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第2章 特殊三角形单元测试卷【基础卷】
姓名:___________班级:___________考号:___________
考试时间:120分钟 满分:120分 考试范围:特殊三角形
注意事项:
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁,不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分,每题均有四个选项,其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( )
A.9,12,15 B.8,15,17 C.6,8,11 D.7,24,25
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理.根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形,进行判定即可.
【详解】解:A、,9,12,15能作为直角三角形的三边长,本选项不符合题意;
B、,8,15,17能作为直角三角形的三边长,本选项不符合题意;
C、,6,8,11不能作为直角三角形的三边长,本选项符合题意;
D、,7,24,25能作为直角三角形的三边长,本选项不符合题意;
故选:C.
2.如图, ABC和关于直线l 对称,若,,则∠B 的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质,三角形内角和定理,先根据轴对称图形的性质得到,再根据三角形内角和定理即可得到答案.
【详解】解:∵和关于直线l 对称,
∴,
∵,
∴,
故选:D.
3.如图,以的三边分别向外作正方形,它们的面积分别为,,,若,则的值为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理,正方形的面积,熟练掌握该知识点是解题的关键.利用勾股定理可知,,即,结合,得到的值.
【详解】解:以的三边分别向外作正方形,它们的面积分别为,,,
,,
是直角三角形,
即
又
故选:C.
4.如图,数轴上的点O表示的数是0,点A表示的数是2,,垂足为A,且,以O为圆心,长为半径画弧,交数轴于点C,点C表示的数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴,勾股定理,勾股定理求出的长,进而得到的长,进而得到点表示的数即可.
【详解】解:由题意,得:,,
∴,
∵点在原点的左侧,
∴点C表示的数为;
故选A.
5.如图所示,在中,,,为的中点,交于点,若,的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】作交于点,交于点,、相交于点,利用“角角边”证明,再根据全等三角形性质得到后可利用“边角边”证明,根据全等三角形性质、即可得到.
【详解】解:作交于点,交于点,、相交于点,
中,,
,
,
,
是的外角,
是的外角,
,
,
,
在和中,
,
,
,
是的中点,
,
在和中,
,
,
,
点在上,且,
,
即.
故选:.
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、外角的性质,解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.
6.如图,在是边上的高,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交于点M,N,分别以点M,N为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点P,作射线交于点E,交于点F,下列说法不一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据角平分线定义判断A;根据和都是的余角判断B;根据含的直角三角形性质判断C;根据和都是的余角,是的外角,是的外角,判断D.
【详解】A、由作图知,平分,
∴,
∴A正确,不符合题意;
B、∵是边上的高,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴B正确,不符合题意;
C、当时,
,
,
∴C不一定正确,C符合题意;
D、∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴D正确,D不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形.熟练掌握角的平分线定义,直角三角形角性质,余角定义,含的直角三角形边性质,三角形外角性质,是解题的关键.
7.如图,一架25分米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯子的底端距墙底部7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯子的底端将向外平滑( )
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用.掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键.注意:整个过程中,梯子的长度不变.
先利用勾股定理求出,再根据顶端下滑4分米求出,根据勾股定理求出,即可得出底部平滑的距离.
【详解】解:在中,根据勾股定理
分米,
当梯子的顶端沿墙下滑4分米时,梯子的顶部距离墙底端距离:分米,
在中根据勾股定理
分米,
则梯子的底部将向外平滑距离:分米.
故选:D
8.如图,在 ABC中,,,的平分线与的垂直平分线交于点,将沿(在上,在上)折叠,点与点恰好重合,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,连接、,根据角平分线的定义求出,根据等腰三角形两底角相等求出,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得,根据等边对等角可得,再求出,然后证明可得,根再根据等边对等角求出,根据翻折的性质可得,然后根据等边对等角求出,再利用三角形的内角和定理列式计算即可.
【详解】解:如图,连接、,
,为的平分线,
,
又,
,
是的垂直平分线,
,
,
,
,,
∴,
,
∴,
将沿(在上,在上)折叠,点与点恰好重合,
,
,
在中,,
故选:C.
9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”(如图①),图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,,,若,则的值是( )
A. B.4 C.5 D.
【答案】B
【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题,根据已知得出用,表示出,,,再利用求出是解决问题的关键.根据图形的特征得出四边形的面积设为,将其余八个全等的三角形面积一个设为,从而用,表示出,,,得出答案即可.
【详解】解:将四边形的面积设为,将其余八个全等的三角形面积一个设为,
正方形,正方形,正方形的面积分别为,,,,
得出,,,
,故,
,
所以,
故选:B
10.如图,分别以 ABC的边所在直线为对称轴作的对称图形和,,,线段与相交于点O,连接.有如下结论:①;②;③平分;④;⑤.其中正确的结论个数是( );
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【分析】由轴对称可得,,则,进而可判断①的正误;由,结合轴对称的性质可知,,由三角形内角和可求,进而可判断②的正误;由,可得边上的高与边上的高相等,即到两边的距离相等,进而可判断③的正误;由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误;由不全等,可判断⑤的正误.
【详解】解:∵和是的对称图形,
∴,,
∴,①正确,故符合要求;
∴,
由轴对称的性质可知,,
∵,
∴,即,
∴,②正确,故符合要求;
∵,
∴,,
∴边上的高与边上的高相等,即到两边的距离相等,
∴平分,③正确,故符合要求;
∵,,,
∴,
∵,
∴,
∴;故④符合要求;
∵,,,,
∴,
∴不全等,即,⑤错误,故不符合要求;
故选:C.
【点睛】本题考查了轴对称的性质,全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理,勾股定理的应用,角平分线的判定.熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共8小题,满分24分,每小题3分,请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。)
11.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B是两格点,随机选取另一个格点C (不与A,B重合) , 得到的 ABC为等腰直角三角形的点C的个数为 .
【答案】6
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形.分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想.
分情况讨论:当是腰长时,当是底边时,根据等腰直角三角形的定义,结合图形找出符合条件的点C即可.
【详解】解:如图,分情况讨论:
①为等腰的底边时,符合条件的C点有2个;
②为等腰其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.
共有6个.
故答案为:6.
12.如图,在中,,于点D,,E是斜边的中点,连接,则的度数为 .
【答案】45
【分析】本题主要考查了同角的余角相等,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键.根据同角的余角相等得到,,根据互余和求得,进而得到,再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可.
【详解】解:∵,,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∵E是斜边的中点,,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
13.如图在的方格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点(网格线的交点)上,则边上的高为 .
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理,以及三角形的面积,易求的面积,再根据勾股定理可求出的长,进而根据面积公式即可求得边上的高的长.
【详解】解:由题意可得,
又,
边上的高为,
故答案为:.
14.如图,中,,平分交于点D,E为线段上一点,连接,且.若,,则的长为 .
【答案】2
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质,解题的关键是作出辅助线,构造全等三角形,根据证明直角三角形的全等解答.过点作于点F,由角平分线的性质得出,证明,得出,求出,由证明,得出,即可求出结果.
【详解】解:过点作于点F,如图所示:
∵,平分交于点D,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∴.
故答案为:2.
15.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为,底面周长为,在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿,且与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点.将杯子半侧面展开,作A关于的对称点,再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求.
【详解】解:如图:将杯子半侧面展开,作A关于的对称点,连接,当点、F、B在同一条直线上,则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离,即的长度,
由题意可得:,,,
∴,
∵.
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为.
故答案为:.
16.如图,点D、E为 ABC边上的两点,将 ABC沿线段折叠,点C落在上的处,若,则 .
【答案】
【分析】本题考查了折叠性质以及三角形的外角性质,先折叠得出,,再结合三角形的外角性质得,即可作答.
【详解】解:∵将沿线段折叠,点C落在上的处,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
答案为:.
17.如图,在 ABC中,,,,是的角平分线,若,分别是和上的动点,则的最小值是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,轴对称 最短路线问题,三角形的面积,垂线段最短,作关于的对称点,由对称性可知,点在上,当时,的最小值为,再利用面积法求出的长即可,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】解:作关于的对称点,
∵是的平分线,
∴点在上,
∴,
∴当时,的最小值为,
∵,是的平分线,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为,
故答案为:.
18.如图,在 ABC中,,,,是的中点,点,分别在边,上,,将 ADE, BDF分别沿,翻折使得A与重合,B与重合,若,则 .
【答案】3
【分析】连接,依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质,即可得到的长,进而得出是等腰三角形;再根据平行线的性质得出与相等,进而得到是等腰三角形,即可得出的长.
【详解】解:如图所示,连接,
设,,
在中,,,,
,
中,是的中点,
,
又,
,
,即,
,
又,
,
∴,
又∵,
∴,
,
又,
,
,即,
,
,
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题,直角三角形斜边上中线,等腰三角形的判定与性质的运用,解决问题的关键是掌握折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
三、解答题(本大题共7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.如图,在四边形中,,,为上一点,连接、.求证:
(1);
(2).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,
(1)根据证明,再根据全等三角形的对应角相等得出答案.;
(2)结合(1)证明,再根据全等三角形的对应边相等得出答案.
【详解】(1)证明:由知,
在和中,
,
∴,
∴;
(2)证明:在和中,
,
∴,
∴.
20.某条道路限速,如图,一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处,过了,小汽车到达C处,此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为.
(1)求的长;
(2)这辆小汽车超速了吗?
【答案】(1)
(2)未超速
【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决.
(1)根据勾股定理即可求解;
(2)根据小汽车用行驶的路程和时间,可求出小汽车的速度,然后再判断是否超速即可.
【详解】(1)解:根据题意,得,,
由勾股定理,得,
∴,
故的长为.
(2)解:,
∵,
∴这辆小汽车未超速.
21.如图,某人从A地到B地有三条路可选,第一条路从A地沿到达B地,为10米,第二条路从A地沿折线到达B地,为8米,为6米,第三条路从A地沿折线到达B地共行走26米,若C、B、D刚好在一条直线上.
(1)求证:;
(2)求的长.
【答案】(1)见解析
(2)17米
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识,熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.
(1)由勾股定理的逆定理即可得出结论;
(2)设米,则米,米,在中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【详解】(1)证明:∵米,米,米,
∴,
∴是直角三角形,;
(2)解:设米,则米,
∴(米),
在中,由勾股定理得:,
解得:,
答:的长为17米.
22.如图,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A落在点F处,折痕为.
(1)______(填“>”“=”或“<”).
(2)如果是的平分线,那么与有怎样的位置关系?为什么?
(3)在(2)的条件下,将沿折叠使其落在的内部,交于点M,若平分,求的大小.
【答案】(1)=
(2);理由见解析
(3)
【分析】
(1)根据折叠的性质可得出;
(2)由折叠的性质可知,根据是的平分线,利用角平分线的定义可得出,将和相加结合与互补即可得出,由此即可得出;
(3)设,根据折叠的性质结合角平分线的定义即可得出、,再根据即可得出关于的一元一次方程,解之即可得出结论.
本题考查了角的计算、翻折变换、角平分线的定义以及解一元一次方程,解题的关键是:(1)熟练掌握翻折的特性;(2)通过角的计算求出;(3)根据角的关系找出关于的一元一次方程.
【详解】(1)
解:∵折叠,
.
故答案为:.
(2)
解:,理由如下:
由折叠而成,
.
是的平分线,
,
.
.
(3)
解:依照题意画出图形,如图所示.
设,
是的平分线,
.
由折叠而成,
.
平分,
,
.
,
,
.
.
23.综合与实践
长方体中蕴藏着丰富的数学知识,善思小组开展长方体中数学知识的探究.如图①底面为正方形的长方体盒子,,,.该小组把长方体的两侧面,剪下来,沿着和剪开,得到四个全等的直角三角形,拼成如图②所示的“弦图”.
【探究一】
(1)如图②,若每个直角三角形较小锐角为,小正方形的面积为16.求大正方形的面积;
【探究二】
(2)根据图②的“弦图”证明勾股定理(写出推理过程);
【探究三】
(3)为了使长方体盒子更加美观,现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条(宽度忽略不计),设所用彩色条的长度为l,探究l的最小值(用含有a,b的式子表示),该小组探究如下:将长方体盒子侧面,展开成图③所示的平面图形,连接,在中,,即l的最小值为.上述探究结果是否正确?若不正确,画图并求出l的最小值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)不正确;
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明,勾股定理的应用,解题的关键是数形结合,熟练掌握勾股定理.
(1)根据小正方形面积求出,再根据含直角三角形的性质求出,再根据勾股定理求出,最后根据正方形面积公式求出结果即可;
(2)根据正方形面积公式表示出小正方形的面积为,用大正方形面积减去4个直角三角形面积表示出小正方形面积为,即可证明勾股定理;
(3)将长方体盒子侧面,展开成平面图形,求出此时,然后再比较大小即可.
【详解】解:(1)∵小正方形的面积为16,
∴,
∵每个直角三角形较小锐角为,
∴,
∴根据勾股定理得:,
∴大正方形的边长为,
∴大正方形的面积为:.
(2)∵小正方形的边长为c,
∴小正方形的面积为,
∵大正方形的边长为,
∴大正方形的面积为:,
∵四个全等的直角三角形的面积为:;
∴小正方形的面积可以表示为:
,
∴;
(3)不正确;理由如下:
将长方体盒子侧面,展开成平面图形,如图所示:
连接,在中,
,
∵
,
∵,
∴,
∴,
即l的最小值为.
24.定义:若两个三角形,有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等,我们就称这两个三角形为友谊三角形.
(1)若两个三角形全等,它们__________(填是或否)友谊三角形;
(2)如图1,在四边形中,平分,,与是友谊三角形,请探究与之间的关系;
(3)如图2,在四边形中,,,,求证:与是友谊三角形.
【答案】(1)是
(2),证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题是四边形综合题,考查了新定义,全等三角形的判定和性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,理解新定义是解题的关键.
(1)根据全等三角形的性质即可解决问题;
(2)在上取一点,使得,利用全等三角形的判定和性质即可解决问题.
(3)根据三角形的内角和可得,由为公共边,,即可得出结论.
【详解】(1)解:全等三角形的对应边相等,对应角相等,
两个三角形全等,必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等,
若两个三角形全等,它们是友谊三角形,
故答案为:是;
(2)解:平分,
,
,,与是友谊三角形,
,
如图中,在上取一点,使得,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
,
;
(3)证明:如图,设与交于点,
,,
,
为公共边,,
与是友谊三角形.
25.如图,在 ABC中,,,为边的一点,为边上一点,连接,交于点且,平分交于点.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,延长交于,连接,过点作交的延长线于点,求证:;
(3)如图3,在(2)问的条件下,当时,若,求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质即判定,等腰三角形的性质及判定,平行线的性质,勾股定理,含角的直角三角形等知识点,熟练掌握各知识点,合理作出辅助线是解题的关键.
(1) 利用ASA证出,即可得到;
(2)设,利用平行线的性质用含的式子表达出的大小,证出得到,利用外角表达出的大小,即可根据等腰三角形的性质进行解答;
(3)设,则,证出,列式求出的度数,过作于点,再根据含角所对的边是斜边的一半求出的长,利用勾股定理和等腰三角形的性质求线段长度即可.
【详解】(1)解:∵,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴在和中
,
∴
∴
(2)解:设,
∵
∴
∴
∵在和中,
,
∴(SAS),
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)解:设,则,
由(1)(2)可得:,
∴
∵平分,,
∴,
∴在和中,
,
∴,
∴,
∴
解得:,
∴,
过作于点如图所示:
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
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第2章 特殊三角形单元测试卷【基础卷】
姓名:___________班级:___________考号:___________
考试时间:120分钟 满分:120分 考试范围:特殊三角形
注意事项:
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁,不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分,每题均有四个选项,其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( )
A.9,12,15 B.8,15,17 C.6,8,11 D.7,24,25
2.如图, ABC和关于直线l 对称,若,,则∠B 的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图,以的三边分别向外作正方形,它们的面积分别为,,,若,则的值为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
4.如图,数轴上的点O表示的数是0,点A表示的数是2,,垂足为A,且,以O为圆心,长为半径画弧,交数轴于点C,点C表示的数为( )
A. B. C. D.
5.如图所示,在中,,,为的中点,交于点,若,的大小是( )
A. B. C. D.
6.如图,在是边上的高,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交于点M,N,分别以点M,N为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点P,作射线交于点E,交于点F,下列说法不一定正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图,一架25分米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯子的底端距墙底部7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯子的底端将向外平滑( )
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
8.如图,在 ABC中,,,的平分线与的垂直平分线交于点,将沿(在上,在上)折叠,点与点恰好重合,则的度数为( )
A. B. C. D.
9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”(如图①),图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,,,若,则的值是( )
A. B.4 C.5 D.
10.如图,分别以 ABC的边所在直线为对称轴作的对称图形和,,,线段与相交于点O,连接.有如下结论:①;②;③平分;④;⑤.其中正确的结论个数是( );
A.2 B.3 C.4 D.5
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共8小题,满分24分,每小题3分,请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。)
11.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B是两格点,随机选取另一个格点C (不与A,B重合) , 得到的 ABC为等腰直角三角形的点C的个数为 .
12.如图,在中,,于点D,,E是斜边的中点,连接,则的度数为 .
13.如图在的方格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点(网格线的交点)上,则边上的高为 .
14.如图,中,,平分交于点D,E为线段上一点,连接,且.若,,则的长为 .
15.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为,底面周长为,在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿,且与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
16.如图,点D、E为 ABC边上的两点,将 ABC沿线段折叠,点C落在上的处,若,则 .
17.如图,在 ABC中,,,,是的角平分线,若,分别是和上的动点,则的最小值是 .
18.如图,在 ABC中,,,,是的中点,点,分别在边,上,,将 ADE, BDF分别沿,翻折使得A与重合,B与重合,若,则 .
三、解答题(本大题共7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.如图,在四边形中,,,为上一点,连接、.求证:
(1);
(2).
20.某条道路限速,如图,一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处,过了,小汽车到达C处,此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为.
(1)求的长;
(2)这辆小汽车超速了吗?
21.如图,某人从A地到B地有三条路可选,第一条路从A地沿到达B地,为10米,第二条路从A地沿折线到达B地,为8米,为6米,第三条路从A地沿折线到达B地共行走26米,若C、B、D刚好在一条直线上.
(1)求证:;
(2)求的长.
22.如图,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A落在点F处,折痕为.
(1)______(填“>”“=”或“<”).
(2)如果是的平分线,那么与有怎样的位置关系?为什么?
(3)在(2)的条件下,将沿折叠使其落在的内部,交于点M,若平分,求的大小.
23.综合与实践
长方体中蕴藏着丰富的数学知识,善思小组开展长方体中数学知识的探究.如图①底面为正方形的长方体盒子,,,.该小组把长方体的两侧面,剪下来,沿着和剪开,得到四个全等的直角三角形,拼成如图②所示的“弦图”.
【探究一】
(1)如图②,若每个直角三角形较小锐角为,小正方形的面积为16.求大正方形的面积;
【探究二】
(2)根据图②的“弦图”证明勾股定理(写出推理过程);
【探究三】
(3)为了使长方体盒子更加美观,现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条(宽度忽略不计),设所用彩色条的长度为l,探究l的最小值(用含有a,b的式子表示),该小组探究如下:将长方体盒子侧面,展开成图③所示的平面图形,连接,在中,,即l的最小值为.上述探究结果是否正确?若不正确,画图并求出l的最小值.
24.定义:若两个三角形,有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等,我们就称这两个三角形为友谊三角形.
(1)若两个三角形全等,它们__________(填是或否)友谊三角形;
(2)如图1,在四边形中,平分,,与是友谊三角形,请探究与之间的关系;
(3)如图2,在四边形中,,,,求证:与是友谊三角形.
25.如图,在 ABC中,,,为边的一点,为边上一点,连接,交于点且,平分交于点.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,延长交于,连接,过点作交的延长线于点,求证:;
(3)如图3,在(2)问的条件下,当时,若,求的长.
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