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2.4.1等腰三角形的判定定理（一）八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：格点图中画等腰三角形
【经典例题1】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练1-2】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练1-3】如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．
(1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形．
(2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形．
【变式训练1-4】在的正方形网络中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）．
(1)如图1，作以为腰的锐角三角形；
(2)如图2，作以为底的锐角三角形．
【变式训练1-5】如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．
(1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上；
(2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上；
(3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上．
【变式训练1-6】在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
(1)在图1中画一个，使得和全等．
(2)在图2中画一个等腰，使得和的面积相等．
题型二：找出图中的等腰三角形
【经典例题2】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练2-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【变式训练2-2】如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练2-3】如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
【变式训练2-4】如图，，，则图中的等腰三角形有 个．
【变式训练2-5】如图，在中，，点在上，且，求：
(1)图中有哪些等腰三角形？
(2)各角的度数．
题型三：根据等边对等角证明等腰三角形
【经典例题3】如图，平分，且，求证：为等腰三角形．
【变式训练3-1】如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形．
【变式训练3-2】如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
【变式训练3-3】如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形 请说明理由．
【变式训练3-4】如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由．
【变式训练3-5】已知：如图，的高相交于点，且．求证：是等腰三角形；
题型四：利用等角对等边证明边相等
【经典例题4】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于．
(1)求的长；
(2)若，并且，求证：．
【变式训练4-1】如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．．
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数；
(3)求证：．
【变式训练4-2】如图，已知中，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，求证：．
【变式训练4-3】已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，，，．求证：．
【变式训练4-4】如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
【变式训练4-5】如图，是的外角的平分线，且，，，求的周长．
题型五：根据等边对等角求边长
【经典例题5】如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式训练5-1】如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ．
【变式训练5-3】如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ．
【变式训练5-4】如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ．
【变式训练5-5】如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ．
【变式训练5-6】如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
题型六：等腰三角形的实际应用
【经典例题6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．
【变式训练6-1】上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为 海里．
【变式训练6-2】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是
【变式训练6-3】如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为 ．
【变式训练6-4】如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为 米．
题型七：等腰三角形中找规律问题
【经典例题7】如图，在射线，上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【变式训练7-2】如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的边长为（ ）
A．32 B．16 C．48 D．64
【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，……在射线上，点，，……在射线上，，，，……均为等边三角形，依此类推，若，则
【变式训练7-4】如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ．
题型八：等腰三角形综合证明
【经典例题8】在中，平分于D，交于H，，连接交于G．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)请写出与的位置关系，并说明理由．
【变式训练8-1】如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点．
(1)证明：；
(2)直接写出的度数；
(3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明．
【变式训练8-2】在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
【变式训练8-3】如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【变式训练8-4】如图，在中，，点D在边上，连接．
(1)利用尺规作图，在右侧，求作线段，使得，且．（不写作法与证明过程，保留作图痕迹）
(2)连接，若．求的度数．
【变式训练8-5】如图，在中，，过点C作，且，过点D作于点E．
(1)求证：；
(2)连接，若F为的中点，连接，试判断的形状，并说明理由．
【变式训练8-6】如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段上．
(1)求证：；
(2)过点E作交于点G，试判断的形状并说明理由；
(3)如图2，若点D在射线上，且，求证：．
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2.4.1等腰三角形的判定定理（一）八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：格点图中画等腰三角形
【经典例题1】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C．
【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个；
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
【变式训练1-1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查的是网格等腰三角形的特点，分以为腰，以为底边两种情况确定C即可；清晰的分类讨论是解本题的关键．
【详解】解：如图，点C的个数有8个，
故选：C．
【变式训练1-2】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答．
【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下：
以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选C．
【变式训练1-3】如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．
(1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形．
(2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型；
（1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一)．
【详解】（1）解：如图即为所求；
（2）解：如图即为所求．
【变式训练1-4】在的正方形网络中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）．
(1)如图1，作以为腰的锐角三角形；
(2)如图2，作以为底的锐角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
（2）根据等腰三角形的判定，使，且满足为锐角三角形即可．
【详解】（1）如图1，即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，即为所求（答案不唯一）．
【变式训练1-5】如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．
(1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上；
(2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上；
(3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
（1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可；
（2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可．
【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；
（2）如图所示线段，即为所求；
（3）如图所示线段即为所求．
【变式训练1-6】在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
(1)在图1中画一个，使得和全等．
(2)在图2中画一个等腰，使得和的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，同底等高面积相等等知识：
（1）根据“”可作，使得和全等；
（2）过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，等腰即为所作
题型二：找出图中的等腰三角形
【经典例题2】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴为等腰三角形，，
∵
∴，
∴，为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴，为等腰三角形，
，
∴，为等腰三角形，
∵，，
∴
∴，为等腰三角形．
综上所述：共有5个等腰三角形．
故选C．
【变式训练2-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
【变式训练2-2】如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．
【详解】解：在中，，
是等腰三角形；
，
，
，
点在的垂直平分线上，
，
是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
，，
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练2-3】如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，
，
，
∴都是等腰三角形；
故答案为：3．
【变式训练2-4】如图，，，则图中的等腰三角形有 个．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．
利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形．
【详解】∵，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
综上所述：图中等腰三角形有6个．
故答案为：6
【变式训练2-5】如图，在中，，点在上，且，求：
(1)图中有哪些等腰三角形？
(2)各角的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键．
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解；
（2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴是等腰三角形
（2）解：设．
，
；
，
；
，
，
，
，
．
题型三：根据等边对等角证明等腰三角形
【经典例题3】如图，平分，且，求证：为等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，．
∴．
∴为等腰三角形．
【变式训练3-1】如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角的余角相等，对顶角相等，推出，进而得到，即可得证．
【详解】∵在中，，
又∵，
∴，
∵中，，
又∵是的平分线，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【变式训练3-2】如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证；
（2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）在上取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式训练3-3】如图，在中，的平分线交于点．判断是否为等腰三角形 请说明理由．
【答案】是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意求得即可求证．
【详解】解：是等腰三角形，理由如下：
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴是等腰三角形
【变式训练3-4】如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由．
【答案】是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据平分得，根据得，可得，即可得是等腰三角形，掌握角平分线的性质，平行线的性质是解题的关键．
【详解】是等腰三角形，理由：
解：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【变式训练3-5】已知：如图，的高相交于点，且．求证：是等腰三角形；
【答案】见解析
【分析】本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可.
【详解】证明：∵的高相交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
题型四：利用等角对等边证明边相等
【经典例题4】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于．
(1)求的长；
(2)若，并且，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，等角对等边：
（1）根据中垂线的性质，结合已知条件推出，进而求出的长即可；
（2）等边对等角，求出，中垂线的性质，得到，进而得到，角的和差关系求出，再根据三角形的内角和定理，推出，即可得证．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，的周长等于，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-1】如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．．
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
（1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据角平分析及等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据三角形内角和定理得出，，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
在中，．
在中，．
（3）证明：在中，
．
在中，
．
∴．
【变式训练4-2】如图，已知中，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的判断与性质，用到的知识点是角平分线的定义，平行线的性质、三角形的内角和．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，再根据，得出，，即可得出，从而得出，再根据，即可得出．
【详解】解：是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【变式训练4-3】已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，先证明，再利用证明，得到，，由此即可证明，进而可得结论．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
，，
，则，
∴．
【变式训练4-4】如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等．
（1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【变式训练4-5】如图，是的外角的平分线，且，，，求的周长．
【答案】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的判定，关键是掌握等角对等边．由是的角平分线，可得，再由平行线的性质可得，，得出，再由等角对等边可得，最后求解即可．
【详解】解：是的角平分线，
，
，
，，
，
，
周长．
题型五：根据等边对等角求边长
【经典例题5】如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长
，
故选：B．
【变式训练5-1】如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
延长交于点，根据平行线的性质和为的中点，证明，求出，，再根据等腰三角形的性质，可得的长，即可选出正确答案．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
∵，
∴，，
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选B．
【变式训练5-2】如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先求出的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴,
∵，
∴，
∴,
∴．
故答案为：．
【变式训练5-3】如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一得到，进而求出，再根据等角对等边即可得出结果．
【详解】解：，
是等边三角形，
．
是边上的中线，
．
是等腰三角形，
，
故答案为：．
【变式训练5-4】如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义求解即可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周长为．
故答案为：．
【变式训练5-5】如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ，
，
，即，
，
，
，
故答案为：3．
【变式训练5-6】如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或7
【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当时，
，
，
，，共线，
，，
，
设，则，
在中，则有
解得，
；
如图2中，当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或7．
故答案为：或7．
题型六：等腰三角形的实际应用
【经典例题6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．
【答案】90
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，方向角的计算，根据方向角先求出，根据平行线的性质得出，得出，根据等腰三角形的判定得出结果即可．
【详解】解：∵，
∵向北的方向线是平行的，
∴，
∴，
∴（海里），
故答案为：90．
【变式训练6-1】上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为 海里．
【答案】45
【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定．
根据“路程＝速度×时间”可求得的长，又由，，可得，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离．
【详解】解：根据题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
即从海岛B到灯塔C的距离是45海里．
故答案为：45海里．
【变式训练6-2】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是
【答案】3
【分析】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案；
【详解】解：作，，
由题意可得，如图所示，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴，
故答案为：3．
【变式训练6-3】如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为 ．
【答案】/16千米
【分析】本题考查了方向角问题，等角对等边；根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可解答
【详解】解：如图：
由题意得：，，
是的一个外角，
，
，
公园与景区的距离为
故答案为：．
【变式训练6-4】如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为 米．
【答案】500
【分析】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理．根据方向角的定义即可求得，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：由题意得，米，
∴，，
∴，
∴，
∴米，
∴图书馆N处与学校P的距离为500米．
故答案为：500．
题型七：等腰三角形中找规律问题
【经典例题7】如图，在射线，上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论．
【详解】解：，，
，
同理，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
【变式训练7-1】如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，数字规律的探求，正确得出各三角形边长的数字规律是解题的关键．根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质，可得出每个等边三角形的边长的规律，进而得出答案．
【详解】是等边三角形，
，
同理可得，，，以此类推，
的边长为．
故选D．
【变式训练7-2】如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的边长为（ ）
A．32 B．16 C．48 D．64
【答案】A
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质得 ，再根据及三角形的外角定理得 进而得由此得 的边长为，同理：的边长为，的边长为，…，以此类推，的边长为 根据此规律可得的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：为等边三角形，
，
∵
为等腰三角形，
即的边长为，
同理：的边长为，
的边长为，
，以此类推， 的边长为
∴的边长为：
，
故选：A．
【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，……在射线上，点，，……在射线上，，，，……均为等边三角形，依此类推，若，则
【答案】
【分析】本题考查图形规律探究，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，总结归纳出是解题的关键．
利用等边三角形的性质、等腰三角形的判定，总结归纳出即可求解．
【详解】解：∵等边，，，
∴，，…，，，，…
，，
，
，
∴
∵
∴
∴
∴
同理，
…
∴
∴．
故答案为：．
【变式训练7-4】如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ．
【答案】128
【分析】根据等边三角形的性质得可得，，再根据，可知，进而求出，然后根据等边三角形的性质说明，可知各角之间的关系，进而得出，即可得出规律，再根据规律得出答案.
【详解】解：∵是等边三角形，
∴
∴.
∵
∴
又∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵、是等边三角形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
以此类推：的边长为，
∴的边长为：．
故答案为：128．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等，弄清各边的规律是解题的关键．
题型八：等腰三角形综合证明
【经典例题8】在中，平分于D，交于H，，连接交于G．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)请写出与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
（1）证明是等腰直角三角形得出根据即可证明；
（2）由得求出得出，可证明得出再证明得出，从而可得出结论；
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论
【详解】（1）证明：在中，
∴
∵即
∴
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴
∴
又
∴
∵
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴，
∵
∴；
（3）解：，理由如下：
在中，平分，
∴
【变式训练8-1】如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点．
(1)证明：；
(2)直接写出的度数；
(3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，可得；
（2）由可得，再结合，通过等量代换可得答案；
（3）在上截取，连接，由可得，再证，，，进而证明是等边三角形，推出，即可证明．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
证明：如图，在上截取，连接，
由（1）得，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键．
【变式训练8-2】在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
【答案】(1)①详见解析；②
(2)详见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．
（1）①根据题意证明即可得到结论；
②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）根据题意补全图形，根据题意证明即可得到结论．
【详解】（1）解：①证明：是的高，，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图：
由①知：，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
故是等腰直角三角形，
；
（2）解：补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
【变式训练8-3】如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
（1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形；
（2）根据，可知，即可得出结论；
（3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∵，
∴．
【变式训练8-4】如图，在中，，点D在边上，连接．
(1)利用尺规作图，在右侧，求作线段，使得，且．（不写作法与证明过程，保留作图痕迹）
(2)连接，若．求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先由得以点A为圆心，半径为，在右侧画弧，再结合作一个角等于已知角，即，即可作出线段；
（2）根据旋转的性质可以证明，再根据全等三角形对应角相等及三角形内角和定理，结合，即可求的度数．
本题考查了作图旋转变换、作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：线段即为所求，如图：
（2）解：如图，连接，
∵，，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
．
答：的度数为．
【变式训练8-5】如图，在中，，过点C作，且，过点D作于点E．
(1)求证：；
(2)连接，若F为的中点，连接，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定：
（1）先由垂线的定义和三角形内角和定理证明，，据此可利用证明；
（2）连接，则由等腰直角三角形的性质得到，，进而打得到，，由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，再证明，即可得到是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
∵，F为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【变式训练8-6】如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段上．
(1)求证：；
(2)过点E作交于点G，试判断的形状并说明理由；
(3)如图2，若点D在射线上，且，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，得到，从而可证得，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）根据等边三角形的性质得，再根据得
，，从而得即可得出结论；
（3）过E作交于M，先证明，得到，从而得出，再由（1）得，得出，则，从而有，根据，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中,
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
如图1，∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（3）证明：如图2，过E作交于M，
由（2）可得是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴
∴．
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