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专题2.8 直角三角形全等的判定七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在中，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意证得即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故选：B．
2．如图，，添加条件后能用“”判定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型．
【详解】解：，，
，
，
当时，．
故选：A．
3．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．斜边和直角对应相等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定及直角三角形全等的判定是解题的关键．
【详解】A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，不符合题意；
D、斜边和直角对应相等，不能证明两直角三角形全等，符合题意．
故选：D．
4．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（ ）
A．11 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
是的角平分线，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
和的面积分别为48和37，
，
．
故选：B．
5．如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为，然后根据列出方程求解即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
是的角平分线，，
，
在和中，
，
，
，设面积为，
同理，
，
即，
解得．
故选：B
6．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质．利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
．
故选：A．
8．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（ ）时， 和全等．
A．3 B．6 C．3或 D．3或6
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据对应边的不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：，
，
①当时，
在和中
，
（）；
②当时，
同理可证：（）；
3或6时，和全等；
故选：D．
9．如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，连接，根据题意得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，利用可证明，可得，，即可得，掌握尺规作图，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，
∴垂直平分，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧，交于点，连接，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
,
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
综上，A、B、D正确，
故选：C．
10．如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由I是三内角平分线的交点，，可得，，由，可得，进而可得，可判断①的正误；如图，作于，作于，则，由，可判断②的正误；证明，则，同理，，由，即，可判断③的正误；由于无法判断全等，则不一定相等，，可判断④的正误．
【详解】解：∵I是三内角平分线的交点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，①正确，故符合要求；
如图，作于，作于，
∵I是三内角平分线的交点，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∵，，
∴，
∴，
同理，，
∴，即，③正确，故符合要求；
∵，，但无法判断全等，
∴不一定相等，
∴，④错误，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，线段垂直平分线的性质，得到，证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴．
故答案为：．
12．如图，，，，垂足分别为，，则图中全等三角形有 对．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是明确全等三角形的判定方法：，，，．根据题意和题目中的条件，全等三角形的判定方法，可以写出全等的三角形，本题得以解决．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，，
；
，
，
，，
；
，，，
；
由上可得，图中全等三角形共有3对，
故答案为：3．
13．如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ．
【答案】3
【分析】如图，过作于，证明，，可得，再进一步解答可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
14．如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析证明是解题的关键．过点D作，证明得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出答案即可．
【详解】解：过点D作，如图所示：
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：48．
15．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
【答案】或或
【分析】本题考查了三角形全等的判定，分两种情况：①当 P在线段 上，②当 P在射线 上，再分别分和 两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：①当在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
②当在线段上，时，，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意；
③当在射线上，时，，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
16．如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，可判定，从而得出，则．综合运用相关知识解决问题是关键．
【详解】解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为7．
18．如图所示，在中，分别是上的点，作，，垂足分别为点，若，，．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②④
【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，证明即可判断①；由角平分线的判定定理即可判断②；由全等三角形的判定定理即可判断③；由角平分线的定义和三角形的外角性质得到，即可判断④；掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，，，
∴点在的平分线上，
即平分，故②正确；
在和中，，，无法找到满足全等的第三个条件，所以无法判断，故③错误；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可
【详解】证明：∵，
∴和均为直角三角形，
在和中，
∵，
∴．
20．如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数．
【答案】．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中
，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：证明，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：，
∴，
∵，，
，
∴
．
22．如图，已知平分的外角，为上一点，．
(1)如图，求证：；
(2)判断的形状并证明；
(3)如图，过点作于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题；
（2）在射线上截取，连接，证明，得到，再证明即可；
（3）作于点E证明，即可．
【详解】（1）如图，设交于点．
，，
又，，
（2）结论：是等腰三角形．
理由：在射线上截取，连接．
平分，
．
在和中，
∵，
，
，．
，
，
，
，即为等腰三角形；
（3）如图，作于点G．
平分，，，
．
在和中，
，
．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
23．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，得到，即可得证；
（2）角平分线的性质，得到，证明，得到，进而得到是线段的垂直平分线，分割法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
24．如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，利用即可判定；
（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，根据邻补角定义求解即可；
（3）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】（1）证明：平分，于点，于点，
，
垂直平分线段，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
．
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【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在中，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，添加条件后能用“”判定是（ ）
A． B． C． D．
3．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．斜边和直角对应相等
4．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（ ）
A．11 B． C．6 D．
5．如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（ ）时， 和全等．
A．3 B．6 C．3或 D．3或6
9．如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则 ．
12．如图，，，，垂足分别为，，则图中全等三角形有 对．
13．如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ．
14．如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是 ．
15．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
16．如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则 ．
17．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ．
18．如图所示，在中，分别是上的点，作，，垂足分别为点，若，，．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，．求证：．
20．如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数．
21．如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图，已知平分的外角，为上一点，．
(1)如图，求证：；
(2)判断的形状并证明；
(3)如图，过点作于点，若，，求线段的长．
23．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
24．如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
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