中小学教育资源及组卷应用平台
3.5圆周角六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：圆周角的概念辨析
【经典例题1-1】下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等
【经典例题1-2】下列图形中的是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等
【变式训练1-2】下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧
【变式训练1-3】下列说法错误的是（ ）
A．确定一个圆需要知道圆心和半径 B．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C．顶点在圆上的角是圆周角 D．任意三角形都有一个外接圆
【变式训练1-4】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．
【变式训练1-5】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-6】下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：利用圆周角的定理求角度
【经典例题2】如图，是的直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，是直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，是的直径，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，在中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如图，点，，三点在上，，， ．
【变式训练2-6】如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
题型三：利用圆周角的定理求线段
【经典例题3】如图，圆O是 ABC的外接圆，已知，，则圆O的半径的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ）
A． B．8 C． D．
【变式训练3-3】如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ．
【变式训练3-4】如图，是 ABC的外接圆，，，垂足为，，，则
【变式训练3-5】如图， ABC内接于，，于点，若，，则的半径为
题型四：直径所对的圆周角是直角
【经典例题4】如图所示，是的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【变式训练4-1】如图，已知 ABC和内接于，AB是的直径，，则的度数是（ ）
A．64° B．32° C．26° D．36°
【变式训练4-2】如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，线段是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆于点，交于点，连接，，若，则的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．
【变式训练4-3】如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则 ．
【变式训练4-4】如图，已知为的直径，，则 ．
【变式训练4-5】如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若则的度数为 ．
题型五：90°的圆周角所对的弦是直径（隐圆求最值）
【经典例题5】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】．在直角 ABC中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．
【变式训练5-2】如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
【变式训练5-3】如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．
【变式训练5-4】如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是 ．
【变式训练5-5】如图，已知 ABC中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
【变式训练5-6】如图，在 ABC中， ， ．以为斜边作等腰直角，连接，则的最大值为 ．
题型六：圆周角综合题型
【经典例题6】如图，已知是的直径，弦于E．
(1)若，求的长：
(2)若，求的度数．
【变式训练6-1】请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法
(1)如图，已知等腰 ABC中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线；
(2)如图，已知等腰 ABC内接于，且，请作出的平分线；
(3)如图，已知直角 ABC内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线．
【变式训练6-2】如图，为 ABC外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由．
【变式训练6-3】如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点D，连接，点M为中点，求取值范围．
【变式训练6-4】如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【变式训练6-5】如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【变式训练6-5】已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，，若，求证：平分；
(2)如图2，E为内一点，满足，，若，，求弦的长．中小学教育资源及组卷应用平台
3.5圆周角六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：圆周角的概念辨析
【经典例题1-1】下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等
【答案】C
【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质，圆周角定理的推论，解答关键是熟练掌握相关性质或定理．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意；
C、相等的弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意；
D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【经典例题1-2】下列图形中的是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角，
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
【变式训练1-1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等
【答案】D
【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意；
D、等弧一定是在同圆或等圆中，
等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】C
【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确；
B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；
C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识．
【变式训练1-3】下列说法错误的是（ ）
A．确定一个圆需要知道圆心和半径 B．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
C．顶点在圆上的角是圆周角 D．任意三角形都有一个外接圆
【答案】C
【分析】根据确定一个圆的条件，圆的对称性，圆周角的定义以及三角形那个外接圆的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、确定一个圆需要知道圆心和半径，正确，不符合题意；
B、过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，正确，不符合题意；
C、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，不正确，符合题意；
D、任意三角形都有一个外接圆，正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了确定一个圆的条件，圆的对称性，圆周角的定义以及三角形那个外接圆的定义，熟练掌握相关定义内容是解题的关键．
【变式训练1-4】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．
【答案】
【分析】根据圆周角的定义即可解答．
【详解】解：如图，
所对的圆周角是，
所对的圆周角是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
【变式训练1-5】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．
【变式训练1-6】下列图形中，是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：根据圆周角定义：可得是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．
故选B．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
题型二：利用圆周角的定理求角度
【经典例题2】如图，是的直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同弧或等弧所对圆心角相等，圆周角定理．
由得到，从而求得，进而根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【变式训练2-1】如图，是直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
连接，得出，，即可解答．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练2-2】如图，是的直径，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，利用直径所对的圆周角是直角求出，则可求，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解∶∵是的直径，
∴
又，
∴，
∴，
故选∶B．
【变式训练2-3】如图，在中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据垂径定理可得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练2-4】如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练2-5】如图，点，，三点在上，，， ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
由平行线所夹内错角相等得，再由圆周角定理得，即可求解．
【详解】解：（已知），
（两直线平行，内错角相等）；
又（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
．
故答案为：
【变式训练2-6】如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答．
【详解】解：连接，如图所示：
弧、、的长相等，
，
设，
，
，
，
在中，，
解得，
，
．
故答案为：．
题型三：利用圆周角的定理求线段
【经典例题3】如图，圆O是 ABC的外接圆，已知，，则圆O的半径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理可得，即可得到为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
,
，
为等腰直角三角形，
,
即，解得（负值舍去），
故选：B．
【变式训练3-1】如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．先利用为，得出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解．
【详解】解：∵为，
∴，
∴，
∵是弦的弦心距，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-2】如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出．
【详解】解：连接，如图，
弦，，
，
设的半径，
，
在中，
，
解得：，
；
，，
，
是直径，
，
是的中位线，
，
在中，．
故选：D
【变式训练3-3】如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ．
【答案】6或或
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，
是的直径，
，
，
①当时，
，
②当时，
③当时，
，
综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或，
故答案为：6或或．
【变式训练3-4】如图，是 ABC的外接圆，，，垂足为，，，则
【答案】/
【分析】连接，，，作于，于，，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，最后由线段和差即可求解．
【详解】如图，连接，，，作于，于，
则，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式训练3-5】如图， ABC内接于，，于点，若，，则的半径为
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，连接和，根据，于点，推出，算出，根据勾股定理算出，证是等腰直角三角形，根据代入计算即可，，掌握知识点计算是解题的关键．
【详解】
解：如图，连接和，
，于点，，，
，，，
，
，
，（同弧所对圆周角是圆心角的一半）
又，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：
题型四：直径所对的圆周角是直角
【经典例题4】如图所示，是的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【答案】D
【分析】本题主要考查圆周角定理及直角三角形两锐角互余，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角得出，感觉直角三角形两锐角互余，结合圆周角定理即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式训练4-1】如图，已知 ABC和内接于，AB是的直径，，则的度数是（ ）
A．64° B．32° C．26° D．36°
【答案】C
【分析】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，由是的直径，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】是的直径，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练4-2】如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，再由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点 D 是弧中点，
∴，
∴，
∴，
故选： C．
【变式训练4-3】如图，线段是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆于点，交于点，连接，，若，则的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图基本作图，圆周角定理的推论，线段垂直平分线的性质，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角定理的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】如图，连接．
根据作图知垂直平分，
，，
，
，
即，
线段是半圆的直径，
，
在中，根据勾股定理得，，
故选：D．
【变式训练4-3】如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由是的直径的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
【详解】解：∵是的直径的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，已知为的直径，，则 ．
【答案】65
【分析】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得答案．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：
【变式训练4-5】如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若则的度数为 ．
【答案】29
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得．
【详解】解： ，
，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
题型五：90°的圆周角所对的弦是直径（隐圆求最值）
【经典例题5】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图：
动点在边长为的正方形内，且，
点在以为直径的圆上，，
正方形的边长为，
，，
是的中点，
，
点与点关于对称，
，，
，
在中，，
当共线时，最小
线段的最小值为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【变式训练5-1】．在直角 ABC中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小，
∴，
在中，∵，，，
∴，
∴．
故答案为：2．
【变式训练5-2】如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
又∵，且点为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．
【变式训练5-3】如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】证明，则，，如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接交于，则，由，可知当四点共线时，最小为，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接交于，
∴，
∴，
∴当四点共线时，最小为，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．
【变式训练5-4】如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明是等边三角形，得，由，可得点在以为直径的圆上运动，连接并延长交于点，当点与点重合时，有最大值，最大值为的长，由等边三角形的性质及勾股定理可求解．确定点的运动轨迹是解题的关键．
【详解】如图，连接，取的中点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴点在以为直径的圆上运动，
连接并延长交于点，
∴
∴当点与点重合时，有最大值，最大值为的长，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是．
故答案为：．
【变式训练5-5】如图，已知 ABC中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解．
【详解】解：中，，，，
连接，由以为直径作，，，
，，
动点在以为直径的圆上运动，为圆心，
当，，在一直线上时，
即的最小值为
故答案为：．
【变式训练5-6】如图，在 ABC中， ， ．以为斜边作等腰直角，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆与几何的综合问题，直径所对的圆周角是，见详解图利用两边之和大于第三边可以得出的最大值即为图中的．
【详解】解：点A在以BC为直径的圆上；找的中点为点E，连结、；以为直径作半圆．
当点从点运动到点的时候，点是从点运动到点，且始终为，
点在以为直径作圆上，
在变化过程中和的大小始终不变，
的最大值为：即为图上，
在等腰直角中，
，
,即，
在中，
,
的最大值为：．
题型六：圆周角综合题型
【经典例题6】如图，已知是的直径，弦于E．
(1)若，求的长：
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出答案即可；
（2）根据圆周角定理求得，再根据两锐角互余的性质得到答案．
【详解】（1）解：弦，，
，
在中，，
；
（2）解：，
，
，
．
【变式训练6-1】请用无刻度的直尺完成下列作图：保留作图痕迹，不写作法
(1)如图，已知等腰 ABC中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线；
(2)如图，已知等腰 ABC内接于，且，请作出的平分线；
(3)如图，已知直角 ABC内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求；
（2）如图，连接并延长交于点P即为所求；
（3）如图，连接，延长交于点P，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求．
【详解】（1）解：如图，连接，则平分，说明如下：
∵ 是直径
∴
又
∴
∴即为所求；
（2）如图所示，即为所求．说明如下：连接，
∵，，
∴
∴
∴平分．
（3）解：如图，连接，延长交于点P，连接，即为所求．
∵
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，全等三角形的性质和判定，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键．
【变式训练6-2】如图，为 ABC外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上．理由见解析
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）根据垂径定理求解即可；
（2）由（1）知：，，由等弧所对的圆周角相等，得到，再结合角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵为直径，，
∴由垂径定理得：，
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：，
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上，
理由：由（1）知：，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上．
【变式训练6-3】如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点D，连接，点M为中点，求取值范围．
【答案】
【分析】取AB，CB中点P，Q，连接，，，，，取的中点O，过点O作于H，连接，，连接交半圆O于N，利用三角形中位线的性质得，，从而得到，则点M在以为直径的半圆上，当M在与半圆交点N处时，，当M在Q时，，再利用勾股定理求出，的长即可求解．
【详解】解：取AB，CB中点P，Q，连接，，，，，取的中点O，过点O作于H，连接，，以O为圆心，为直径作半圆O，连接交半圆O于N，如图，
∵点D在以为直径的半圆上，
∴，
∵点P，Q，M分别为AB，CB，的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴点M在以为直径的半圆上，
∴当M在与半圆交点N处时，，
当M在Q时，，
，
，
∴，
∴，
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴，即点H为的中点，
∴，，
，，
，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
【变式训练6-4】如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】 6
【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【详解】解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，
，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
【变式训练6-5】如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)60°
(2)
【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理等知识点，
（1）连接，由，推出，由，根据垂径定理即可推出；
（2）根据（1）所推出的结论，求出，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）连接，则，
，
∴，
；
（2），，
，
，
，
．
【变式训练6-5】已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，，若，求证：平分；
(2)如图2，E为内一点，满足，，若，，求弦的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理证出，则可得出结论；
（2）延长交于M，延长交于N，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
即平分；
（2）解：延长交于M，延长交于N，
∵，，
，
∵是的直径，
，
，，
∴，，
四边形是平行四边形，，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
