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第2章 特殊三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：特殊三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在 ABC中，，，点D、E分别在、上，且， 将沿所在的直线折叠得到 FDE（点F在四边形内），连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，（和是对应角），，若，．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图， ABC中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
10．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在 ABC中，，以为边在 ABC外作等边，过点作．若，，则 ．
12．如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
13．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）．
14．刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ．
15．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ．
16．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ．
17．如图， ABC中，，，垂足为点，平分，点为上一点，连接，，，，则 .
18．如图，直线与，交于，两点，在内依次向右作正方形，使一边在轴上，一个顶点在边上，作第1个正方形，点在轴上，从第个正方形开始，第四个顶点在相邻较大正方形的边上，第个正方形，第个正方形 ，则第个正方形边长是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且．
(1)求A，B两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
20．在中，，M是边的中点，于点H，平分．
(1)求证：平分；
(2)过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．
21．已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．
(1)将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到线段（ 点A 的对应点为点E， 点 B 的对应点为点F），连 接， 画 出 线 段；
(2)在方格纸中画出，使（ 点G 在小正方形的 顶点上），连接，请直接写出的长 ．
23．如图，在 ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断 BCF的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
24．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形的面积可表示为：______，
也可以表示为：______，
，
，
______
即；
(2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．
25．在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点．
(1)如图，当点在线段上时，求证：．
(2)如图，当点在线段上时，其它条件不变，猜想与之间的数量关系并证明．
(3)如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系．
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第2章 特殊三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：特殊三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案．
【详解】A、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、设，则，，
，
解得，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
C、，，
，
解得，
是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
故选B．
2．如图，在 ABC中，，，点D、E分别在、上，且， 将沿所在的直线折叠得到 FDE（点F在四边形内），连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，证明是等边三角形，得出，由折叠的性质可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，
，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，（和是对应角），，若，．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据，，，可知，，结合和等腰三角形性质可得，，将展开为求解，即可解题．
【详解】解：（和是对应角），，
，，
，
，
，，
，
，
故选：B．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．
【详解】由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
5．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积，
故选：A．
6．如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的内角和为180度．
根据平行线的性质得出，根据折叠可知，进而得出，最后根据三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数．
【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道，
，
，
故选：C ．
8．如图， ABC中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为．
【详解】解：延长交于点H设交于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
图中两个阴影部分面积之差的最大值为，
故选：C．
9．如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，等腰直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键；
由△ABC为等腰直角三角形，得，，根据折叠可得，，可判定①错误；而，，可判定②正确；由，可判定③正确；又的周长，可判定④正确，即可得到答案．
【详解】解：为等腰直角三角形，
∴，，
折叠得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
由折叠得到，
，，
，
不平分，
所以①错误；
，，
，
所以②正确；
，
是等腰三角形，
所以③正确；
的周长，
的周长等于的长，
所以④正确．
故答案为：②③④，
故选：B．
10．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点关于、的对称点、，连接、、，根据轴对称的性质，得到，，即有最小值为的长，过点作于点，结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，得出，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接、、，
点和点关于对称，
，，，
点和点关于对称，
，，，
，，
的最小值是，
的最小值是，
当点、、、四点共线时，有最小值为的长，
，
过点作于点，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，利用轴对称得出有最小值为的长是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在 ABC中，，以为边在 ABC外作等边，过点作．若，，则 ．
【答案】7.8
【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：
12．如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理是解题的关键；
由题意，利用勾股定理求出到的距离，即可确定点表示的数．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
13．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）．
【答案】20
【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可．
【详解】解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，
，
，，
根据勾股定理有：
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为，
故答案为：20．
14．刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：当牙刷与杯底垂直时最大，最大．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：
此时，，
故．
故的取值范围是．
故答案为：．
15．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ．
【答案】625
【分析】本题考查勾股树，根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形F的面积，同法可求正方形E、G的面积．
【详解】解：由勾股定理可知，，
，
，
故答案为：625．
16．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，
∴（负值已舍），
如图，，设，，则，
由题意得，
∴，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
解得，
如图，，设点C到的距离为，
∴，即，
∴，
∴点C到的距离为，
故答案为：．
17．如图， ABC中，，，垂足为点，平分，点为上一点，连接，，，，则 .
【答案】
【分析】本题考查全等三角形、等腰三角形，三角形内角和等知识，解题的关键是延长交于点；根据三角形内角和，则设，则；根据角平分线的性质，则，根据，则，，求出和的角度，则根据，等角对等边，则；根据，等量代换，则，最后根据全等三角形的判定，则，则，再根据，即可．
【详解】延长交于点，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，且和是对顶角，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
18．如图，直线与，交于，两点，在内依次向右作正方形，使一边在轴上，一个顶点在边上，作第1个正方形，点在轴上，从第个正方形开始，第四个顶点在相邻较大正方形的边上，第个正方形，第个正方形 ，则第个正方形边长是 ．
【答案】
【分析】由，得，推出是等腰直角三角形，结合正方形及等腰直角三角形的边关系，即可推出第个正方形的边长．
【详解】∵点、是直线与、轴的交点
∴，
∴
∴、、均是等腰直角三角形
∵四边形、均是正方形
∴
∴
当时，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数，等腰直角三角形，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握一次函数与坐标的交点，等腰直角三角形的性质．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且．
(1)求A，B两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】(1)米；
(2)段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）过C作于D.先用等积法求出，比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度．
【详解】（1）解：在中，米，米，
（米）.
答：A，B两村之间的距离为米；
（2）公路有危险而需要封锁.
理由如下：如图，过C作于D.
，
（米）．
由于米米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，
米，
（米），是等腰三角形，
∴
∴（米），
则需要封锁的路段长度为米．
20．在中，，M是边的中点，于点H，平分．
(1)求证：平分；
(2)过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）要证明平分，则需证明，因为平分．所以，所以只需要证明即可；通过直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得到，然后运用等量代换及同角的余角相等即可证明，则可证明结论；
（2）①通过同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可以得到，然后运用二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而根据等角对等边可得；
②易得，从而得到是等腰三角形，再根据，即可证明是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：中，，
∵M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴平分；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②是等腰直角三角形，理由如下：
∵且，
∴
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21．已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么，，那么；
（2）作点P关于的对称点和，连接、、、．那么的周长最小值即为的长，易得为等边三角形，那么，所以．
【详解】（1）解：∵点P关于射线的对称点是G，
∴．
∵点P关于射线的对称点是H，
∴．
∵，
∴；
（2）解：作点P关于的对称点和，连接、、、．
∴，，，，，．
∵的周长最小值为6，，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．
(1)将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到线段（ 点A 的对应点为点E， 点 B 的对应点为点F），连 接， 画 出 线 段；
(2)在方格纸中画出，使（ 点G 在小正方形的 顶点上），连接，请直接写出的长 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
【分析】本题考查平移作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理：
（1）根据平移的性质，作图即可；
（2）点右2上3，得到点，连接即可，勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，线 段即为所求；
（2）如图，即为所求，由勾股定理，得：．
23．如图，在 ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断 BCF的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键．
（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明；
（2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：在上取一点H，使，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴．
24．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形的面积可表示为：______，
也可以表示为：______，
，
，
______
即；
(2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．
【答案】(1)，，
(2)新路比原路少千米
(3)，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的推导及勾股定理的应用．
（1）根据梯形面积公式及梯形面积等于两个小直角三角形的面积和加大直角三角形面积，再整理即可；
（2）设，则，在中利用勾股定理建立方程，即可求得x的值，从而求得结果；
（3）设，则，分别在、中，利用勾股定理表示出，从而建立方程，求出x的值，最后求出结果．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
故答案为：，，；
（2）解：设，
，
在中，，
即，解得，即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
（3）解：设，则，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
．
25．在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点．
(1)如图，当点在线段上时，求证：．
(2)如图，当点在线段上时，其它条件不变，猜想与之间的数量关系并证明．
(3)如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，再根据证明即可得出结论；
（）同理（）证明，即可得出结论；
（）同理（）证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：∵，，，
∴，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
即，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键．
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