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专题突破二：特殊三角形综合之动点问题（20道）
【压轴题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，以为边向右作等边，点是边的中点，连接， 则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．不能确定
【答案】C
【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案．
【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，
∴当时，取最小值，如图，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键．
2．如图，在中，，，点D，E分别是，上的动点，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论．
由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得．
【详解】解：，，
，
分三种情况讨论：
①当时，如图：
，
；
②当时，如图：
，
；
③当时，如图：点是的中点，点与点重合，
，
；
综上所述，为或或，
故选：D．
3．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
连接，，由等腰三角形三线合一的性质得，，，则有，要使的周长为最小值，只需、、三点共线，进而问题可求解．
【详解】解：连接，，如图所示：
，点是的中点，，
，，
面积是16，
，
，
∵点A与点C关于直线对称，
，
，
要使的周长为最小值，只需、、三点共线，即，
的周长为最小值为．
故选：B．
4．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，平分，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
5．如图，已知，点P是射线上的一个动点，点M是射线上的一个定点，为点P到边的距离，则当最小时， ．
【答案】2
【分析】作点关于的对称点，连接，得到，进而得到当，，三点共线时，最小，推出为等边三角形，为等腰三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，则：，
∴，，
∴为等边三角形，当，，三点共线时，最小，
∴，
∵为点P到边的距离，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段最小问题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，确定点的位置，是解题的关键．
6．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
【答案】或10
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可．
【详解】解：点P，Q移动时，
，．
分两种情况：
①当点在线段上时，
若是等腰三角形，则，
即，
解得，；
②当点在的延长线上时，
，
若是等腰三角形，又，
则是等边三角形，
∴，
即，
解得，；
综上所述，当或时，是等腰三角形．
故答案为：或10．
7．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可．
【详解】解：设运动的时间为，则，，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，即，
解得，．
故答案为：4．
8．如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围；
(2)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数；
(3)当，且点在边上时，若与全等，求和的值．
【答案】(1)；
(2)的度数为或或或；
(3)，或，．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．
（1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可；
（2）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成；
（3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，，
当点在线段上时，
；
当点在射线上时，
；
综上，；
（2）解：若点P在线段上，分三种情况：
当时，则；
当时，则，
则；
当时，则，
则；
点P在线段的延长线上，当时，则，
，
；
综上，的度数为或或或；
（3）解：中，，，点为的中点，，
，
，，，
当时，，，
，，
解得：，；
当时，，，
，，
解得：，；
综上所述，，或，．
9．如图，为等边三角形，以为斜边向下作等腰直角三角形，连接交于点O．E为线段上一动点（不与A，C重合），连接．
(1)如图1，若的边长为4，，求的长；
(2)如图2，延长至F，使，连接，G为线段上一动点，若，且．求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求解；
（2）过点作，交于，过点作于，可证得，，得出，由，可得．
【详解】（1）解：如图1，过点作于，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，过点作，交于，过点作于，
，
又，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
10．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为．
(1)连接交于点，则在运动的过程中，__________；
(2)当运动时间为多少时？是直角三角形．
(3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)；
(2)当第秒或第秒时，为直角三角形；
(3)不变．
【分析】（）由“”可证可得 ，由外角的性质可求；
（）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解；
（）由“”可证可得，由三角形内角和定理可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）不变，
∵是等边三角形，
∴，，
又由条件得，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）设时间为，则，,
当时，
∵，
∴，
∴，得，；
当时，
∵，
∴，
∴，
得，；
∴当第秒或第秒时，为直角三角形；
（3）不变，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
又由条件得，
∴，
∴，
又∵，
∴．
11．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的值；
(2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？
(3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值．
【答案】(1)
(2)秒
(3)秒或秒或秒
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.
（1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得；
②当时 (如图)，则 易求得；
③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出.
【详解】（1）出发2秒后，，．
所以．
因为，根据勾股定理，．
（2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形．
此时，．
当时，，解得秒．
（3）①当时 (图)， 则，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
②当时 (如图)， 则，
∴秒；
③当时 (如图)， 过点作于点，
则
所以，
故，
所以
秒，
由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形.
12．如图1，中，于D，且，若．
(1)求和的长；
(2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．
①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值；
②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②9或10或
【分析】（1）设，则，，利用三角形的面积构造关于x的方程，可求出、、，然后利用勾股定理求出即可；
（2）①由是以点A为顶点的等腰三角形，得出，则可列出关于t的方程，解方程即可；
②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由可判断点M不在上，当点M在时，分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，，
∵， ，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，，
∴；
（2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形，
∴，
即，
∴；
②∵，
∴，
又，
∴，，
∴，
∴
∴，
当点M在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
∴；
如果，则点M运动到点A，
∴；
如果，
过点E作于F，如图3所示：
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴
则在中，，
∴．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
13．如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，点在的垂直平分线上？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)设四边形的面积为，求与之间的关系式．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出t即可；
（2）分两种情形：或分别求解即可．
（3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，交于点，求出和，分别求出三角形和三角形的面积，则可得出答案．
【详解】（1）若点在线段的垂直平分线上，则，
，，
，
解得：，
答：当时，点在线段的垂直平分线上；
（2）①若，则是直角三角形，
，
，
，
，
，
②若，
则是直角三角形，
，
，
，
，
，
∴当或时，是直角三角形；
（3）过点作，垂足为，交于点，
，
，
，
，
，
，
过点作，垂足为，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：与之间的关系式为．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接．
(1)当D在线段上时，求证：．
(2)请判断点D在何处时，，并说明理由．
(3)当时，若中最小角为，直接写出的度数．
【答案】(1)见详解
(2)当点D在中点时，，理由见详解．
(3)或或
【分析】（1）根据即可证明；
（2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：若，
又∵，
∴平分，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∴当点D在中点时，；
（3）解：由（1）可知，
∴，
当时，则，，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
①如图1：D在线段上时，若，
则．
②如图2，点D在的延长线上，，
③如图3，点D在的延长线上，此时，．
④如图4，．
综上所述，满足条件的的度数为或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想．
15．如图，在中，，，，点为的中点，动点从点出发．沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的边上时，求的值．
(3)当与重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积与之间的关系式．
(4)与的直角边交于点．当垂直平分时，直接写出的值．
【答案】(1)线段的长为或
(2)的值为或
(3)
(4)的值为或，理由见解析
【分析】（1）由，点为的中点，得，由，得，当时，，则；当时，，则；
（2）分两种情况讨论，一是点在边上，证明，则，得到；二是点在边上，证明，则，得到；
（3）分两种情况讨论，一是当时，设交于点，证明，，则，由，，得，则，由可得与之间的关系式；二是当时，设交于点，则，而，则，得到，由可得与之间的关系式；
（4）分两种情况讨论，一是与交于点，且垂直平分，则，由，，，得；二是与交于点，且垂直平分，则，由，，，得，解方程求出相应的值即可得到问题的答案．
【详解】（1）解：∵动点从点出发．沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，且，
∴，点从点到点所需时间为：（秒）
∵点为的中点，
∴，
由点不与点重合，则，
∵点关于点的对称点为点，
∴，
∴，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
综上所述，线段的长为或；
（2）如图1，点在边上，
∵，，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
如图2，点在边上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，的值为或；
（3）如图3，当时，与重叠部分为四边形，
设交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
如图4，当时，与重叠部分为四边形，
设交于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
综上所述，重叠部分的面积与之间的关系式为：；
（4）的值为或，理由如下：
如图3，与交于点，且垂直平分，
∴，即，
由（3）可知：等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，而直角边是斜边的倍，
∴，，
由（3）得：，
∴，
解得：；
如图4，与交于点，且垂直平分，
∴，即，
由（3）得：，
∵，，
∴，
解得：，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质、勾股定理，垂直平分线的性质，动点问题的求解，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法．掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
16．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E．
(1)若，求的长；
(2)以为边作，，连接，判断之间的数量关系并说明理由；
(3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查等边三角形，全等三角形，三角形内角和，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的证明与性质是解题的关键，（1）延长交于点M，由等腰直角三角形的性质可得，进而可得，，再根据是等边三角形，得到，得到，，求出的值，即
可得的值．（2）过点E作，交的延长线与点H，易证，从而得到 ， 再根据，得到，进而得到之间的数量关系；（3）连接，过点G作交的延长线与点H，易证，，，故当最小时，最小，从而得到，故当A、C、F三点共线时，最小，根据 ，可得到的值，进而得到的值．
【详解】（1）解：延长交于点M，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
（2）解：过点E作，交的延长线与点H，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：连接，过点G作交的延长线与点H，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，，
∴当最小时，最小，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴当A、C、F三点共线时，最小，即最小值为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．如图，是边长为2的等边三角形，点C为下方的一动点，．
(1)若，求的长；
(2)求点C到的最大距离；
(3)当线段的长度最大时，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)点到的距离最大为
(3)
【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质.
（1）根据含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出， 故可得到的长；
（2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得到再得到当时， 点到的距离最大为；
（3）由（2）可知， 当时线段的长度最大，再求出此时的长，故可求解.
【详解】（1）∵是等边三角形， 又 ，
，
，
，
，
∴的长为；
（2）取的中点， 连接，
，
又点为下方的一动点，
∴当时，点到的距离最大为；
（3）连接，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
，
根据三角形三边关系，
即共线时， 最大，
∴的最大长度为，
此时， 四边形的面积为) ，
∴四边形的面积为：．
18．已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
(1) ．
(2)求当是等边三角形时对应的值？
(3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当为或时，是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据含角的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）求出，得出要使是等边三角形，则有，由题意表示出，，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（3）求出，由题意表示出，，由是直角三角形结合含角的直角三角形的性质得出或，分情况列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴；
（2）解：∵在中，，，
，
∴要使是等边三角形，则有，
由题意得：，，则，
∴，
解得：，
∴当是等边三角形时对应的值为；
（3）解：当为或时，是直角三角形，理由如下：
∵在中，，，
，
由题意得：，，则，
是直角三角形，
∴或，
当时，，解得，
当时，，解得：，
综上所述，当为或时，是直角三角形．
19．如图，在四边形中，，，，设，长分别为，，且．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度匀速向终点运动，同时动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接，，．设动点运动的时间为秒（）．
(1)填空： ______， ______；
(2)在，两点运动中，若时，求动点的运动时间的值；
(3)当时，求与的数量关系．
【答案】(1)3，8
(2)秒
(3)
【分析】（1）根据，可得，，求解即可获得答案；
（2）根据题意可知，，易得，结合可得关于的方程，求解即可获得答案；
（3）首先求得当时的值，易得，即为等腰直角三角形，可得，利用三角形外角的定义和性质，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，．
故答案为：3，8；
（2）根据题意，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，
可有，
∴，
解得秒，
∴动点的运动时间的值为秒；
（3）根据题意，，，
则，
当时，即，解得，
此时，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式运算、平行线的性质、三角形面积公式、一元一次方程的应用、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
20．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
(1)若，则的度数是______．
(2)连接，若，的周长是，的面积是．
①求的长；
②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，的最小值是
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出
【详解】（1）解：若，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分线交与点N，
∴，
∴
故答案为：
（2）如图：连接，
①垂直平分．
，
又的周长是，
，
．
②过点作于点，交于点，
垂直平分
最小
的面积是．
的最小值是
【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键．
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专题突破二：特殊三角形综合之动点问题（20道）
【压轴题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，以为边向右作等边，点是边的中点，连接， 则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．不能确定
2．如图，在中，，，点D，E分别是，上的动点，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
3．如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
5．如图，已知，点P是射线上的一个动点，点M是射线上的一个定点，为点P到边的距离，则当最小时， ．
6．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
7．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
8．如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围；
(2)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数；
(3)当，且点在边上时，若与全等，求和的值．
9．如图，为等边三角形，以为斜边向下作等腰直角三角形，连接交于点O．E为线段上一动点（不与A，C重合），连接．
(1)如图1，若的边长为4，，求的长；
(2)如图2，延长至F，使，连接，G为线段上一动点，若，且．求证：．
10．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为．
(1)连接交于点，则在运动的过程中，__________；
(2)当运动时间为多少时？是直角三角形．
(3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
11．如图，已知中，∠B=90°，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的值；
(2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？
(3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值．
12．如图1，中，于D，且，若．
(1)求和的长；
(2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．
①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值；
②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，点在的垂直平分线上？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)设四边形的面积为，求与之间的关系式．
14．如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接．
(1)当D在线段上时，求证：．
(2)请判断点D在何处时，，并说明理由．
(3)当时，若中最小角为，直接写出的度数．
15．如图，在中，，，，点为的中点，动点从点出发．沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在的边上时，求的值．
(3)当与重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积与之间的关系式．
(4)与的直角边交于点．当垂直平分时，直接写出的值．
16．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E．
(1)若，求的长；
(2)以为边作，，连接，判断之间的数量关系并说明理由；
(3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值．
17．如图，是边长为2的等边三角形，点C为下方的一动点，．
(1)若，求的长；
(2)求点C到的最大距离；
(3)当线段的长度最大时，求四边形的面积．
18．已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
(1) ．
(2)求当是等边三角形时对应的值？
(3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由．
19．如图，在四边形中，，，，设，长分别为，，且．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度匀速向终点运动，同时动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接，，．设动点运动的时间为秒（）．
(1)填空： ______， ______；
(2)在，两点运动中，若时，求动点的运动时间的值；
(3)当时，求与的数量关系．
20．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
(1)若，则的度数是______．
(2)连接，若，的周长是，的面积是．
①求的长；
②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
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