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专题突破六：特殊三角形的性质与判定解答题综合（20道）
【解答题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)若与交于点O，当时，求的长．
2．如图：已知在 ABC中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为．
(1)求证： BED≌ CFD；
(2)若，求 ABC的周长．
3．如图，在 ABC中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接．
(1)若 ABC的周长为19，的周长为7，求的长；
(2)若，，求的度数．
4．如图，在 ABC中，，于点D，平 分．
(1) ；
(2)求的度数；
(3)过点B作于点F，交于点G．若，求△ABG的面积．
5．如图，在 ABC中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
6．如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)连接，若，，求的面积．
7．在 ABC中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求度数．
8．如图，在 ABC中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点．
(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
9．如图，点为线段上一点，以为边向上作，且． 以为底边向上作等腰三角形，且，连接．
(1)求的度数；
(2)当时，求的值．
10．把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连结、，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求，的长．
11．如图， 在 ABC中， 于F，于E， M为的中点．
(1)若 ，求的周长；
(2)若求的度数．
12．如图，在 ABC中，，平分交于点D，过点D作交于点E，，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D．
(1)求长；
(2)求证：；
(3)求线段长度的最小值．
14．如图，在 ABC中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，，，求的长．
15．如图， ABC是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求 ABC的周长．
16．如图所示，在等腰梯形中，，，且，E、F分别在的延长线上，且，交于点P．
(1)求证：；
(2)请你猜测的度数，并证明你的结论；
(3)连接，试猜想能否为等边三角形，并说明理由．
17．如图， ABC中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接．
(1)若的周长为，求线段的长；
(2)若，求的度数．
18．如图1，已知 ABC和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点．
(1)证明：；
(2)直接写出的度数；
(3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明．
19．如图，在 ABC中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E．
(1)过点E作交于点F，求证：．
(2)若，求的度数．
20．如图，中，，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
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专题突破六：特殊三角形的性质与判定解答题综合（20道）
【解答题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)若与交于点O，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵等边三角形，等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵等边三角形，等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
2．如图：已知在 ABC中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为．
(1)求证： BED≌ CFD；
(2)若，求 ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由为边的中点，可得，，，证明即可；
（2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可．
【详解】（1）证明：，
，
D为边的中点，
，
，，
，
在与中
，
；
（2）解：在中，，，
，
为等边三角形，
在中，，
，
，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
．
3．如图，在 ABC中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接．
(1)若 ABC的周长为19，的周长为7，求的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）先求解，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴
∴．
4．如图，在 ABC中，，于点D，平 分．
(1) ；
(2)求的度数；
(3)过点B作于点F，交于点G．若，求△ABG的面积．
【答案】(1)60
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了与角平分线有关得到三角形内角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理：
（1）直接利用三角形内角和定理进行求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到，再由垂线的定义得到，则，据此根据角的和差关系可得答案；
（3）先求出，则，由勾股定理得到；再求出，得到，则．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平 分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
5．如图，在 ABC中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键．
（1）由是边的中点，得 ，由，得，，可得，即可证明结论成立；
（2）由是边的中点，，得 ，进而，由（1），，由，得，从而，进而即可得解．
【详解】（1）证明：∵是边的中点，
∴ ．
又∵，
∴，，
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：∵是边的中点，，
∴ ．
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)连接，若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和计算即可；
（），，得，，，然后通过证明即可；
（）由，根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求解；
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，，，
由（）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：．
7．在 ABC中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）根据可证明；
（2）根据题意可得，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，为延长线上一点，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
由（1）知：，
，
．
8．如图，在 ABC中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点．
(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
（）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长；
（）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和，
∴，，
∴的周长，
∵的周长为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
9．如图，点为线段上一点，以为边向上作，且． 以为底边向上作等腰三角形，且，连接．
(1)求的度数；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，得出，根据，，得出即可；
（2）过点E作，证明，得出，根据，，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：过点E作，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判断，作出辅助线，数形结合．
10．把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连结、，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求，的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识．
（1）和都是等腰直角三角形，则，，，即可证明，则，利用角之间的关系证明即可；
（2）根据线段的和差和等量代换列出方程组，即可进行解答．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
，，，
在和中，
∴
，
又，
，
，
即．
（2）解：，
，
，
．
，，
，
由、得：，．
11．如图， 在 ABC中， 于F，于E， M为的中点．
(1)若 ，求的周长；
(2)若求的度数．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键．
（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长；
（2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数，再根据等边对等角，即可得出答案．
【详解】（1）解：于F，于E，M为的中点，
，，
，，
的周长；
故的周长为14．
（2），
，，，
，，
，
∴
故的度数为．
12．如图，在 ABC中，，平分交于点D，过点D作交于点E，，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等边对等边，勾股定理等知识．熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，等边对等边，勾股定理是解题的关键．
（1）由平分，，可得，，则，进而可证；
（2）由角平分线的性质可得，，由（1）可知，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴．
13．如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D．
(1)求长；
(2)求证：；
(3)求线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，推出，利用勾股定理即可求解；
（2）在上截取，证明，推出，再证明，推出，即可得出结论；
（3）由（2）知，，得到，，求出，进而求出四边形的面积为，当与或垂直时，长的最小值等于梯形的高，利用梯形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
平分，平分交于点E，
，
，
，，
在，；
（2）证明：如图，在上截取，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如（2）图，
，，
，，
，
四边形的面积为．
当与或垂直时，长的最小值等于梯形的高，
．
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键．
14．如图，在 ABC中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，，，求的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论；
（2）先证明，得到，再根据直角三角形的性质，即得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
15．如图， ABC是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求 ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论；
（2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
又∵是中线，
∴平分，
∴.
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
又∵F是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵为直角三角形，
∴，
∴.
∵是中线，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴的周长为
16．如图所示，在等腰梯形中，，，且，E、F分别在的延长线上，且，交于点P．
(1)求证：；
(2)请你猜测的度数，并证明你的结论；
(3)连接，试猜想能否为等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)猜想，证明见解析
(3)不能为等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质：
（1）由等腰梯形的性质得到，再证明，，进而证明，则可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质可得，再由平行线的性质即可得到；
（3）由（2）可得，则，则当时，是等边三角形时，则可证明，进而得到是等边三角形，则，这与矛盾，即可得到不能为等边三角形．
【详解】（1）解：∵四边形是等腰梯形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：猜想，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：不能为等边三角形，理由如下：
由（2）可得，则，
∴当时，是等边三角形时，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，这与矛盾，
∴不能为等边三角形．
17．如图， ABC中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接．
(1)若的周长为，求线段的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由垂直平分，垂直平分，可得，由的周长为，可得，根据，求解作答即可；
（2）由，可求，由，可得，则，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴线段的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
18．如图1，已知 ABC和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点．
(1)证明：；
(2)直接写出的度数；
(3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，可得；
（2）由可得，再结合，通过等量代换可得答案；
（3）在上截取，连接，由可得，再证，，，进而证明是等边三角形，推出，即可证明．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
证明：如图，在上截取，连接，
由（1）得，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键．
19．如图，在 ABC中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E．
(1)过点E作交于点F，求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解答
(2)的度数是
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．
（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证；
（2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，D是边上的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数是．
20．如图，中，，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）由直角三角形的性质可得，，从而得出，再由“”可证，可得，再证明即可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
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