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专题突破十：勾股定理的应用之最短路径（20道）
1．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
9．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
10．如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ．
11．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）．
12．如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ．
13．如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．
14．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ．
15．在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．
16．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ．
17．深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ．
18．如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ．
19．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米．
20．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
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专题突破十：勾股定理的应用之最短路径（20道）
1．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
【详解】解：如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上，
则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度，
依题意，，
此时．
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故选：C．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．明确少走的路长为是解题的关键．
【详解】解：如图，点为长方形的顶点，点和点都在长方形的边上且，，
∴，
∴，
∴他们少走的路长为：．
故选：D．
3．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可．
本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键．
【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，，
如图所示：，
故选：A．
4．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把长方体按照三种方式展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理分别求出的长度即可求解，正确画出长方体的展开图是解题的关键．
【详解】解：将长方体按如图所示展开，连接，根据两点之间线段最短，线段为点到点的最短路线，此时；
将长方体按如图所示展开，得；
将长方体按如图所示展开，得；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路线的长是，
故选：．
5．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题的是平面展开 最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图所示：
∵长方体的底面边长分别为和，高为．
∴，，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短路径长为；
故选：B．
6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，
解得：．
故选：C．
7．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆柱的计算、侧面展开——路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示：用一根棉线从顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从沿着个长方形的对角线运动到的路线最短．
圆柱底面半径为，
长方形的宽即圆柱体的底面周长为：，
又圆柱高为，
小长方形的一条边长是，
根据勾股定理求得，
，
故选：B．
8．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，
由题意得：，，，
∴，
∵钢管横截面的周长为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是．
故选：．
9．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
【答案】26
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可．
【详解】解：依题意，如图，
根据题意可得：展开图中的，．
在中，，
∴，
即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是．
故答案为：26．
10．如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可．
【详解】解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开，
由题意得，
在中，由勾股定理得，
∵两点之间线段最短，
∴蜘蛛所走最短路径长度为，
故答案为：20．
11．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得；
如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得；
如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得，
∵
∴最短路径长为，
∴用时最少为秒．
故答案为：．
12．如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．将圆柱的侧面展开，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将圆柱沿展开，设点分别为的中点，
连接，根据两点之间，线段最短，可得的长度和就是这根绳子的长度的最短长度．
由题可得：，
，
由勾股定理得：，，
，
故答案为：13．
13．如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解；如图所示，将圆柱展开，
作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，
由题意得，，，
∴由勾股定理得，
故答案为：．
14．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ．
【答案】10
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图1，
，，，
，
；
如图2，
，，，，
，
，
，
蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为．
故答案为：10．
15．在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了立体图形的展开图和勾股定理．将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键．
将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段，由勾股定理计算即可．
【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示，
由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段，
此时，
∵，，
∴，
∴蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是．
故答案为：17．
16．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ．
【答案】100
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理求解即可．
【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
设彩带长为，
∵易拉罐底面周长是，高是，
，
解得：，
所以彩带最短是，
故答案为：100．
17．深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ．
【答案】130
【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可．
【详解】解：如图，将长方体展开：
是正方形，，，
，
，
从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，
，
行走的最短距离为．
故答案为：130．
18．如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由题可知，盒子底面对角线长为，
盒子的对角线长：，
∵细木棒长，
故细木棒露在盒外面的最短长度是：，
故答案为：4．
19．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米．
【答案】/
【分析】本题主要考查了最短路径问题．解题关键是熟练掌握轴对称性质，勾股定理解直角三角形．
由光的反射规律可知，物体和像是关于平面镜对称．设半圆的圆心为O，作半关于对称的半，点P关于在对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G，由轴对称性质知，，得到最短路线为：，由正方形性质知，,，得到, ，由勾股定理得到，即得．
【详解】设半圆的圆心为O，
作半关于对称的半，点P关于对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G，
则，，
激光途经的最短路线为：，
正方形中，,，
∴，
∵，
∴,，
∴，
∴，
∴激光途经的最短路线为米．
故答案为：．
20．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得：；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
，，
由勾股定理得：；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
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