中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破一：轴对称图形中的最值问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点A关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：作点A关于的对称点，关于的对称点，则：．
∵的周长，
∴当四点共线时，的周长最短，
连接与的交点即为所求的点M、N，如图：
∵，
∴三点共线，三点共线，
，
由轴对称的性质得：
故选：B．
2．如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．76° B．84° C．96° D．109°
【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值．
【详解】解：如图，延长至，使，
延长至，使，
则垂直平分，垂直平分，
，，
根据两点之间，线段最短，
当，，，四点在一条直线时，最小，
则的值最小，
即的周长最小，
，，
可设，，
在中，，
，，
，
故选：A．
3．如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形，
，，得出结论．
【详解】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，
关于对称，
，，，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
，
，
故选：C
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键．
4．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处．折痕为，此时，若点，是边上的两个动点，且不与点，重合，，当四边形的周长最小时，最小周长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，在上截取，连接交于点，再过点作，交于点，此时最小，即最小，故此时四边形的周长最小．
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，，
∴，
，
故选D.
【点睛】本题考查了翻折变换——折叠问题，勾股定理、线段的最值问题等，正确根据题意画出图形是解题的关键.
5．如图，在中，，边上有一个定点P，M、N分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点P作于点E，且，于点F，且，连接交、于点M、N，连接、，得到，此时周长最短，由此解答．
【详解】解：过点P作于点E，且，于点F，且，连接交、于点M、N，连接、，
此时的周长最短．
∵，，
∴，
∴，
∵，则，
∵，
∴，
∵，且，，且，
∴，关于直线对称，，关于直线对称，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键．
6．如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小，
，，
，
，
，
故答案为：．
7．点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由根据三角形内角和定理即可得出．
【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、，
此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连、、，
由轴对称的性质可知，
，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点，正确构造对称点是解题的关键．
作点P关于的对称点E,连接作点P关于的对称点F，连接由轴对称的性质可知，故当E，M，N，F四点共线时，的周长最小，再根据三角形的内角和定理和轴对称的性质即可求解．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点E,连接
，
作点P关于的对称点F，连接
，
，当E，M，N，F四点共线时，的周长最小．
，
，
又
，
∴在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
9．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．
【答案】/68度
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理．作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小，然后利用轴对称的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小．
∵，
∴．
由轴对称的性质，得，．
∴．
∴．
故答案为：．
10．如图，在中，是的角平分线，点、分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为 ．
【答案】/115度
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论．
【详解】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，同理，
∴，，，
∴，即：，在上时最小．
是的角平分线，
，
∵，
，则，
．
故选：．
11．如图，中， ， 点是边上一点，在边上各找一点，当周长最短时，的度数是 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查利用轴对称确定线段和的最小值．作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最短，进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点， 则：，，
∴，
∵的周长为，
∴当四点共线时，的周长最短，
连接，交于点，此时的周长最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．如图，，平分，点为上一定点，为上的一动点，为上一动点，当最小时，则的度数为 ．
【答案】
【分析】找到点M关于对称点，过点作于点N，交干点P，则此时的值最小．
【详解】解：如图，作点M关于对称点，
∵平分，
∴点一定在上，
过点作于点，交干点P，则此时的值最小
∵，
∴此时，
∵点M与点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．
13．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度．
【答案】84
【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度．
【详解】作点关于的对称点，连接，，；
∴，，
作点关于的对称点，连接，，，
∴，，
∴
当，，，共线时，周长最短
又∵
∴
又∵
∴
∴在中，
∴
∵，
∴
∵
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．
14．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，射线OB上的点，当△PMN的周长最小时，若∠MPN＝100°，则∠AOB= ．
【答案】40°
【分析】作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD交OA于点M，交BO于点N，连接MP、NP、OC、OD，此时△PMN的周长有最小值，由对称性可知∠OCM=∠OPM，∠OPN=∠ODN，可求∠COD=80°，再由∠MON=∠COD即可求解．
【详解】解：作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD交OA于点M，交BO于点N，连接MP、NP、OC、OD，
∴MP=CM，PN=ND，
∴△PMN的周长=MP+MN+NP=CM+MN+DN=CD，此时△PMN的周长有最小值，
由对称性可知OC=OP=OD，∠OCM=∠OPM，∠OPN=∠ODN，
∵∠MPN=100°，
∴∠OCM+∠ODN=100°，
∴∠COD=80°，
∵∠COM=∠MOP，∠PON=∠NOD，
∴∠MON=∠COD=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键．
15．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ．
【答案】80°
【分析】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF＝180°，由∠ACB＝50°，易求得∠D+∠G＝50°，继而求得答案．
【详解】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠EPF＝130°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和的性质，从而完成求解．
16．如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ．
【答案】45°
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【详解】∵S△PBC＝S△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90° 45°＝45°；
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
17．如图，点 P 是∠AOB 内部一定点
（1）若∠AOB＝50°，作点 P 关于 OA 的对称点 P1，作点 P 关于 OB 的对称点 P2，连 OP1、OP2，则∠P1OP2＝ .
（2）若∠AOB＝α，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上移动，当△PCD 的周长最小时，则∠CPD＝ （用 α 的代数式表示）.
【答案】 100° 180°-2α
【分析】（1）根据对称性证明∠P1OP2=2∠AOB，即可解决问题；
（2）如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连P1P2交OA于C，交OB于D，连接PC，PD，此时△PCD的周长最小．利用（1）中结论，根据对称性以及三角形内角和定理即可解决问题；
【详解】（1）如图，
由对称性可知：∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠BOP2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=100°，
故答案为100°．
（2）如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连P1P2交OA于C，交OB于D，连接PC，PD，此时△PCD的周长最小．
根据对称性可知：∠OP1C=∠OPC，∠OP2D=∠OPD，∠P1OP2=2∠AOB=2α．
∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-2α．
故答案为180°-2α．
【点睛】本题考查作图-最短问题、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，将长方形纸片ABCD对折后再展开，得到折痕EF，M是BC上一点，沿着AM再次折叠纸片，使得点B恰好落在折痕EF上的点B′处，连接AB′、BB′．
判断△AB′B的形状为 ；
若P为线段EF上一动点，当PB+PM最小时，请描述点P的位置为 ．
【答案】 等边三角形， AM与EF的交点
【分析】依据折叠的性质，即可得到AB=AB'=BB'，进而得出△ABB'是等边三角形，依据当A，P，M在同一直线上时，PB+PM最小值为AM的长，即可得到点P的位置为AM与EF的交点．
【详解】由第一次折叠，可得EF垂直平分AB，
∴AB′=BB′，
由第二次折叠，可得AB=AB′，
∴AB=AB′=BB′，
∴△ABB′是等边三角形；
∵点B与点A关于EF对称，
∴AP=BP，
∴PB+PM=AP+PM，
∴当A，P，M在同一直线上时，PB+PM最小值为AM的长，
∴点P的位置为AM与EF的交点.
故答案为等边三角形，AM与EF的交点.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）与矩形的性质.
19．如图，，点是内一点，，在的两边、上分别有点、 (均不同于)，当周长的最小时，在图中找到点与点，并求出周长的最小值．
【答案】10
【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可
【详解】分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
由轴对称的性质可知，OM＝ON＝OP＝10，
∠MON＝∠MOP＋∠NOP＝2∠AOB＝2×30＝60，
则△MON为等边三角形，
∴MN＝10，
∵QP＝QM，RN＝RP，
∴△PQR周长＝MN＝10．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用．
20．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；
（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CР⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，
∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠=30°，
∴∠ MP=30°，
∵∠MЕP=60°，
∴O点与E点重合．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破一：轴对称图形中的最值问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．76° B．84° C．96° D．109°
3．如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是( )
A． B． C． D．
4．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处．折痕为，此时，若点，是边上的两个动点，且不与点，重合，，当四边形的周长最小时，最小周长为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，，边上有一个定点P，M、N分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ．
7．点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是
8．如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
9．如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．
10．如图，在中，是的角平分线，点、分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为 ．
11．如图，中， ， 点是边上一点，在边上各找一点，当周长最短时，的度数是 ．
12．如图，，平分，点为上一定点，为上的一动点，为上一动点，当最小时，则的度数为 ．
13．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度．
14．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，射线OB上的点，当△PMN的周长最小时，若∠MPN＝100°，则∠AOB= ．
15．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ．
16．如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ．
17．如图，点 P 是∠AOB 内部一定点
（1）若∠AOB＝50°，作点 P 关于 OA 的对称点 P1，作点 P 关于 OB 的对称点 P2，连 OP1、OP2，则∠P1OP2＝ .
（2）若∠AOB＝α，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上移动，当△PCD 的周长最小时，则∠CPD＝ （用 α 的代数式表示）.
18．如图，将长方形纸片ABCD对折后再展开，得到折痕EF，M是BC上一点，沿着AM再次折叠纸片，使得点B恰好落在折痕EF上的点B′处，连接AB′、BB′．
判断△AB′B的形状为 ；
若P为线段EF上一动点，当PB+PM最小时，请描述点P的位置为 ．
19．如图，，点是内一点，，在的两边、上分别有点、 (均不同于)，当周长的最小时，在图中找到点与点，并求出周长的最小值．
20．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
