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专题突破八：勾股定理的证明（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理；
B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
2．下面四幅图中，能证明勾股定理的有（ ）
A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
如图，
∴，
∴不能证明勾股定理，故不符合题意；
如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
故选C．
3．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案．
【详解】∵，
∴.
所以图1，3符合题意；
∵图形的面积表示为：，，
∴，
所以图2符合题意．
图4不能验证勾股定理．
所以符合题意的有3个．
故选：C．
4．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解．
【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：，
根据图2可得该几何图形的面积为：，
，
故选：B．
5．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴
即．
6．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
(2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
（）先证明，得出，然后利用面积法证明即可；
（）利用面积法计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
7．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)3
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：由已知可得：，即，
，
小正方形的边长为．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
8．背景介绍：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]
（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离．
【答案】【背景介绍】，，，
[知识运用]
（1）；（2）
【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握勾股定理和基本作图是解题的关键．根据题意，设，根据题意，得，，继而得到，，根据题意，，整理即可．
[知识运用]
（1）过点C作于点E，判定四边形是矩形，得到，利用勾股定理解答即可；
（2）作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P即为所求，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：根据题意，设，
根据题意，得，，
∴，，
根据题意，，
整理，得．
（1）解：连接
过点C作于点E，由，
则四边形是矩形，
∴，
由勾股定理，得；
故答案为：．
（2）解：根据题意，得作线段的垂直平分线，与交于点P，如图所示，
则点P即为所求．
设，
根据题意，得，
故，
根据勾股定理，得，
故，
解得
故的距离为．
9．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ；
A． B． C． D．
（2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ；
（3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长．
【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺
【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可；
（2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可；
（3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
∴，
整理得：，能证明勾股定理；
∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
∴，
整理得：，能证明勾股定理；
∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积，
∴，不能证明勾股定理：
∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积，
∴，
整理得：，能证明勾股定理；
综上所述，不能证明勾股定理的是C，
故答案为：C；
（2）∵由题意得：，，，
在中，，
∴，
∵交点在数轴负半轴，
∴点表示的数为，
故答案为：；
（3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺，
在中，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
答：竹竿长尺．
10．勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键．
由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得．
【详解】证明：由弦图可知，，
∴四边形和四边形是正方形，
∵，
∴，
，
∴．
11．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则．
，
，
，
．
12．小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用）
【答案】①在锐角三角形中，．②在钝角三角形中，；证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明．
【详解】解：①当三角形是锐角三角形时，
证明：如图，作垂足是，设的长为，
根据勾股定理得：
整理得：
②当三角形为钝角三角形时
证明：如图，过点作的垂线交于点，设的长为，
在直角三角形中，
在直角三角形中，，
整理得：
，．
所以：①在锐角三角形中，．
②在钝角三角形中，．
13．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：．
类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）13
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式；
（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积 2个直角三角形的面积可得答案．
【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为．
∴，
∴；
（2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积.
14．公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形．
(1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．
(2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？
【答案】(1)见解析；
(2)这个零件不符合要求．
【分析】本题考查勾股定理的证明、勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法证明勾股定理是解答的关键．
（1）连接，由题意可得 ，，证明为等腰直角三角形，得到四边形的面积，由正方形的面积与四边形的面积相等得到，进而整理可得结论；
（2）连接，由已知推导出，根据勾股定理逆定理得到和不可能都是直角，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图2，连接，
∵，
∴正方形的面积为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴四边形的面积为：，
∵正方形的面积与四边形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：这个零件不符合要求．
理由如下：连接，如图，
由勾股定理逆定理知，只有当时，和都是直角，
∵，，，
∴，
所以和不可能都是直角．
因此，这个零件不符合要求．
15．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：
证明：连接，过点D作交延长线于点F，则
又∵
∴
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．
∵
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的证明，完全平方公式变形求值；
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】（1）解：证明：大正方形的面积表示为，又可以表示为，
∴，
∴，
∴．
（2）∵大正方形的面积为，
∴
∵小正方形的面积为，
∴
∵大正方形的面积，
∴，
∴，
∴．
17．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【答案】(1)见解析；
(2)该飞镖状图案的面积是；
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得；
（2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得；
（3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得；
掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
则．
（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24，
∴直角三角形的斜边长为：，
设，
依题意有，
，
解得：，
．
故该飞镖状图案的面积是．
（3）解：设每个三角形的面积都为y，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
18．操作与探究
问题情境
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”，通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
定理探究
（1）如图1，在网格中有一个直角三角形，请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”；
（2）若直角三角形中，，，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
实践应用
（3）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等解答是解题的关键．
（1）根据“赵爽弦图”画出一个完整的“赵爽弦图”即可；
（2）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论；
（3）根据题意设计方案即可．
【详解】解：（1）根据“赵爽弦图”画出一个完整的“赵爽弦图”， 如图1所示：
（2）由图可知：中间小正方形的边长为，
∴，
，
，
；
（3）通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示：
19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)阴影部分的面积为27．
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
（1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可；
（2），列式计算即可证明；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
20．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理．
（1）______（用含a，b的式子表示）
＝______（用含a，b，c的式子表示）
利用面积的等量关系，整理得出：______；
【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，与交于点O．淇淇在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．
（2）请你帮助她完成证明过程；
（3）【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长．
【答案】（1），，；（2）见解析；（3）16
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．
（1）根据两种不同方式表示四边形的面积，建立等量关系即可求解；
（2）先根据梯形面积公式得到，再根据得到，据此可证明结论；
（3）根据题意可得．进而得到，据此求出c的值，再根据列式求解即可．
【详解】解：（1）
利用面积的等量关系得，
故答案为：，，；
（2）证明：连接．
，
如图1所示，，则由平移的性质可得在图2中，
，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
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专题突破八：勾股定理的证明（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四幅图中，能证明勾股定理的有（ ）
A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅
3．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ）
A． B．
C． D．
5．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：．
6．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
(2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
7．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长．
8．背景介绍：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]
（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离．
9．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ；
A． B． C． D．
（2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ；
（3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长．
10．勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．
11．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．
12．小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用）
13．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：．
类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积．
14．公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足，则这个三角形是直角三角形．
(1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形边上取点B，连接，得到，三边分别为a，b，c，剪下把它拼接到的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．
(2)一个零件的形状如3，按规定这个零件中和都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：）如图③所示，这个零件符合要求吗？
15．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：
证明：连接，过点D作交延长线于点F，则
又∵
∴
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．
16．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值．
17．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
18．操作与探究
问题情境
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”，通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
定理探究
（1）如图1，在网格中有一个直角三角形，请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”；
（2）若直角三角形中，，，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
实践应用
（3）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
20．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理．
（1）______（用含a，b的式子表示）
＝______（用含a，b，c的式子表示）
利用面积的等量关系，整理得出：______；
【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，与交于点O．淇淇在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．
（2）请你帮助她完成证明过程；
（3）【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长．
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