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2.5逆命题和逆定理五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：写出一个命题的已知、求证及证明过程
【经典例题1】命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型．
写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明．
【详解】解：已知：，，
求证：，
证明：，
．
，
，
，
．
【变式训练1-1】请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．）
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题的证明，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先根据题意，画出图形，写出已知和求证，通过构造等边三角形进行证明即可．
【详解】解：如图，已知在中，，
求证：；
证明：延长至点，使，连接，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【变式训练1-2】命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在中，
求证：
证明：
．
【变式训练1-3】如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④
(1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号）
(2)证明（1）中命题的正确性．
【答案】(1)①②③，④
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定．
（1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论．
（2）利用（1）中条件证明即可．
【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么；
∴①②③，④；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SSS），
∴，
∴．
【变式训练1-4】证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可．
【详解】已知：如图所示，分别为三个外角，
求证：．
证明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【变式训练1-5】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
【答案】见解析
【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．
题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；
结论：它们互相垂直．是真命题；
如图，，是邻补角，，分别平分，．
题型二：已知证明过程填写理论依据
【经典例题2】如图所示，，那么 ，依据是 ．
【答案】 ， 同角的余角相等
【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.
【详解】解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为，同角的余角相等.
【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.
【变式训练2-1】（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．
（2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______．
【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， .
【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可；
（2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．
（2）根据题意，当时，
有：（SSS），
所依据的数学公理是SSS；
故答案为 ， ， ， .
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理.
【变式训练2-2】补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
【答案】答案见详解；
【分析】
本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【变式训练2-3】补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
．
【变式训练2-4】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．
题型三：根据给出的论断组命题并证明
【经典例题3】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键．
【变式训练3-1】如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
【答案】答案见详解
【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明；
【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题．
【变式训练3-2】如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【变式训练3-3】如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
【变式训练3-4】如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【详解】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
【变式训练3-5】如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；
（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．
【详解】解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
题型四：写出命题的逆命题
【经典例题4】下列各命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的三个角分别对应相等
B．三个角都是的三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确写出命题的逆命题是解题的关键．
先写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定、全等三角形的判定定理、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可．
【详解】解：A、逆命题为：三个角对应相等的两个三角形全等，为假命题，故符合题意；
B、逆命题为：等边三角形的三个角都是，为真命题，故不合题意；
C、逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题，故不合题意；
D、逆命题为：到这条线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，为真命题，故不合题意；
故选：A．
【变式训练4-1】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等
C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．如果两个数相等，那么它们的平方相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了判断命题逆命题的真假，熟知三角形内角和定理，对顶角性质，两直线位置关系等知识是解题的关键．先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
B、原命题的逆命题为：两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
C、原命题的逆命题为：若两直线有交点，则两直线垂直，是假命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为：如果两个数的平方相等，那么它们相等，是假命题，不符合题意；
故选A．
【变式训练4-2】已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了原命题与逆命题、真命题与假命题、对顶角相等、平行线的性质与判定，直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识．先根据相关知识判断四个命题的真假，再写出逆命题并判断真假即可求解．
【详解】解：①“对顶角相等”是真命题，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，不合题意；
②“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，符合题意；
③“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”是真命题，符合题意；
④“三条边对应相等的两个三角形全等”是真命题，逆命题“两个全等三角形的三条对应边分别相等”是真命题，符合题意．
故选：B
【变式训练4-3】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
【变式训练4-4】命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是 ．
【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键．
交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题．
【详解】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”．
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
【变式训练4-5】在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ．
【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等
【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理．
【详解】解：∵题设是条件，结论是结果，
∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行，
∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等．
故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
题型五：定理和证明
【经典例题5】下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
【答案】B
【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；
B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长至D使，不是定义，不符合题意；
故选：B
【变式训练5-1】下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题
【答案】C
【分析】本题考查了命题的相关概念及定理，命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，真命题的逆命题不一定是假命题，据此逐项判断即可，掌握命题、逆命题及逆定理的相关概念是解题的关键．
【详解】解：、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意；
、每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意；
、每个命题都有逆命题，此选项说法正确，符合题意；
、假命题的逆命题不一定是假命题，此选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【变式训练5-2】下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题
B．任何定理一定有逆定理
C．任何命题一定有逆命题
D．定理一定是命题，但不一定是真命题
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系分别判断后即可确定正确答案，解题的关键是了解命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系．
【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故原说法错误，不符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等，没有逆定理，故原说法错误，不符合题意；
C、任何命题一定有逆命题，原说法正确，符合题意；
D、定理一定是命题，且是真命题，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-3】下列说法不正确的是（ ）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
【答案】C
【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键.
【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意；
定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意；
对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意；
要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意；
故选：C
【变式训练5-4】下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形顶角的平分线与底边不垂直
C．等腰三角形有两条对称轴 D．每个定理都有逆定理
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质及定理的定义分析判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，原说法正确，故该项符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线与底边垂直，原说法错误，故该项不符合题意；
C、等腰三角形有一条对称轴，原说法错误，故该项不符合题意；
D、每个定理不一定都有逆定理，原说法错误，故该项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，定理的逆定理的定义，正确掌握各知识点是解题的关键．
【变式训练5-5】下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
【答案】C
【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意；
B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意；
C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；
D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．
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2.5逆命题和逆定理五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：写出一个命题的已知、求证及证明过程
【经典例题1】命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
【变式训练1-1】请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．）
【变式训练1-2】命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
【变式训练1-3】如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④
(1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号）
(2)证明（1）中命题的正确性．
【变式训练1-4】证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【变式训练1-5】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
题型二：已知证明过程填写理论依据
【经典例题2】如图所示，，那么 ，依据是 ．
【变式训练2-1】（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．
（2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______．
【变式训练2-2】补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
【变式训练2-3】补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【变式训练2-4】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
题型三：根据给出的论断组命题并证明
【经典例题3】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【变式训练3-1】如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
【变式训练3-2】如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【变式训练3-3】如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【变式训练3-4】如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
【变式训练3-5】如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
题型四：写出命题的逆命题
【经典例题4】下列各命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的三个角分别对应相等
B．三个角都是的三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【变式训练4-1】下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等
C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．如果两个数相等，那么它们的平方相等
【变式训练4-2】已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练4-3】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【变式训练4-4】命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是 ．
【变式训练4-5】在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ．
题型五：定理和证明
【经典例题5】下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
【变式训练5-1】下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题
【变式训练5-2】下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题
B．任何定理一定有逆定理
C．任何命题一定有逆命题
D．定理一定是命题，但不一定是真命题
【变式训练5-3】下列说法不正确的是（ ）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
【变式训练5-4】下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形顶角的平分线与底边不垂直
C．等腰三角形有两条对称轴 D．每个定理都有逆定理
【变式训练5-5】下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
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