(共36张PPT)
第三章 实数
3.1 平方根
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.了解平方根、算术平方根的概念，并会用根号表示非负数的平方根、算术平方根；
2.掌握求非负数的算术平方根的方法；
3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根。
02
新知导入
一张正方形桌面的面积为1.44，它的边为多少米？
03
新知讲解
一个正方形的面积为1.44(如图)，这个正方形的边长为多少米？你是怎么想的？什么数的平方等于1.44？
03
新知讲解
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
例如，因为＝1.44，所以1.2是1.44的平方根。又因为＝1.44，所以－1.2也是1.44的平方根。
请分别说出49，，0的平方根。
49的平方根±7
的平方根±
0的平方根0
03
新知讲解
说明
例如：3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它们互为相反数.
平方根是它本身的数只有0.
03
新知讲解
关于数的平方根，我们有以下事实：
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；负数没有平方根。
03
新知讲解
一个正数a的正平方根用“”表示(读作“根号a”)；a 的负平方根用“－”表示(读作“负根号 a”)，因此，一个正数a的平方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。
03
新知讲解
注意 与() 的区别
(1)意义不同：前者是a的平方的算术平方根，后者是a的算术平方根的平方.
(2)被开方数的取值范围不同，前者a为任意数，后者a为非负数.
(3)结果不同：
=|a|= a(a>0),
-a(a<0);
只有当a≥0时，即a为非负数时，这两个式子的结果才相同.
() =a(a=0).
03
新知讲解
例1 求下列各数的平方根：
(1)9； (2)； (3)0.36； (4)。
解：
(1)因为＝9， ＝9，所以9的平方根是±3，即±＝±3。
(2)因为＝，所以的平方根是±，即±＝±。
03
新知讲解
例1 求下列各数的平方根：
(1)9； (2)； (3)0.36； (4)。
解：
(3)因为＝0.36， 所以0.36的平方根是±0.6，即± ＝±0.6。
(4)因为＝，所以的平方根是±，即±＝±。
03
新知讲解
正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。
例如，9的算术平方根是3，即＝3，的算术平方根是，即＝。
03
新知讲解
一个正数的算术平方根是正根，0的算术平方根0。
算术平方根的双重非负性：
(1)被开方数a≥0；
(2)算术平方根≥0.
03
新知讲解
例2 先说出下列各式的意义，再计算。
(1)±； (2)； (3)－。
解：
(1)±表示的平方根。 ±＝±。
(2)表示225的算术平方根。＝15。
(3)－表示的负平方根。 －＝－。
04
课堂练习
【例1】平方根是±的数是( )
A.
B.
C.
D.±
C 【解析】因为=，所以平方根是±的数是。故选C.
04
课堂练习
【例2】的平方根是_________。
±9 【解析】因为=81，所以81的平方根是±9.故答案为±9.
04
课堂练习
【例3】如果一个正数x的两个平方根分别是2a-3和5-a，那么x的值是_________
49 【解析】因为一个正数x的两个平方根分别是2a-3与5-a，所以2a-3+5-a=0，解得a-2，所以5-a=7，所以x==49.故答案为49.
04
课堂练习
【例4】一个正整数的算术平方根为a，则比这个正整数大3的数的算术平方根是( )
A.a+3
B.a+
C.
D.
C 【解析】根据题意得，这个正整数为则比这个正整数大3的数的算术平方根是，故选C.
04
课堂练习
【选做】5. (1)已知m-3的算术平方根是3，=2，则m-n的算术平方根是_______；
(2)已知是2a-1的平方根，3是3a+2b-3的算术平方根，则a+2b的平方根是_______.
04
课堂练习
【选做】5. (1)3 (2)
解：(1)因为m-3的算术平方根是3,所以m-3=,解得 m=12.因为=2,所以n+1=4,解得n=3.所以m-n=12-3=9,所以m-n的算术平方根是3.
(2)因为是2a-1的平方根,所以2a-1=5,解得a=3，因为3是3a+2b-3的算术平方根，所以3a+2b-3=9,解得b=.当a=3,b=.时，a+2b=6，所以a+2b的平方根为.
04
课堂练习
【选做】6.的平方根是( )
A.9
B.±9
C.3
D.±3
易错点 审题不仔细，忽视根号造成错解
D 【解析】因为=9，所以的平方根是土3，故选D.
05
课堂小结
知识点1 平方根
1.概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3.一个正数a的正平方根用“”表示(读作“根号a”)；a 的负平方根用“－”表示(读作“负根号 a”)，因此，一个正数a的平方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数。
05
课堂小结
知识点2 开平方
1.概念：求一个数的平方根的运算叫作开平方.
2.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根.
05
课堂小结
知识点3算术平方根
1.正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。
一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。
2.一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根0。
3.算术平方根的双重非负性：
(1)被开方数a≥0；
(2)算术平方根≥0.
06
作业布置
【必做】1.一个正方形的面积变为原来的9倍，它的边长变为原来边长的_________倍.
3 【解析】设原正方形的面积为1,则扩大后的正方形的面积为9，原正方形的边长为=1，所以扩大后的正方形的边长为=3，因此边长变为原来边长的3倍，故答案为3.
06
作业布置
【必做】2.若有理数x，y满足+=0,则等于_________
4 【解析】因为+=0，所以x-2=0,y-3=0，解得x=2,y=3，所以==4，故答案为4.
06
作业布置
【必做】3.求下列各数的平方根：
(1)4; (2); (3)0.01
解：
(1)4的平方根为±=±2;
(2)的平方根为±=±;
(3)0.01的平方根为±=±0.1.
06
作业布置
【必做】4.如图,网格中每个小正方形的边长为1,若把阴影部分剪拼成一个正方形,那么新正方形的边长是_________
【解析】根据图形得 =222224+2=6,则新正方形的边长为.故答案为.
06
作业布置
【选做】5.将边长分别为1和2的长方形沿图虚线剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则正方形的边长是()
A. B. C. D.2
C 因为长方形的长为2,宽为1,所以长方形的面积为21=2.设正方形的边长为a,则可得=2,所以a=.因为a是正方形的边长,即a>0,所以 a=.故选 C.
06
作业布置
【选做】6. (1)观察各式：……发现规律：被开方数的小数点每向右移动_______位，其算术平方根的小数点向_______移动_______位；
(2)应用：已知_______，_______；
(3)拓展：已知，，计算.
06
作业布置
【选做】6.(1)观察各式: ，……发现规律:被开方数的小数点每向右移动2位,其算术平方根的小数点向右移动1位.故答案为2，右，1.
(2)已知,则0.2236，22.36,故答案为0.2236，22.36
.(3
06
作业布置
【拓展题】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：-9，-4，-1这三个数，，其结果6,3,2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”.
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为13，求m的值.
06
作业布置
【拓展题】(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.理由如下:因为,所以-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”
(2)因为,所以分两种情况讨论:
①当=12时,-3m=144,所以m=-48;
②当时,-12m=144,所以m=-12(不符合题意,舍去).综上,m的值是-48.
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3.1 平方根教学设计
课题 3.1 平方根 单元 第三单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 平方根的学习是在学生掌握了有理数和数的乘方运算的基础上进行的。它作为实数内容的一部分，标志着学生从有理数领域向实数领域的过渡。平方根不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为高中阶段学习不等式、函数和解析几何等知识做好准备。
核心素养 能力培养 通过学习平方根和算术平方根，初步形成基本的数学抽象和数学运算的能力； 通过平方与开平方的应用，培养运算能力和应用意识。
教学目标 了解平方根、算术平方根的概念，并会用根号表示非负数的平方根、算术平方根； 掌握求非负数的算术平方根的方法； 了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根。
教学重点 算术平方根的概念以及求法。
教学难点 算术平方根的双重非负性，了解平方与开平方互为逆运算。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 计算 15-4×(-3)+×2的结果为_______ 原式=15-(-12)+9×2=15+12+18=45.故答案为45. 创设情境、导入新课 一张正方形桌面的面积为1.44，它的边为多少米？ 复习回顾之前学习第二章的有理数的运算法则。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固认识有理数的运算法则相关知识。 从正方形桌面的面积求边长导入平方根的定义，引出运算方法。
新知探究 探究一：引入概念 一个正方形的面积为1.44(如图)，这个正方形的边长为多少米？你是怎么想的？什么数的平方等于1.44？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 例如，因为＝1.44，所以1.2是1.44的平方根。又因为＝1.44，所以－1.2也是1.44的平方根。 请分别说出49，，0的平方根。 49的平方根±7 的平方根± 0的平方根0 说明 例如：3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它们互为相反数. 平方根是它本身的数只有0. 【强调】： 关于数的平方根，我们有以下事实： 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； 零的平方根是零；负数没有平方根。 一个正数a的正平方根用“”表示(读作“根号a”)；a 的负平方根用“－”表示(读作“负根号 a”)，因此，一个正数a的平方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 注意 与() 的区别 (1)意义不同：前者是a的平方的算术平方根，后者是a的算术平方根的平方. (2)被开方数的取值范围不同，前者a为任意数，后者a为非负数. (3)结果不同： =|a|= a(a>0), -a(a<0); () =a(a=0). 只有当a≥0时，即a为非负数时，这两个式子的结果才相同. 探究二：例题讲解 教材第79页： 例1 求下列各数的平方根： (1)9； (2)； (3)0.36； (4)。 解： (1)因为＝9， ＝9，所以9的平方根是±3，即±＝±3。 (2)因为＝，所以的平方根是±，即±＝±。 【强调】： 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。 例如，9的算术平方根是3，即＝3，的算术平方根是，即＝。 一个正数的算术平方根是正根，0的算术平方根0。 算术平方根的双重非负性： (1)被开方数a≥0； (2)算术平方根≥0. 例2 先说出下列各式的意义，再计算。 (1)±； (2)； (3)－。 解： (1)±表示的平方根。 ±＝±。 (2)表示225的算术平方根。＝15。 (3)－表示的负平方根。 －＝－。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 思考教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 通过对问题的讨论，学生将学习平方根，开平方和算术平方根。
课堂练习 【例1】平方根是±的数是( ) A. B. C. D.± C 【解析】因为=，所以平方根是±的数是。故选C. 【例2】的平方根是_________。 ±9 【解析】因为=81，所以81的平方根是±9.故答案为±9. 【例3】如果一个正数x的两个平方根分别是2a-3和5-a，那么x的值是_________ 49 【解析】因为一个正数x的两个平方根分别是2a-3与5-a，所以2a-3+5-a=0，解得a-2，所以5-a=7，所以x==49.故答案为49. 【例4】一个正整数的算术平方根为a，则比这个正整数大3的数的算术平方根是( ) A.a+3 B.a+ C. D. C 【解析】根据题意得，这个正整数为则比这个正整数大3的数的算术平方根是，故选C. 【选做】5.(1)已知m-3的算术平方根是3，=2，则m-n的算术平方根是_______； (2)已知是2a-1的平方根，3是3a+2b-3的算术平方根，则a+2b的平方根是_______. (1)3 (2) 解：(1)因为m-3的算术平方根是3,所以m-3=,解得 m=12.因为=2,所以n+1=4,解得n=3.所以m-n=12-3=9,所以m-n的算术平方根是3. (2)因为是2a-1的平方根,所以2a-1=5,解得a=3，因为3是3a+2b-3的算术平方根，所以3a+2b-3=9,解得b=.当a=3,b=.时，a+2b=6，所以a+2b的平方根为. 【选做】6.的平方根是( ) A.9 B.±9 C.3 D.±3 易错点 审题不仔细，忽视根号造成错解 D 【解析】因为=9，所以的平方根是土3，故选D. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对有理数的混合运算的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 知识点1 平方根 1.概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 3.一个正数a的正平方根用“”表示(读作“根号a”)；a 的负平方根用“－”表示(读作“负根号 a”)，因此，一个正数a的平方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数. 知识点2 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫作开平方. 2.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根. 被开方数。 知识点3 算术平方根 1.正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。 2.一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根0。 3.算术平方根的双重非负性： (1)被开方数a≥0； (2)算术平方根≥0. 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第三章 实数
3.1 平方根
学习目标：
了解平方根、算术平方根的概念，并会用根号表示非负数的平方根、算术平方根；
掌握求非负数的算术平方根的方法；
了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根。
核心素养目标：通过学习平方根和算术平方根，初步形成基本的数学抽象和数学运算的能力；通过平方与开平方的应用，培养运算能力和应用意识。
学习重点：算术平方根的概念以及求法。
学习难点：算术平方根的双重非负性，了解平方与开平方互为逆运算。
一、知识链接
1.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的_________，也叫作a的_________。
2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为_________；零的平方根是_________；负数_________平方根。
3.一个正数a的正平方根用“_________”表示(读作“_________”)；a 的负平方根用“_________”表示(读作“_________”)，因此，一个正数a的平方根就用“_________”表示(读作“_________”)，其中a叫作_________。
4.求一个数的平方根的运算叫作开平方.
5.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根.
6.正数的_________称为算术平方根，0的算术平方根是_________。一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。
7.一个正数的算术平方根是_________数，负数_________算术平方根，0的算术平方根是_________。
二、自学自测
1.正数2的平方根可以表示为( )
A.
B.±
C.
D.-
2.已知=25,那么a=_______
一、创设情境、导入新课
一张正方形桌面的面积为1.44，它的边为多少米？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
一个正方形的面积为1.44(如图)，这个正方形的边长为多少米？你是怎么想的？什么数的平方等于1.44？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
例如，因为＝1.44，所以1.2是1.44的平方根。又因为＝1.44，所以－1.2也是1.44的平方根。
请分别说出49，，0的平方根。
说明
例如：3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它们互为相反数.
平方根是它本身的数只有0.
【强调】：
关于数的平方根，我们有以下事实：
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；负数没有平方根。
一个正数a的正平方根用“”表示(读作“根号a”)；a 的负平方根用“－”表示(读作“负根号 a”)，因此，一个正数a的平方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。
注意 与() 的区别
(1)意义不同：前者是a的平方的算术平方根，后者是a的算术平方根的平方.
(2)被开方数的取值范围不同，前者a为任意数，后者a为非负数.
(3)结果不同：
=|a|= a(a>0),
-a(a<0);
() =a(a=0).
只有当a≥0时，即a为非负数时，这两个式子的结果才相同.
探究二：例题讲解
教材第79页：
例1 求下列各数的平方根：
(1)9； (2)； (3)0.36； (4)。
【强调】：正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。
例如，9的算术平方根是3，即＝3，的算术平方根是，即＝。
一个正数的算术平方根是正根，0的算术平方根0。
算术平方根的双重非负性：
(1)被开方数a≥0；
(2)算术平方根≥0.
例2 先说出下列各式的意义，再计算。
(1)±； (2)； (3)－。
【例1】平方根是±的数是( )
A.
B.
C.
D.±
【例2】的平方根是_________。
【例3】如果一个正数x的两个平方根分别是2a-3和5-a，那么x的值是_________
【例4】一个正整数的算术平方根为a，则比这个正整数大3的数的算术平方根是( )
A.a+3
B.a+
C.
D.
【选做】5.(1)已知m-3的算术平方根是3，=2，则m-n的算术平方根是_______；
(2)已知是2a-1的平方根，3是3a+2b-3的算术平方根，则a+2b的平方根是_______.
【选做】6.的平方根是( )
A.9
B.±9
C.3
D.±3
知识点1 平方根
1.概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3.一个正数a的正平方根用“”表示(读作“根号a”)；a 的负平方根用“－”表示(读作“负根号 a”)，因此，一个正数a的平方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数.
知识点2 开平方
1.概念：求一个数的平方根的运算叫作开平方.
2.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根.
被开方数。
知识点3 算术平方根
1.正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。
一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。
2.一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根0。
3.算术平方根的双重非负性：
(1)被开方数a≥0；
(2)算术平方根≥0.
必做题：
1.一个正方形的面积变为原来的9倍，它的边长变为原来边长的_________倍.
2.若有理数x，y满足+=0,则等于_________
3.求下列各数的平方根：
(1)4; (2); (3)0.01
4.如图,网格中每个小正方形的边长为1,若把阴影部分剪拼成一个正方形,那么新正方形的边长是_________
选做题：
5. 将边长分别为1和2的长方形沿图虚线剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则正方形的边长是()
A. B. C. D.2
6.(1)观察各式：……发现规律：被开方数的小数点每向右移动_______位，其算术平方根的小数点向_______移动_______位；
(2)应用：已知_______，_______；
(3)拓展：已知，，计算.
拓展题：
我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：-9，-4，-1这三个数，，其结果6,3,2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”.
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为13，求m的值.
参考答案
【预习自测】
1. B
2. ±5
【作业布置】
必做
1.3 【解析】设原正方形的面积为1,则扩大后的正方形的面积为9，原正方形的边长为=1，所以扩大后的正方形的边长为=3，因此边长变为原来边长的3倍，故答案为3.
2.4 【解析】因为+=0，所以x-2=0,y-3=0，解得x=2,y=3，所以==4，故答案为4.
3.解：
(1)4的平方根为±=±2;
(2)的平方根为±=±;
(3)0.01的平方根为±=±0.1.
4.【解析】根据图形得 =222224+2=6,则新正方形的边长为.故答案为.
选做
5.C 因为长方形的长为2,宽为1,所以长方形的面积为21=2.设正方形的边长为a,则可得=2,所以a=.因为a是正方形的边长,即a>0,所以 a=.故选 C.
6. (1)观察各式: ，……发现规律:被开方数的小数点每向右移动2位,其算术平方根的小数点向右移动1位.故答案为2，右，1.
(2)已知,则0.2236，22.36,故答案为0.2236，22.36
(3)
拓展
(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.理由如下:因为,所以-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”
(2)因为,所以分两种情况讨论:
①当=12时,-3m=144,所以m=-48;
②当时,-12m=144,所以m=-12(不符合题意,舍去).综上,m的值是-48.
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