中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.4.1 等腰三角形的判定定理（一）八大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C．
【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个；
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
2．如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
3．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定等等，连接、，由，，可知，由垂直平分线的性质可知，，，则，，进而可知，可知为等边三角形，可知，再结合可求结果．
【详解】解：如图所示，连接、，
在中，，，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
，
故选：C．
4．如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长
，
故选：B．
5．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可；
本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：和的平分线相交于点F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∵，，
∴，
故选A．
6．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线，构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．连接，，首先根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理解得，进而可得，再证明，由全等三角形的性质可得，进一步可得，然后由折叠的性质可得，易得，进而根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，，如下图，
∵，的平分线与的中垂线交于点，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵点沿折叠后与点重合，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形
B．有两边相等且是轴对称图形的三角形
C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形
D．三边都相等的三角形
【答案】B
【分析】本题考查的是等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：有两个内角是的三角形是等边三角形，故A正确；
有两边相等且是轴对称图形的三角形不一定是等边三角形；故B错误；符合题意；
有一个内角是且是轴对称图形的三角形是等边三角形．故C正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，故D正确；
故选 B
8．在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点D，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查基本尺规作图，涉及等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关性质是解答的关键．根据等腰三角形的判定及作图痕迹，结合相关性质逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A，由尺规作图可知：，
∴为等腰三角形，
故选项A的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项B，由尺规作图可知：点D在线段的垂直平分线上，
∴，则为等腰三角形，
故选项B的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项C，由尺规作图可知：点D是线段的中点，
∵是直角三角形，且，
∴，则为等腰三角形，
故选项C的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项D，由尺规作图可知：是的平分线，
只有当时，，则是等腰三角形，但，
故选项D的作法不能使为等腰三角形，符合题意．
故选：D．
9．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，，
∴，
∴是等腰三角形；
B、∵
∴，
∴不是等腰三角形；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
D、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
故选：B．
10．如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键.
由 可证可得故①正确.由等腰三角形的性质可得 故②正确，由全等三角形的性质可得则可得故③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求故④正确，即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， 故①正确.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
故②正确，
，
，
故③正确；
∵平分
∴点到的距离等于点到的距离，设为，
故④正确，
故选：A.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，平分，平分，，与、分别相交于、两点．若，，则的周长是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，涉及角平分线定义、平行线的性质等知识，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答．熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长
，
故答案为：12．
12．如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的性质与判定，根据平移的性质可得，，，则可证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：沿射线方向平移2个单位后得到，
，，，
∴，
∴
是等边三角形，
，
故答案为：4．
13．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
由折叠可得：，
，
平分，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是 ．（填其所有可能性的序号）
①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形
【答案】②③
【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握知识点是解题的关键．
由图可知可能为钝角三角形或等腰三角形．
【详解】解：由三角形中有一个角是钝角知该三角形可能为钝角三角形，
另外两个锐角可能相等，故可能为等腰三角形，
故答案为：②③．
15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则轮船与小岛P的距离是 海里．
【答案】16
【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据角的和差关系和三角形的内角和定理，推出，即可．
【详解】解：由图和题意，可知：，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：16．
16．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与．证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小，
∵C点、P点关于射线对称，
∴射线垂直平分，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长最小值，
故答案为：6．
17．如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到为的角平分线，再证明，再证明是等腰三角形，从而得到，即可求得答案．
【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D，
由题意得，为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
18．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度．
【答案】
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵等腰中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又∵是的中垂线，
∴
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴
∵点沿折叠后与点重合，
∴垂直平分线段，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形的内角和定理，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)13
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键；
（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
又平分，
，
又在和中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接，
，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
又中，，
，
，
．
．
20．在梯形中，，连接，且，在对角线上取点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若平分，且，求的长．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法、、、和和性质（对应边、对应角相等）是解题的关键．
（1）由平行可得到，结合条件可证明；
（2）由条件可证明，结合（1）的结论可得到，可求得的长．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：平分，
，且由（1）可知，
，
，
又由（1）可得，
．
21．如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接．
(1)求证：；
(2)点G为上一点，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三线合一：
（1）证明，即可得证；
（2）取的中点，连接，证明，进而得到，，推出，，进而得到，得到两点重合，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：取的中点，连接，则：，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∵，且都在上，
∴点重合，
∴，
∴．
22．数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．
(1)求轮船在B处时与灯塔M的距离；
(2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上．
【答案】(1)14海里
(2)14海里，南偏东
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识．
（1）由三角形外角定义求出，再由等角对等边得出．
（2）证明是等边三角形，即可求出以及．
【详解】（1）解：据题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵，且，
∴是等边三角形，
∴，，
答：轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上，
故答案为：14海里，南偏东．
23．（1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
（2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析（2）1.5
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
（1）延长到点，使，连接，可根据全等三角形的判定定理证明，得，，由，得，可推导出，得，所以；
（2）延长到，使，连接，证明，得到，，等边对等角和对顶角相等，得到，得到，求出的长即可．
【详解】⑴证明：如图，延长至点，使，连接．
为的中线，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
．
（2）解：如图，延长到G，使，连接，
∵是的中线
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
24．在中，平分于D，交于H，，连接交于G．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)请写出与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
（1）证明是等腰直角三角形得出根据即可证明；
（2）由得求出得出，可证明得出再证明得出，从而可得出结论；
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论
【详解】（1）证明：在中，
∴
∵即
∴
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴
∴
又
∴
∵
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴，
∵
∴；
（3）解：，理由如下：
在中，平分，
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.4.1 等腰三角形的判定定理（一）八大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
3．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．2
6．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．满足下列条件的三角形，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形
B．有两边相等且是轴对称图形的三角形
C．有一个内角是且是轴对称图形的三角形
D．三边都相等的三角形
8．在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点D，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（ ）
A． B．C． D．
9．在中，已知，，分别是，，的对边，则下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
10．如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，平分，平分，，与、分别相交于、两点．若，，则的周长是 ．
12．如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的长为 ．
13．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则 °．
14．如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是 ．（填其所有可能性的序号）
①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形
15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则轮船与小岛P的距离是 海里．
16．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ．
17．如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ．
18．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)已知，，求的长．
20．在梯形中，，连接，且，在对角线上取点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若平分，且，求的长．
21．如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接．
(1)求证：；
(2)点G为上一点，连接，若，求证：．
22．数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．
(1)求轮船在B处时与灯塔M的距离；
(2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上．
23．（1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
（2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度．
24．在中，平分于D，交于H，，连接交于G．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)请写出与的位置关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
