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2.4.2等腰三角形的判定定理（二）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【经典例题1】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-1】已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式训练1-2】已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【变式训练1-3】如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练1-4】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来．
题型二：尺规作图作等腰三角形
【经典例题2】已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
【变式训练2-1】线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练2-2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）．
(1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形；
(2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形；
(3)在图③中以为边画一个面积为4的．
【变式训练2-3】如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(1)的底边长为，底边上的中线为；
(2)的底边长为，腰上的中线为．
【变式训练2-4】如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式训练2-5】如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
题型三：利用等腰三角形的性质和判定求线段长度
【经典例题3】如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【变式训练3-2】如图，已知在中，，H是高和的交点，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C． D．5
【变式训练3-3】如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
【变式训练3-4】如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为 ．（用含字母的代数式表示）
【变式训练3-5】在中，∠B=90°，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ．
题型四：等腰三角形综合之折叠问题
【经典例题4】如图，在等腰中，，．的平分线与线段的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ．
【变式训练4-2】如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则 °．
【变式训练4-3】如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度．
【变式训练4-4】如图，中，，的平分线交于点，已知，，则的长？
【变式训练4-5】如图，在等腰中，，，平分，折叠使得点与点重合，折痕交、、于点、、，连接交于点．
(1)求证：；
(2)连接 ，若，求的长．
【变式训练4-6】 如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．
题型五：等腰三角形综合之多结论问题
【经典例题5】如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【变式训练5-1】在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-2】如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练5-3】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练5-4】如图，在中，，把折叠，使落在上，点与上的点E重合，展开后，折痕交于点，连接．下列结论：①；②图中有对全等三角形；③；④若将沿折叠，则点D不一定落在上；⑤，上述结论中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5-5】如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
题型六：等腰三角形综合之探究问题
【经典例题6】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．
(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，
① 证明 ：．
② 直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
【变式训练6-1】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答：
(1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示）
(2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题；
(3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．
【变式训练6-2】【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．
【猜想证明】请证明：
（1）求证：；
（2）求证：是等边三角形．
【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究：
（3）若点恰好也是的中点，且，求的面积．
【变式训练6-3】（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．
【变式训练6-4】已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且．
(1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论；
(2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
(3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长．
【变式训练6-5】（1）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
题型七：等边三角形的性质与判定
【经典例题7】在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．只有两边相等的三角形 D．无法确定
【变式训练7-1】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形．
【变式训练7-2】已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【变式训练7-3】如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，平分，请判断的形状并说明理由．
【变式训练7-4】如图，在和中，，，．
求证：
(1)；
(2)若点E刚好落在线段上，且，则的形状为________．
【变式训练7-5】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，．
(1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由；
(2)若，试求与之间的关系．
【变式训练7-6】如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形．
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2.4.2等腰三角形的判定定理（二）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【经典例题1】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有个．
故选：C．
【变式训练1-1】已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆，
以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆，
以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，
再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P，
则满足条件的所有点的个数为8，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式训练1-2】已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．
【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；
∵，∴是等边三角形，∴；
当时，是等腰三角形；
当，，当时，都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形．
【变式训练1-3】如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形；
②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形；
③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形；
④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形；
⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形．
⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
【变式训练1-4】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
【变式训练1-5】如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来．
【答案】图见解析，10
【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点；
【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点，
，
所以满足条件的点共有个．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键．
题型二：尺规作图作等腰三角形
【经典例题2】已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
【答案】见解析
【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可．
本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下：
（1）作射线；
（2）在射线上截取；
（3）作的中垂线，交于点D；
（4）截取，
则等腰就是所求的三角形．
【变式训练2-1】线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂线的方法是解决问题．
【详解】解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图：
【变式训练2-2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（保留作图痕迹）．
(1)在图①中以为边画一个面积为3的等腰三角形；
(2)在图②中以为边画一个面积为3的钝角三角形；
(3)在图③中以为边画一个面积为4的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（3）利用分割法作出一个面积为4的即可．
【详解】（1）解：如图①，
要使等腰三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的等腰三角形；
（2）解：如图②，
要使钝角三角形面积为3，即画一个底为2，高为3的钝角三角形；
（3）解：如图③，
图③左图中，，
图③右图中，，
以上两种情况即为所作出的面积为4的．
【变式训练2-3】如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(1)的底边长为，底边上的中线为；
(2)的底边长为，腰上的中线为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在直线上截取，则为所作．
（2）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着作的垂直平分线，然后以点为圆心，为半径画弧交直线于点，于是延长交直线于点，连接，则为所作．
本题考查了基本作图，熟练掌握常见基本作图是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，作图如图1所示：
则为所作．
（2）根据题意，作图如图2所示：
则为所作．
【变式训练2-4】如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【变式训练2-5】如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以为底边的等腰三角形，则需要作线段的中垂线，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线，与直线相交于一点即为点A，连接，即为所求作的等腰三角形．
【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形．
题型三：利用等腰三角形的性质和判定求线段长度
【经典例题3】如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由是的中点可得，进而由可得为的垂直平分线，得到，由三线合一得到，又由得，即得，得到，据此可得的周长，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是的中点，，
∴，
又∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：．
【变式训练3-1】如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，
根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解．
【详解】解：∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-2】如图，已知在中，，H是高和的交点，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，先由三角形高的定义得到，再由三角形内角和定理得到，接着证明是等腰直角三角形，，则可证明，得到．
【详解】解：∵都是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-3】如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到．
【详解】解：是的平分线，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
．
故答案为：4．
【变式训练3-4】如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为 ．（用含字母的代数式表示）
【答案】b
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由，得出，，是等边三角形，那么，再求出．根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，那么，，从而求出．
【详解】，于，
，．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
，
，
．
在中，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练3-5】在中，∠B=90°，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键．
作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长．
【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F，
，
，
，
，
同理，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：1．
题型四：等腰三角形综合之折叠问题
【经典例题4】如图，在等腰中，，．的平分线与线段的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作辅助线，由的平分线与线段的中垂线交于点，可求出，的值，再求出和的值，由折叠性求出，即可求出．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，
等腰中，，，
，
是的平分线，
，
又是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
由折叠性可知，，
，
，
由折叠性可知，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，中垂线定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线
【变式训练4-1】如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ．
【答案】/104度
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又∵，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
，
∴，
∵为的平分线，，
∴为底边上的中线和高线，
即垂直平分，
∴，
，
将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴，
，
在中，．
故答案为：．
【变式训练4-2】如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
由折叠可得：，
，
平分，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度．
【答案】
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵等腰中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又∵是的中垂线，
∴
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴
∵点沿折叠后与点重合，
∴垂直平分线段，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形的内角和定理，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线．
【变式训练4-4】如图，中，，的平分线交于点，已知，，则的长？
【答案】7
【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握还涉及三角形的外角性质、等腰三角形的判定，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定求证，然后问题可解，证明此题的关键是在上截取，连接，利用已知条件求证，此题难易程度适中，适合学生的训练．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
的平分线交于点，
．
在与中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
∵，
．
故答案为：7．
【变式训练4-5】如图，在等腰中，，，平分，折叠使得点与点重合，折痕交、、于点、、，连接交于点．
(1)求证：；
(2)连接 ，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由折叠知，，，垂直平分，根据已知条件可证明，即可得；
（2）连接，可证，从而可求得的长．
【详解】（1）证明：由折叠知，，，垂直平分．
∴
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
（2）解：∵由对折可得：，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
【变式训练4-6】 如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．
【答案】4
【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出是等边三角形．根据折叠的性质可得，，根据点D是的中点，得出是等边三角形，据此即可解得的长．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点E处，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
题型五：等腰三角形综合之多结论问题
【经典例题5】如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明△BDF≌△CEF可对④进行判断．
【详解】解：∵，为三角形ABC的角平分线，
∴，
∴，故①正确；
在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等，
∴，故②错误；
∵，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
若，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，故④正确；
综上，正确的结论是①③④．
故选：C．
【变式训练5-1】在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④．
【详解】解：∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，，，
∴，故①②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，，
∴，故③符合题意；
如图，在上截取，连接，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故④符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键．
【变式训练5-2】如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质定理逐项判断即可．
【详解】解：∵AD是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，故①正确；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故④正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴图中有5对全等三角形，故⑤正确；
∵，
∵，
∴，
∴，即⑥正确．
综上，正确的有6个．
故选：D．
【变式训练5-3】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故①正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据③，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；⑤由，可得，可证是等边三角形，可知⑤正确；⑥过点C作于H，于G，得，则平分，进一步解答可知⑥错误．
【详解】解：①等边和等边，
，，，
，
在和中，
，
，
；
故①正确；
③（已证），
，
（已证），
，
，
在与中，
，
，
；
故③正确；
②，
，
是等边三角形，
，
，
∴；
故②正确；
④，
，
等边，
，
∴，
，
．
故④正确；
，
，
又，
是等边三角形，故⑤正确；
⑥如图，过点作于，于，
，，
，
平分，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
当平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，互相矛盾，
⑥错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练5-4】如图，在中，，把折叠，使落在上，点与上的点E重合，展开后，折痕交于点，连接．下列结论：①；②图中有对全等三角形；③；④若将沿折叠，则点D不一定落在上；⑤，上述结论中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的性质和判断，等腰直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是解答本题的关键．由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】解：，，，
，，
把折叠，使落在上，点与上的点重合，
，
，，，
，
，
，
，故错误；
在和中，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
图中共有对全等三角形，故正确；
，，
，
，故正确；
，
，
，
，
将沿折叠，则点一定落在上，故错误；
连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，故正确，
故选：B．
【变式训练5-5】如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
①根据等边对等角，可得、、则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此即可求解；③证明且，即可证得是等边三角形；④先证明，则．
【详解】解：①如图1，连接，
，
，
，
，
，
，
∴，故①正确；
②由①知：，
∵点是线段上一点，
∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确；
③∵，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形；故③正确；
④如图2，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴；故④正确；
∴正确的结论有：①③④．
故选：B．
题型六：等腰三角形综合之探究问题
【经典例题6】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．
(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，
① 证明 ：．
② 直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)或17
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论；
（2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在中，，为边的中点，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
②∵,
∴,
根据图中所示，
,
∵为边的中点，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接
在中，，为边的中点，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴,
即,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
∵,
∴,
根据图中所示，
,
∵为边的中点，
∴.
∴.
（3）如（1）中结论，
∵，，
∴,
,
∵,
∴.
②如（2）中结论，
∵，，
∴,
,
∵,
∴
【变式训练6-1】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答：
(1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示）
(2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题；
(3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据定理解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，再由三角形的三边关系计算即可得出答案；
（3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴小明证明用到的判定定理是；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）证明：如图，延长到点，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-2】【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．
【猜想证明】请证明：
（1）求证：；
（2）求证：是等边三角形．
【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究：
（3）若点恰好也是的中点，且，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出；
（2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形．
（3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以．
【详解】解：（1）与都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）证明：点，分别是，的中点，
，，
，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形．
（3）与都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点，分别是，的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，且点也是的中点，
，
，
，，
，
，
的面积为．
【变式训练6-3】（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质；
（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到；
（2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论；
（3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案．
【详解】（1）证明：直线，直线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），理由如下：
如图2，，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）由（2）可知，，
，，
和均为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【变式训练6-4】已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且．
(1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论；
(2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
(3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长．
【答案】(1)
(2)相等，见解析
(3)7或3
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可．
（2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明．
（3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：，理由如下：
为等边三角形，点为的中点，
，平分，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：相等，即，理由如下：
如图，过作交于，
是等边三角形，
，，
，，
即，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于，
则为等边三角形，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
如图，当点O在射线上时，∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
过点O作，则，
∴，
∴，
又∵，
∴；
综上所述，长为或．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式训练6-5】（1）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（），理由见解析；（），理由见解析．
【分析】（）由可证，根据性质可得，即可得结论；
（）延长交的延长线于点，证明，然后根据性质和线段和差即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（），理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴；
（），理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型七：等边三角形的性质与判定
【经典例题7】在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．只有两边相等的三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质得到，根据等边三角形的概念判断即可．本题考查的是因式分解的应用、等边三角形的概念，灵活运用配方法、非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
则，
，
，
，，，
，
是等边三角形，
故选：B．
【变式训练7-1】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了翻折变换的性质,平行线的性质和等边三角形的判定，掌握翻折变换的性质是解题关键．利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出即可得出答案；
【详解】证明：，，
，
将沿折叠，点的对应点为点，
，
，
，
是等边三角形．
【变式训练7-2】已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的度数是；；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可；
（2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴的度数是；
（3）证明：∵，
∴，
又∵点M、N分别是线段的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式训练7-3】如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，平分，请判断的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到，已知，则，可判定，即可得到；
（2）由，，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：
∴
∴
（2）是等边三角形
∵平分，
∵
∴是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式训练7-4】如图，在和中，，，．
求证：
(1)；
(2)若点E刚好落在线段上，且，则的形状为________．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）由推导出，而，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以是等边三角形，于是得到问题的答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【变式训练7-5】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，．
(1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由；
(2)若，试求与之间的关系．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
理由：，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）若时，则，
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-6】如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义，三角形内角和定理推出．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
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