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专题突破九：勾股定理之赵爽弦图的应用（20道）
一、单选题
1．在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，求得，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，
故选：B．
2．如图，以的两直角边为边向外分别作两个正方形，以的斜边为直径向外作半圆，若半圆的面积为，则两个正方形的面积的和为（ ）
A． B．64 C． D．16
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形三边作图的图形面积问题、圆面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，数形结合求解是解决问题的关键．根据半圆的面积求出，根据两个正方形的面积的和为，由勾股定理得到，即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
，
两个正方形的面积的和为，
在中，，
两个正方形的面积的和为64，
故选：B．
3．如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，，，故正确；
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，故错误；
故选：．
4．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可．
【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9，
个直角三角形的面积和为，
，
，
∵，
，
．
故选：B．
5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得，
，，，
，
，即，解得，
的值是，
故选：B．
6．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案．
【详解】解：如图，
∴，故②符合题意，
∵为直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①符合题意，
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
可得：，
即；故③符合题意；
∵，
∴，
整理得，，
∵，
∴；故④不符合题意，
∴正确结论有①②③．
故选：A．
7．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．根据题意得出，，再根据，即可得出结果．
【详解】解：大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，
，，
，
，
，
，
（负值舍去），
故选：A．
8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用.根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决.
【详解】解：，
，
小正方形的面积为：，
由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍，即，
，
故选：C.
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是( )
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理；和为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可利用勾股定理得出的值．
【详解】解：，，即和为两条直角边长时，
小正方形的边长，
故选：A．
10．第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．若正方形与正方形的面积之比为，且有，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据题意得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．
【详解】解：设，，
∵，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故选：B．
11．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：21
12．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ．
【答案】108
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且，
由题意可知：，，，
∵正方形的边长为6，
∴，
∴
，
故答案为：108．
13．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．
【答案】13
【分析】根据题意，得是大正方形大的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可．
本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，
∴．
故答案为：13．
14．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长．
【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，
且，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
15．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，若正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据题意得出，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：设，则，
由图可得，，
，
，
，
在中，
，，
．
故答案为：．
16．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）．
（1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ；
（2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，图形面积的几何意义与代数式的变形．掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出和的等式，即可得到；
（2）求出，，之间的关系式，从而求得面积比．
【详解】解：（1）设， ，
∵若的面积为，小正方形的面积为，
∴，，
∴，
∵，
∴
故答案为：；
（2）∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则：
（1）由可列等式： + ；
（2）若，那么与之间的数量关系是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键．
（1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解；
（2）根据图示，可得，由此可得，根据直角三角形的性质，乘法公式的变形可得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
（1），
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：①；②；③ ．
18．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b．若，小正方形的面积为9，则大正方形的面积为 ．
【答案】21
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意可得每一个直角三角形的面积，然后根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积解答即可．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
∵，小正方形的面积为9，
∵，每一个直角三角形的面积为：，
∴大正方形的面积为：，
故答案为：21．
19．阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
(1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）；
(2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系；
(3)已知，，求正方形的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)正方形的面积为39
【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算．
（1）由正方形面积公式即可得到答案；
（2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案；
（3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算．
【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为．
故答案为：；；
（2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
，
；
（3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
正方形的面积．
20．三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：．
(1)若 ，则 ；
(2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
（1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题；
（2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积．
【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∵，，
∴
∴，
故答案为：；
（2）∵大正方形的面积，，
∴，
∴（负值已经舍去），
∴小正方形的面积．
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专题突破九：勾股定理之赵爽弦图的应用（20道）
一、单选题
1．在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，以的两直角边为边向外分别作两个正方形，以的斜边为直径向外作半圆，若半圆的面积为，则两个正方形的面积的和为（ ）
A． B．64 C． D．16
3．如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
7．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是( )
A． B． C． D．7
10．第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．若正方形与正方形的面积之比为，且有，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
12．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ．
13．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．
14．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
15．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，若正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为 ．
16．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）．
（1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ；
（2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）．
17．如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则：
（1）由可列等式： + ；
（2）若，那么与之间的数量关系是 ．
18．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b．若，小正方形的面积为9，则大正方形的面积为 ．
19．阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
(1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）；
(2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系；
(3)已知，，求正方形的面积．
20．三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：．
(1)若 ，则 ；
(2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积．
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