题6】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练6-1】如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为 秒．
【变式训练6-2】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等．
【变式训练6-3】如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
【变式训练6-4】如图，在中，，厘米，厘米，动点以4厘米/秒的速度从点向点运动，动点以2厘米/秒的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)与有什么数量关系______；
(2)求证：在运动过程中，不管取何值，都有；
(3)当取何值时，与全等．
【变式训练6-5】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C方向，朝着点C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)在运动过程中，当t 取何值时，点P恰好在∠BAC的角平分线上；
(2)在运动过程中，当t 取何值时，△PBC是等腰三角形．
题型七：直角三角形全等综合
【经典例题7】如图，已知平分的外角，为上一点，．
(1)如图，求证：；
(2)判断的形状并证明；
(3)如图，过点作于点，若，，求线段的长．
【变式训练7-1】如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式训练7-2】如图，中，，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【变式训练7-3】如图1，平分，，，垂足分别为点D、E．
(1)求证：；
(2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长．
【变式训练7-4】如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
【变式训练7-5】如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练7-6】如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：①；
②；
(2)若，，求的度数．
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