中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破四：特殊三角形综合之“手拉手”模型（15道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．【阅读材料】
小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ．
【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
【深化模型】（3）如图3，，，求证：
【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键．
（1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论；
（3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）证明如图，作，，连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴D、C、H三点共线，
∴，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，
∴．
2．综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图2， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形．
【深入研究】如图3，已知 ABC，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：．
【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形 ABC和 ADE中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”．
[初步把握]根据证明即可
[深入把握]根据证明，再由全等的性质得到
[拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证
【详解】[初步把握]
证明∶
在和中，
．
[深入把握]
证明：和都是等边三角形，
，，，
．
即，
在和中，，
，
；．
，
．
[拓展延伸]
解：，，理由如下：
，
，
即，
在和中，
，，
，
．
3．综合与实践
某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)[材料理解]
如图①，分别以 ABC的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由；
(2)[深入探究]
如图②，连接DE，若，，______；
(3)[实际应用]
如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______．
【答案】(1)相等
(2)680；
(3)米
【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证；
（2）过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G，
根据勾股定理，三角形的全等判定和性质，完全平方公式解答即可．
（3）作等腰直角，使得，，利用三角形全等，勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G，
根据勾股定理，得
；
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：680．
（3）解：作等腰直角，使得，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
4．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知 ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）先证，再根据即可证明；
（2）先证，再根据即可证明；
（3）连接，先证，则可得，，进而可得．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形，
∴，
又∵
∴，即，
在和中，，
∴．
故答案为： ，
（2）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
5．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1，在 ABC和 ADE中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________．
(2)如图2，已知 ABC，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
【答案】(1)，；
(2)①证明见解析；②4
【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解；
（2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出；
②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键．
6．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)【初步把握】如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2， ABC和 ADE是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度．
【答案】(1)；
(2)；；理由见解析
(3)4；4
【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
（1）由，可得，根据可得，则可得出结论；
（2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，；
（3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
故答案为：；；
（2）解：与的数量关系是，位置关系是
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵是等腰直角三角形，
∴，
将绕M点顺时针旋转得（N与重合），
连接，
∴，
∴，，
∴，
当有最小，即最小，当轴时，
由，，
∴，，
∴，最小值为4．
7．阅读学习“手拉手”模型：如图1，
条件：（1） ABC和 ADE都是等腰三角形；
（2）（顶角相等）
结论：．
解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得．
解决问题：如图2， ABC和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G．
(1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
(2)求的度数．
【答案】(1)，详见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据等边三角形的性质，结合证明即可；
（2）全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到，利用平角的定义，即可求出的度数．
【详解】（1）解：
理由：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴（）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若，，，则，请证明他的发现；
（2）问题解决：如图②，，，．
①试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明；
②若，线段与线段交于点F，连接，当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，会运用全等三角形解决问题．
（1）利用等式的性质得出，再根据证明即可得出结论；
（2）①结论：．由，推出，，可得，利用勾股定理即可解决问题；
②由勾股定理可知，再根据，得，，可知，即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①结论：．理由如下：
∵，，，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，，
则，
∴．
9．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1， ABC和 ADE中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：．
(2)【模型指引】如图2， ABC中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3， ABC中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)；证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出；
（3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴（等量代换）
即，
在和中
∴．
（2）解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：；理由如下：
如图，在的延长线上找一点E，使，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向．
10．（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）类比探究：如图2， ABC和 ADE都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即．
（3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：
即
在和中
，
．
（2）与的数量关系是，位置关系是．
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，，
是等腰三角形且，
，
，
，
．
（3）解：由（1）的方法得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
．
，
，
，
，
四边形的面积
11．如图1，等边 ABC与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，直接写出和之间满足的数量关系．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得；
（2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
．
．
（2）证明：过点作于，于，设交于．
，
，
，，
，，
，，
，
平分；
（3）解：，理由如下：
在上取一点，使得，连接，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
同理（1）可证，
，
设，，，
，
同法可证，
，
，
，
，
12．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①， ABC与 ADE都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图②， ABC与 ADE都是等腰三角形，，且，则有______________________；
【深入研究】如图③，已知 ABC，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：；
【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角 ABC和 ADE中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】初步把握：
深入研究：详见解析
拓展延伸：
【分析】[初步把握]易证，再证即可；
[深入研究]易证，再证，即可得出结论；
[拓展延伸]易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可．
【详解】[初步把握]
解：，
，
即，
在和中，
，
，
故答案为：；
[深入研究]
证明：和都是等边三角形，
， ，
即，
在和中，
．
[拓展延伸]
解：，
理由如下：
，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
13．【问题】：如图1，等腰直角三角形中，，，是 ABC的角平分线，点E为上一点，交延长线于点F，连接，探究，，之间的数量关系．
【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点E作的垂线与相交于点G（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）请根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）请直接写出，，之间的数量关系；
【应用】（3）当时，请直接写出的长为 ；
【拓展】（4）若的中点为点M，当B，E，M三点共线时，请直接写出的长为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）（4）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和可以证得，又由，，可证得，再证明，即可证得答案；
（2）由（1）知是等腰直角三角形，可得，同时由（1）证得的可知，即可得到答案；
（3）将，代入即可求得答案；
（4）由（1）证得的可知，利用等腰三角形的三线合一性质可得，是的垂直平分线，从而得到，，最后代入（2）的结论中即可求得答案．
【详解】（1）过点E作交于点G，则，
在等腰直角三角形中，，是的角平分线，
，
，
，
，
与的交点记作点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
根据勾股定理得，，
由（1）知，，
，
；
（3）解：由（2）知，，
，，
，
，
故答案为：．
（4）解：如图，在中，，
，
由（1）知，，，
是的中点，
，，
即是的垂直平分线，
∵点B，E，M三点共线，
∴是的垂直平分线，
，
，
由（2）知，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用以上定理是解答本题的关键．
14．（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现；
（2）问题解决
如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明；
（3）拓展探究
如图③， ABC和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）利用等式的性质得出，再根据证明即可得出结论；
（2）结论：．由，推出，，可得，利用勾股定理即可解决问题；
（3）证明，可得，根据点M，N，F分别是和的中点，有，从而可得，通过角的换算即可得,得出，过F作,得，，从而可求出．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）结论：．
理由：如图2中，连接，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）∵均为等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∴
∵点分别为边中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴
过点F作于点G，如图，
∴
由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，会运用全等三角形解决问题．
15．【提出问题】
如图1，等腰直角三角形中，，，点D为上一点，将线段绕点D逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点D作的垂线与相交于点F（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）直接写出，，之间的数量关系：______；
【拓展思考】
（3）如图3，延长、相交于点M，点N是的中点，若M，D，N三点共线时，求线段的长度．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）如图2中，过点D作的垂线与相交于点F，根据证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质证明即可；
（3）过点D作于点H，证明，设，构建方程求解．
【详解】解：（1）证明：如图2中，过点D作的垂线与相交于点F．
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴；
（2）结论：．
理由：是等腰直角三角形，
，
∵，
，
．
故答案为：；
（3）如图3中，过点D作于点H．
如图2中，由（1）可知，
，
如图3中，，
，
，
，，
，
∵M，D，N三点共线，
垂直平分线段，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破四：特殊三角形综合之“手拉手”模型（15道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．【阅读材料】
小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ．
【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
【深化模型】（3）如图3，，，求证：
2．综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图2， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形．
【深入研究】如图3，已知 ABC，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：．
【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形 ABC和 ADE中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
3．综合与实践
某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)[材料理解]
如图①，分别以 ABC的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由；
(2)[深入探究]
如图②，连接DE，若，，______；
(3)[实际应用]
如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______．
4．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知 ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
5．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1，在 ABC和 ADE中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________．
(2)如图2，已知 ABC，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
6．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)【初步把握】如图1， ABC与 ADE都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ；
(2)【深入研究】如图2， ABC和 ADE是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度．
7．阅读学习“手拉手”模型：如图1，
条件：（1） ABC和 ADE都是等腰三角形；
（2）（顶角相等）
结论：．
解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得．
解决问题：如图2， ABC和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G．
(1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
(2)求的度数．
8．（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若，，，则，请证明他的发现；
（2）问题解决：如图②，，，．
①试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明；
②若，线段与线段交于点F，连接，当时，求线段的长．
9．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1， ABC和 ADE中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：．
(2)【模型指引】如图2， ABC中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3， ABC中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明．
10．（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）类比探究：如图2， ABC和 ADE都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
11．如图1，等边 ABC与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，直接写出和之间满足的数量关系．
12．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①， ABC与 ADE都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图②， ABC与 ADE都是等腰三角形，，且，则有______________________；
【深入研究】如图③，已知 ABC，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：；
【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角 ABC和 ADE中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
13．【问题】：如图1，等腰直角三角形中，，，是 ABC的角平分线，点E为上一点，交延长线于点F，连接，探究，，之间的数量关系．
【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点E作的垂线与相交于点G（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）请根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）请直接写出，，之间的数量关系；
【应用】（3）当时，请直接写出的长为 ；
【拓展】（4）若的中点为点M，当B，E，M三点共线时，请直接写出的长为 ．
14．（1）阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现若，，，则，请证明他的发现；
（2）问题解决
如图②，，试探索线段之间满足的等量关系，并证明；
（3）拓展探究
如图③， ABC和是拥有公共顶点C的两个等边三角形，M点、N点、F点分别是的中点．当时，请直接写出的长．
15．【提出问题】
如图1，等腰直角三角形中，，，点D为上一点，将线段绕点D逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点D作的垂线与相交于点F（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）直接写出，，之间的数量关系：______；
【拓展思考】
（3）如图3，延长、相交于点M，点N是的中点，若M，D，N三点共线时，求线段的长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
