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专题突破五：特殊三角形综合之探究问题（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．问题背景 如图（1），在 ABC与 ADE中，，，．求证：．
类比探究 如图（2），D，P是等边 ABC外两点，连接并取的中点M，且，，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，，直接写出的长．
2．（1）问题发现：如图1， ABC和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接．
①的度数为______；
②线段，之间的数量关系是______；
（2）拓展研究：如图2， ABC和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）探究发现：图1中的 ABC和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数．
3．综合与实践：
【问题背景】人教版教材九年级上册第 10题“探索研究”：等边和等边，将绕点A 旋转到某一位置，要求观察图形，提出问题并加以解决．
【探究发现】
（1）如图1，小明连结，并发现与的数量关系，请你探究后写出证明过程．
（2）如图 2，得知小明的结论后，小华又连结，已知，请你求出的长；
【拓展探究】
（3）如图3，小颖画出了等腰直角 ABC和等腰直角 ADE，其中，，点C在上，请你直接写出和之间的数量关系．
4．在 ABC中，，，为上一点，为上一点，连接，为的中点，，于；；
(1)求证：；
(2)探究与的数量关系；
(3)如图2，连接，若平分，，求的值．
5．如图，，，点为中点，连接并延长，交于点．
(1)当时，求的长度．
(2)如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度．
(3)如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由．
6．在 ABC中，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接．
(1)如图1，点D在内部，交于点E，点F是上一点，且，连接．
①求证：；
②若，，求点G到直线的距离．
(2)如图2，点D在的内部，试探究之间的数量关系并说明理由．
7．（1）如图1，在 ABC中，，，平分，，垂足为E，试探究线段和之间的数量关系，并写出你的理由．
（2）如图2，把条件改为：“在 ABC中，，，点D在上，，，与相交于F点，则线段和之间的数量关系如何 并证明你的结论．”
8．已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为．
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系；
(3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长．
9．如图，点O是等边 ABC内一点，连接作等边，连接、、，，．
(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
10．（1）【发现问题】如图1，在 ABC和中，，，，连接，，延长交于点D，则与的数量关系是 ，
（2）【类比探究】如图2，在 ABC和中，，，，连接，，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
（3）【解决问题】如图3，四边形中，，已知，，求的长．
11．问题情境：
已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧．
（）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______．
探究证明：
（）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由．
12．【数学思考】
（1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是 ABC的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论；
【深入探究】
（2）如图2， ABC中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在 ABC中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度．
13．【问题情境】
在等边 ABC中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF．
【探究发现】
（1）如图Ⅰ，若点E在线段上．
①求证：；
②直接写出与间的数量关系： ；
（2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明；
【拓广延伸】
（3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数．
14．如图，
(1)问题发现：如图①， ABC和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为______；
②线段之间的数量关系为______；
(2)拓展探究：如图②， ABC和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图③， ABC和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
15．探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，点D为边的中点，点M为线段上一动点（不与点C，D重合），将线段绕点M顺时针旋转点A的对应点为E，连接．
(1)【初步感知】如图1，若点M在线段上，则的度数是_______；
(2)【拓展探究】如图2，若点M在线段上，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
(3)【问题解决】若，则点M在线段上运动的过程中，当时，请直接写出线段的长．
16．综合与实践课上，李老师以“发现 探究 拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰 ABC中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11 1，当时，线段，的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11 2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11 3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．
17．如图1， ABC中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设
(1)求证：；
(2)①若，则______，______；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
(3)若将“D是延长线上一动点”改为“D是延长线上一动点”，其它条件不变，如图2，请直接写出α与β的关系．
18．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：．
(2)解决问题：如图，在中，，，，分别以 ABC的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长．
19．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 ABC和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ；
(2)类比探究：如图2，在 ABC和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展应用：在 ABC和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数．
20．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角，，，．
（1）在图1中，，求的度数；；
【深入探究】（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，，分别交直线于，两点，小组成员又将沿翻折，使点落在点处．这时他们发现线段与线段有特殊的位置关系，请判断，并说明理由．
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专题突破五：特殊三角形综合之探究问题（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．问题背景 如图（1），在 ABC与 ADE中，，，．求证：．
类比探究 如图（2），D，P是等边 ABC外两点，连接并取的中点M，且，，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见解析；类比探究：；理由见解析；拓展应用：
【分析】问题背景：先证明，再证明即可得到结论；
类比探究：如图，延长至，使，连接，，证明，可得，，再证明，可得，从而可得结论；
拓展应用：过作，且，连接，并延长交于，可得，证明，证明，可得，，可得，从而可得结论．
【详解】问题背景：
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
类比探究：；理由如下：
如图，延长至，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，，
而，
∴，
，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴；
拓展应用：如图，过作，且，连接，并延长交于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，余角的性质，直角三角形的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（1）问题发现：如图1， ABC和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接．
①的度数为______；
②线段，之间的数量关系是______；
（2）拓展研究：如图2， ABC和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）探究发现：图1中的 ABC和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）或
【分析】（1）由“”可证，可得，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知．
【详解】（1）①和均为等边三角形，
，，，
，
．
．
为等边三角形，
，
点，，在同一直线上，
，
，
，；
②，
，；
（2）和均为等腰直角三角形，
，，．
，
，
，，
为等腰直角三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
，
，
，
又，，
，
；
（3）如图3，
由（1）知，
，
，
，
，
如图4，
同理求得，
，
综上所述：的度数是或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识．
3．综合与实践：
【问题背景】人教版教材九年级上册第 10题“探索研究”：等边和等边，将绕点A 旋转到某一位置，要求观察图形，提出问题并加以解决．
【探究发现】
（1）如图1，小明连结，并发现与的数量关系，请你探究后写出证明过程．
（2）如图 2，得知小明的结论后，小华又连结，已知，请你求出的长；
【拓展探究】
（3）如图3，小颖画出了等腰直角 ABC和等腰直角 ADE，其中，，点C在上，请你直接写出和之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析（2）13（3）
【分析】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解．
（1）通过判定，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）由得，再证明，由勾股定理可求出的长；
（3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵与均为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴
由（1）知，，
∴
又
∴
又，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，如图，
∵，，
∴
∵
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
4．在 ABC中，，，为上一点，为上一点，连接，为的中点，，于；；
(1)求证：；
(2)探究与的数量关系；
(3)如图2，连接，若平分，，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析；
(3)m的值为．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求，，由余角的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得结论；
（3）由面积关系可求，由勾股定理可求的长，由面积法可求的值．
【详解】（1）证明：为的中点，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图1，过点作于，
，，
，
，，，
，
，
；
（3）解：如图2，过点作于，过点作于，于，
平分，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的值为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．如图，，，点为中点，连接并延长，交于点．
(1)当时，求的长度．
(2)如图，将的角度都调整为，其余条件不变，求此时的长度．
(3)如图，当的角度都变为，其余条件不变，动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，连接，探究的数量关系并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，理由见解析．
【分析】（）先求出，再证，即可得出结论；
（）先求出，再证，即可得出结论；
（）连接，过点作，交的延长线于点，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，则，然后由勾股定理得，化简即可求解．
【详解】（1）解：∵点为中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵点为中点，，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，连接，过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴,
∵动点在线段上，从点向点运动，动点在线段上，从点向点运动，并且运动速度相同，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴， ，
∴，即，
∴，
∵,
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
6．在 ABC中，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接．
(1)如图1，点D在内部，交于点E，点F是上一点，且，连接．
①求证：；
②若，，求点G到直线的距离．
(2)如图2，点D在的内部，试探究之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①详见解析；②
(2)
【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）①根据全等三角形的判定即可证明；
②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答．
（2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答．
【详解】（1）解：①证明：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
②解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由翻折，得，，
∴，
∴，
∵，
∴点B，D，G共线，
∴，
设点G直线的距离为h，
则，
解得，
即点G到直线的距离为．
（2）解：如图，过A作交的延长线于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由翻折，得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
7．（1）如图1，在 ABC中，，，平分，，垂足为E，试探究线段和之间的数量关系，并写出你的理由．
（2）如图2，把条件改为：“在 ABC中，，，点D在上，，，与相交于F点，则线段和之间的数量关系如何 并证明你的结论．”
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）如图，延长，交于点，证明，得到；再证明，得到，即可解决问题；
（2）如图，作，交的延长线于点，则，证明，得到；证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，延长，交于点，
∵，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，作，交的延长线于点，则，
∵，则，
∴平分；
∵，
∴，
∵，
∴，故，
∴；
∵，
同（1）；
在与中，，
∴，
∴；
在与中，，
∴，
∴，
∴．
8．已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为．
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系；
(3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可；
（3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，同角的补角相等，垂线定义及同角的余角相等等，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
9．如图，点O是等边 ABC内一点，连接作等边，连接、、，，．
(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)或或
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据等边三角形的性质，得出，即可推出，即可求证；
（2）根据全等的性质得出，则，即可得出结论；
（3）根据题意得出由图可知，，，．然后进行分类讨论：①当时，，②当时，，③当时，，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：由图可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
①当时，，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：；
③当时，，
∴，
解得：；
综上：或或．
10．（1）【发现问题】如图1，在 ABC和中，，，，连接，，延长交于点D，则与的数量关系是 ，
（2）【类比探究】如图2，在 ABC和中，，，，连接，，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
（3）【解决问题】如图3，四边形中，，已知，，求的长．
【答案】（1）；（2），，理由均见解析；（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；
（1）根据等腰三角形的性质，利用证明，然后运用全等三角形的性质及角的和差即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明，然后运用全等三角形的性质及角的和差即可解答；
（3）先证明可得，进而得到，再运用勾股定理可得即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
（2），，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）过A作，垂足为A，使，连接、，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
11．问题情境：
已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧．
（）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______．
探究证明：
（）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）；．
【分析】（）由余角性质可得，进而由即可证明，得到，进而得到，，据此可得；
（）过点作于点，如图，同理（）可得，得到，由等腰三角形三线合一得到，即得；
（）如图，作于点，作，作于点，作于点，可得四边形和四边形是长方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，进而得到；如图，作于点，同理（）得到，，即得，，进而可得；
本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：（）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
故答案为：，；
（）， 理由如下：
过点作于点，如图，
同理（）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（）如图，作于点，作，作于点，作于点，
则四边形和四边形是长方形，
∴，，
同理（）可得，，
∴，，
∴，
∴，
即；
如图，作于点，
同理（）可得，，
∴，，
∴，
即．
12．【数学思考】
（1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是 ABC的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论；
【深入探究】
（2）如图2， ABC中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在 ABC中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度．
【答案】（1）见解析 （2）；理由见解析 （3）2
【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答；
（2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；
（3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可．
【详解】解：（1），
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2），
理由：延长到，使，连接，
在与中，
，
，
，，
平分，
，
∵，
，
，
，
；
（3）延长至点，使，连接，
同法可得：，
，，
，平分，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
故的长度为2．
13．【问题情境】
在等边 ABC中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF．
【探究发现】
（1）如图Ⅰ，若点E在线段上．
①求证：；
②直接写出与间的数量关系： ；
（2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明；
【拓广延伸】
（3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数．
【答案】（1）①见解析；②；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）①根据证明即可．
②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得．
（2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题．
（3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，．
【详解】解：（1）①是等边三角形，
，．
又∵，
即．
又，
．
②是等边三角形，
∴，
∵平分
∴
∵
∴
∴
即
∴．
故答案为：
（2）成立，理由如下：
是等边三角形，
，．
又∵，
即．
又，
．
平分，
．
．
．
（3）在和中
，，
∴．
．
，，
．
，
．
．
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，
(1)问题发现：如图①， ABC和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为______；
②线段之间的数量关系为______；
(2)拓展探究：如图②， ABC和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图③， ABC和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
【答案】(1)①；②相等
(2)；，理由见详解；
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答；
（2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系；
（3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：①和都是等边三角形，
，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
在与中，，
，
，
，点B、D、E在同一条直线上，
，
，
，
都是等腰直角三角形，，
，
，
，
的度数为，线段之间的数量关系为：；
（3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得，
和都是等腰三角形，，
，
，
，
．
15．探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，点D为边的中点，点M为线段上一动点（不与点C，D重合），将线段绕点M顺时针旋转点A的对应点为E，连接．
(1)【初步感知】如图1，若点M在线段上，则的度数是_______；
(2)【拓展探究】如图2，若点M在线段上，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
(3)【问题解决】若，则点M在线段上运动的过程中，当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）连接，过点E作于点N，先证明，继而得到．再利用等量代换，证明，可得，结合，计算即可；
（2）连接，过点E作．交延长线于点G，先证明，继而得到．再利用等量代换，证明，可得，结合特殊角的三角函数，证明即可；
（3）当点M在线段上时，连接，计算根据题意证明，利用直角三角形的性质可得，继而计算即可；当点M在线段上，利用同样思路求解即可．
【详解】（1）解：连接，过点E作于点N，
∵，点D为边的中点，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：连接，过点E作．交延长线于点G，
∵，点D为边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴均为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点M在线段上时，连接，
∵，点D为边的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
当点M在线段上时，连接，
∵，点D为边的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形模型的应用，勾股定理，熟练掌握“一线三垂直”模型是解题的关键．
16．综合与实践课上，李老师以“发现 探究 拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰 ABC中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11 1，当时，线段，的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11 2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11 3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32
【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出．
（2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
故答案为：，90．
②，理由如下：
∵，
∴
即，
∵
∴，
在和中，
∴，
∴
∴
∴，
（2）如图，过A作交延长线于G，
∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
即
在和中，
∴
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．
17．如图1， ABC中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设
(1)求证：；
(2)①若，则______，______；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
(3)若将“D是延长线上一动点”改为“D是延长线上一动点”，其它条件不变，如图2，请直接写出α与β的关系．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等角得余角相等得出答案；
（2）①先根据三角形内角和定理求出，再求出，根据三角形内角和定理得出答案；②先求出 ，同理得，且，即可得出答案；
（3）先根据题意作出图形，结合三角形外角的性质和直角三角形的性质可得，进而得出，然后代入整理得出答案．
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2）①∵，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
②．
理由如下：由（1）得．
同理，且，
∴，
∴；
（3）∵，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等，作出图形是解题的关键．
18．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：．
(2)解决问题：如图，在中，，，，分别以 ABC的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论；
（2）如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：，垂足为，如图，
，，，，
，，
．
（2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
19．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 ABC和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ；
(2)类比探究：如图2，在 ABC和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展应用：在 ABC和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数．
【答案】(1)，30
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再说明即可．
【详解】（1）解：如图1，设交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：，30．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图3所示：
∵和都是等腰三角形，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴．
20．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角，，，．
（1）在图1中，，求的度数；；
【深入探究】（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，，分别交直线于，两点，小组成员又将沿翻折，使点落在点处．这时他们发现线段与线段有特殊的位置关系，请判断，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）由平角定义求出，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点作．由平行线的性质得，则，进而得出结论；
（3）由角平分线定义得，由平行线的性质得，，根据折叠得出，根据，利用同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
，
∵，
；
（2）理由如下：
过点作．如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
平分，
，
，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、折叠的性质，三角形内角和定理的应用；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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