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专题突破三：特殊三角形综合之多结论问题（20道）
【选填压轴】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，，，，点D，E为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②若，则；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知：如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知 ABC和都是等边三角形，且，，三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的有（ ）个
A． B． C． D．
4．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边 ABC和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
5． ABC中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
7．如图， ABC中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在 ABC和 ADE中，，，．连接，连接并延长交，于点F，G．若恰好平分，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知 ABC和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③ ADE的周长为；④．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形．故①正确，
，，即有，故②正确，
的周长．故③正确，
不一定相等，故④错误，
故选：C．
12．如图，在 ABC中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在 ABC内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
13．如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，已知 ABC和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
15．如图，在 ABC中，和的平分线，相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②当时，；③若，，则；④若，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③④ D．①③④
16．如图，在中，， ABC的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④连接，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
17．如图，在 ABC和 ADE中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
18．如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
19．如图，在 ABC中，，平分，于点E，于点F，连接交于点G，H在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
20．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中 ABC为含有角的三角板，直线是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板的直角顶点，、分别交、于点E、F．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
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专题突破三：特殊三角形综合之多结论问题（20道）
【选填压轴】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，，，，点D，E为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②若，则；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
先由，得出，再利用证明，①正确； 过点作于点，由等腰三角形性质得出②不正确，利用三角形的外角判断③不正确；先由，得出，进而得出，由勾股定理得出④正确； 即可得出答案．
【详解】①∵ ，
∴， ，
在和中，
，
∴， ①正确；
②如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴，即， ②正确；
③∵，③不正确；
④由①知，
∴， ，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在中， 由勾股定理得：，
∵， ，
，④正确，
正确的结论有①②④，
故选：B．
2．已知：如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；
②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【详解】解：①∵，
∴，即，
∵在和中，，
∴，
∴，本选项正确；
②∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，本选项正确；
③∵，
∴，
∴，
则，本选项正确；
④∵，
∴，故此选项正确，
故选：D．
3．如图，已知和都是等边三角形，且，，三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论；
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，①结论正确；
，
，
又，
，
是的外角，
，
，②结论错误；
，
，
在和中，
，
，
，③结论正确；
，
，
又，
是等边三角形，④结论正确；
，
，
，⑤结论正确；
即正确结论的个数是①③④⑤，共个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
4．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，等边三角形的判定和性质．①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，结论①正确．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，结论②正确．
∵，
∴，结论③正确．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，结论④不正确．
∵，结论⑤正确．
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．
5．中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由“”可证可得可判断①④，由等腰直角三角形的性质可判断②③.
【详解】解：∵平分
且，
平分
∴①④正确，
，
且，
∴
∴，
∴②正确，③错误，
故选：C．
6．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】由是中线，得到，由三角形面积公式，即可证明的面积的面积，由余角的性质推出 ，由三角形外角的性质得到 ，由角平分线定义即可证明，由角平分线的性质得到，因此．
【详解】∵是中线，
∴，
∵，
∴E的面积的面积，
∴的面积的面积，故①正确；
∵，
∴，
∴，
同理：，
∵平分，
∴，
∵，，
故②正确；
∵平分
，
，
故③正确；
作于K，
∵平分，
，
，
，
故④错误.
∴正确的是①②③.
故选：B.
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积，三角形的外角的性质，余角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.
7．如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键.
由 可证可得故①正确.由等腰三角形的性质可得 故②正确，由全等三角形的性质可得则可得故③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求故④正确，即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， 故①正确.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
故②正确，
，
，
故③正确；
∵平分
∴点到的距离等于点到的距离，设为，
故④正确，
故选：A.
8．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点F，G．若恰好平分，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键．
证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
【详解】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．
故选：C．
9．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误．
【详解】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合题意；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合题意；
∴，①正确，故符合题意；
∵，，
∴，④错误，故不符合题意；
综上：正确的有①②③，共3个，
故选：C．
10．如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证可得，得①正确；和的大小不确定，得点的位置不确定，又是定值，得不一定平分，得②错误；先证，再证是等边三角形，即可得③正确；过作于，于，证，得，再利用角平分线的判定定理即可得④正确．
【详解】解：和均是等边三角形，
，，，
，，
，
，
故①正确；
和的大小不确定，
点的位置不确定，
又是定值，
不一定平分，
故②错误；
，
，
又，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故③正确；
过作于，于，
，
，
，，
，
，
，，
，
故④正确；
故正确的有个，
故选：C．
11．如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形．故①正确，
，，即有，故②正确，
的周长．故③正确，
不一定相等，故④错误，
故选：C．
12．如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的性质等知识点，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，即可判定①②，推出，求出，即可判定③，由，而只有是的中位线时，，即可判定④，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】中，，，是中点，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
①②正确，符合题意；
，
，
，
③正确，符合题意；
是等腰直角三角形，是的中点，
，
不是的中位线，
，
故④错误，不符合题意；
即正确的有①②③，
故选：A．
13．如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，先由等边三角形的性质得到，再证明得到，即可判断①；进一步证明得到，，即可判断②；再证明是等边三角形，得到，即可判断③；根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断④．
【详解】证明：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∴是等边三角形，
∴，
∴，故③正确；
根据现有条件无法证明，
∴无法证明，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
14．如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，到，再由三角形内角和定理，得出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论；
【详解】解：∵和是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，①结论正确；
，
，
，
，
是的外角，
，
，②结论错误；
，
，
在和中，
，
，
，③结论正确；
，
，
又∵，
∴是等边三角形，④结论正确；
，
，
∴，⑤结论正确；
即正确结论的个数是①③④⑤，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
15．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于点D．下列四个结论：①；②当时，；③若，，则；④若，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定②正确；过作于点，于点，由三角形的面积证得③正确；由角平分线可知，再利用含的直角三角形可的④正确，即可得出结论．
【详解】解：①∵和的平分线相交于点，
∴，，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，，
如图，在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③过作于点，于点，
∵和的平分线相交于点，
∴点在的平分线上，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④∵，平分，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上，正确结论有①②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以及角平分线的性质与判定等知识，含的直角三角形的性质，正确作出辅助线证得是解题的关键．
16．如图，在中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④连接，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分结合三角形的内角和定理，判断①；证明，判断②；证明，判断③，等边对等角，证明，判断④．
【详解】解：∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
∴①的结论正确；
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴③的结论正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴②的结论正确．
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故选：A．
17．如图，在和中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键．利用证明可得，，可判断①选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断②选项正确，由等腰三角形的判定可得，，即可判断③选项正确，进而可求解．
【详解】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②选项符合题意；
，
，
，
∴，
故③选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故④选项不符合题意．
故选：C．
18．如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等；
根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误；
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
故①正确；
在与中
故②正确；
点是线段的中点，
故③正确；
故④错误；
故选：B．
19．如图，在中，，平分，于点E，于点F，连接交于点G，H在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
根据角平分线的性质得出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可．
【详解】解：平分，于点E，于点F，
，，故①正确；
在和中
，
，
，
平分，
，故③正确；
∵在中，，
又，
，故②正确；
，
，故④正确；
，
,
，，
,
,
，
即正确的个数是5个，
故选：D．
20．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中为含有角的三角板，直线是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板的直角顶点，、分别交、于点E、F．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，根据等腰直角三角形的性质可得，，故①正确，，，然后利用“角边角”证明和全等，判断出②正确，根据全等三角形对应边相等可得、，求出，根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得， 判断出③错误；根据全等三角形的面积相等可得，从而求出，判断出④正确，熟记三角形全等的判定方法并求出和全等是解题的关键．
【详解】解∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为中点，
∴， 故①正确；
∵， ，
∴，
∵是直角，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴， 故②正确；
∴、，
∴是等腰直角三角形；
∵，，
∵，
∴， 故③错误；
∵，
∴，
，故④正确；
故选：．
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