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专题突破七：勾股定理之折叠问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可
【详解】解：根据折叠，可知
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵
∴
∴
在中，根据勾股定理，得
解得，
所以，的长为，
故选：C
2．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可．
【详解】解：由折叠可知，
设
由勾股定理可得，
即，
解得，
，
故选：B．
3．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将 ABC折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是翻折而成，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
设，则，
∴在中，
由勾股定理得，，即，
解得：，
故选：C．
4．如图，在中，∠B=90°，，．将 ABC折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键．
设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设，
由翻折的性质可知，
∵D是的中点，
，
在中，由勾股定理得：
即，
解得：，
∴，
故选：C．
5．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （ ）
A． B．+ C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查折叠的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由折叠的性质可知，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故选C．
6．如图， ABC中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在 ABC内部（不包括边上）时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边上），即可得到的取值范围．
【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，
,
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，
，
∵由折叠可知：，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点落在内部（不包括边上）时，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形的判定，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键．
7．如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键．
求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∵，
∴在中，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，解得，即：，
∴，
∴的面积为．
故答案为6．
8．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是
【答案】2或5
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得，
，
∵以为折痕，将折叠得到，
∴，，
如图1所示，当时，过点作，垂足为F，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
∴，
如图2所示，当时，点C与点E重合，
∵，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
∴，
综上，的长为2或5，
故答案为：2或5．
9．如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质与判定，过点A作于H，则，（平行线间间距相等），再由折叠的性质得到，，由勾股定理得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
由题意得，，则，
∴，（平行线间间距相等），
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：3．
10．如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的关键．利用翻折和平行判定，再在中利用勾股定理列式解决即可．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，，
∴，
由翻折得：，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
11．如图，在 ABC中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
12．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
13．如图， ABC是等边三角形，点为上一点，且，现将沿直线折叠得到，与交于，垂直平分，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．连接，则，推出，所以，由折叠推出，，所以，即可求出．
【详解】解：连接．
∵是等边三角形，
∴，
由折叠可知，，，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．如图，在 ABC中，，D、E分别为，上一点，将， ADE分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则
【答案】 /90度
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出，
【详解】解：由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：；．
15．如图，在 ABC中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至 ABC所在平面内，得到 ADE，与交于点F，连接，若，，，则的长为
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得过B作交的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：将沿折叠至所在平面内，得到，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过B作交的延长线于H，
，
，
设，则，
，
，
，
解得（负值舍去），
，
故答案为：．
【点睛】本题考査了翻折变换(折叠问题)全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．如图，在 ABC中，，点为边上一点，连接，将沿折叠，使点A落在射线上的点处，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，进而得到；如图：过C作，则即，进而得到 ；再说明，由勾股定理可得，即，最后根据三角形的面积公式即可解得．
【详解】解：∵，，
∴,
∵将沿折叠，使点A落在射线上的点处，
∴,
∵,
∴，
如图：过C作，则,
∴，
∵，
∴，即解得：,
∴；
∵，，
∴,
∴,
∴,
∴的面积为．
故答案为：．
17．如图，已知 ABC为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将 ADE沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
设，
由折叠得，，，
∴，，
在中，由勾股定理得
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
18．如图，在长方形中，，，．分别沿，折叠长方形，使点B，D分别落在边上的G，H处．连接，，求和的面积．
【答案】的长为，的面积为3
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，以及等面积法求线段长，利用勾股定理得到，再结合折叠性质得到，， 推出垂直平分，利用等面积法求得，进而得到，再结合勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解： ，，．
，
由折叠得，，，，，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，且，
，
解得，
，
的长为，的面积为3．
19．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．
(1)求证：；
(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；
（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．
【详解】（1）证明：由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，之间的关系是．理由如下：
由（1）知，由折叠的性质，
得，，．
在中，，
所以，所以．
20．如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，连接，若，且，求出的值；
(3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，即可证明，再根据等角对等边证明即可；
（2）设，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半及勾股定理得，过点作，垂足为Q，进而证得是等边三角形，即可求解；
（3）先由三边相等证明是等边三角形，再分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点C作于点H，②当点在右侧时，过点C作于点H，设，则，由勾股定理得，分别表示出的值，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴,，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，由勾股定理得，
过点作，垂足为Q，
∴，
由勾股定理得，
∴，
延长到点M，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
①当点在左侧时，过点C作于点H，则，
∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，则，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
②当点在右侧时，过点C作于点H，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
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专题突破七：勾股定理之折叠问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
3．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将 ABC折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，∠B=90°，，．将 ABC折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
5．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （ ）
A． B．+ C． D．
6．如图， ABC中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在 ABC内部（不包括边上）时，的取值范围为 ．
7．如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ．
8．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是
9．如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ．
10．如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ．
11．如图，在 ABC中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ．
12．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ．
13．如图， ABC是等边三角形，点为上一点，且，现将沿直线折叠得到，与交于，垂直平分，若，则 ．
14．如图，在 ABC中，，D、E分别为，上一点，将， ADE分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则
15．如图，在 ABC中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至 ABC所在平面内，得到 ADE，与交于点F，连接，若，，，则的长为
16．如图，在 ABC中，，点为边上一点，连接，将沿折叠，使点A落在射线上的点处，若，，则的面积为 ．
17．如图，已知 ABC为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将 ADE沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ．
18．如图，在长方形中，，，．分别沿，折叠长方形，使点B，D分别落在边上的G，H处．连接，，求和的面积．
19．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．
(1)求证：；
(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由．
20．如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，连接，若，且，求出的值；
(3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
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