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浙教版2024-2025学年八年级上数学第2章特殊三角形 培优测试卷3
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列两个电子数字成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A．40° B．70°
C．40°或70 D．40°或100°
3．在中，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
5．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b|
6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
（第6题） （第7题） （第9题） （第10题）
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10m B．15m C．26m D．30m
8．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成两部分，已知这个等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的底边为（ ）．
A．8 B．20 C．40 D．8或40
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE=3，CD=4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
10．如图，和均为等腰三角形，，，且．当B、D、E三点共线时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若等腰的两条边长为6和2，则周长为 .
12．在中，，，是边上的高，，则 ．
13．如图，是等边三角形，是中点，于点，若，则的长是 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则为 度.
15．如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为 .
16．如图，D是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
18．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
19．如图所示，在中，平分，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
20． 如图：在△ABC中，AB=AD=CD.
（1）若∠C=36°，求∠B的度数.
（2）若∠BAD=x°，∠C=y°， 求x和y的数量关系（用x的代数式表示y）.
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD．
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
22．在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）．
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等．
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点．
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等．
23．如图，点C为线段上一点，是等边三角形，与相交于点E．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若，求点E到直线的距离．
24．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．
（3）拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分．
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浙教版2024-2025学年八年级上数学第2章特殊三角形 培优测试卷3
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列两个电子数字成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、 两个电子数字不成轴对称，故此选项不符合题意；
B、 两个电子数字不成轴对称，故此选项不符合题意；
C、 两个电子数字不成轴对称，故此选项不符合题意；
D、 两个电子数字成轴对称，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2．若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A．40° B．70°
C．40°或70 D．40°或100°
【答案】C
【解析】当这个等腰三角形的底角为40°时；
当这个等腰三角形的顶角为40°时，底角为（180°-40°）=×140°=70°，
∴这个等腰三角形的底角为40°或70°.
故答案为：C
3．在中，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】由题意得，∠A+∠B+∠C=180°，又∠A：∠B：∠C=3：2：1，可求得∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°，则三角形为直角三角形，B正确。
故答案为：B。
4．如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
【答案】C
【解析】∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
5．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b|
【答案】A
【解析】A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴AD=BC=×10=5.
故答案为：B
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10m B．15m C．26m D．30m
【答案】C
【解析】如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，
故答案为：C
8．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成两部分，已知这个等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的底边为（ ）．
A．8 B．20 C．40 D．8或40
【答案】A
【解析】设等腰三角形的腰长xcm，底边长分别为ycm，
由题意得：
或，
解得或，
当时，该等腰三角形的三边长为，，，
∵，
∴不能组成三角形，故舍去；
当时，该等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，
∴该等腰三角形的底边为，
故答案为：A．
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE=3，CD=4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，
∴DE2＝CD2+CE2＝9+16＝25，
∴DE=5，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝5+3=8，
∴在Rt△ACD中，
∴AD2＝AC2+CD2＝64+16＝80，
∴AD=.
故答案为：D．
10．如图，和均为等腰三角形，，，且．当B、D、E三点共线时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，
∴，
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若等腰的两条边长为6和2，则周长为 .
【答案】14
【解析】当腰长为6时，三边长为6，6，2，此时6+2=8>6，能构成三角形，此时三角形的周长为6+6+2=14；
当腰长为2时，三边长为6，2，2，此时2+2=4<6，不能构成三角形.
故答案为：14.
12．在中，，，是边上的高，，则 ．
【答案】14
【解析】∵AD是边BC上的高
∴AD⊥BC
∵AB=13，AD=12
∵AC=15
∴BC=BD+DC=14
故答案为：14.
13．如图，是等边三角形，是中点，于点，若，则的长是 ．
【答案】2
【解析】连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则为 度.
【答案】56
【解析】如图，连接BO，
等腰△ABC中，，，
，
是的平分线，
，
又是AB的中垂线，
∴OA=OB，
，
，
垂直平分线段OC，
.
故答案为：56.
15．如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为 .
【答案】0°＜α＜
【解析】∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，
∴0°＜α＜
，
故答案为：0°＜α＜
.
16．如图，D是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为 .
【答案】
【解析】以CD为边作等边△DCE，连接AE .
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为8，
∴当A，D，E三点共线时， 的值最大，且为8，
如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点B作BM⊥AC交AC于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
根据等边三角形的性质可得， ，
∴ 中 边上的高 ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，
∴∠EBC＝40°．
【解析】【分析】（1）结合对顶角相等，利用"AAS"即可证明△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得到BE=CE，再根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，最后根据三角形外角性质即可求出∠EBC的度数.
18．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故答案为：30°
（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
19．如图所示，在中，平分，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
20． 如图：在△ABC中，AB=AD=CD.
（1）若∠C=36°，求∠B的度数.
（2）若∠BAD=x°，∠C=y°， 求x和y的数量关系（用x的代数式表示y）.
【答案】（1）解：∵AD=CD
∴∠C=∠DAC=36°
∵∠ADB=∠C+∠DAC
∴∠ADB=36+36=72°
∵AB=AD
∴∠B=∠ADB =72°
（2）解：∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°
∴∠B+∠ADB=(180-x)°
∵AB=AD
∴∠B=∠ADB =(90-x)°
∵AD=CD
∴∠C=∠DAC= y°
∵∠ADB=∠C+∠DAC
∴90-x=2y
∴y=45-x
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD．
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°，
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
∵AB=AC，BD=AE，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴CE=AD；
（2）证明：∵Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴CE=AD，∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠E，
∵CF=AD，
∴CF=CE，
∴∠E=∠CFE=∠AFB=∠ADB，
结合8字形图可得∠CBD=∠CAE，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC.
22．在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）．
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等．
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点．
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等．
【答案】（1）解：由题意，如图，△DEF即为所求；
理由：∵AC=DE=，BC=FD=，
AB=EF=，
∴△ABC≌△EDF（SSS）.
解：由题意，如图，△DEF即为所求；
理由：∵
∴△ABC≌△FED（SSS）.
（3）解：由题意，如图，△PQR即为所求．
由图知，△PQR与△ABC不全等
，，
为直角三角形
∴
∵
△PQR与△ABC不全等但面积相等．
23．如图，点C为线段上一点，是等边三角形，与相交于点E．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若，求点E到直线的距离．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴．
（2）证明：过点C作，垂足分别为H，I，
∵，
∴
∴．
∴．
∴平分．
（3）解：如图，，
∵，
∴.
∵，
，
∴．
∴．
∵，
由（2）平分，
∴，．
∴．
∴．
∴点E到直线的距离为．
24．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．
（3）拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分．
【答案】（1）解：如图所示即为所求作的三角形，
（2）解：取的中点，连接、，如图所示：
，，，
由勾股定理得，，
∵，点为的中点，
∴，，
，又，
，
，，
∴，即，解得，
；
（3）证明：分别延长、交于点，如图所示：
，
，
，，
，
，
，又，
，
平分．
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