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专题突破一：图形旋转综合之线段或角的关系（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．
(1)当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)不会发生变化；理由见解析
(2)；理由见解析
(3)；理由见解析
【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，则．证明，则，即可证明；
（2）证明四边形是矩形，，则则，四边形是正方形，则垂直平分BD，则，由旋转知：则，得到，由即可得到结论；
（3）作交于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，得到，证明，由旋转知：则，证明是等边三角形，同理与都是等边三角形，则， 作于点M，则，得到，即可得到．
【详解】（1）的大小不会发生变化，始终有，
理由如下：作于点M，作于点N，如图，
四边形是正方形，
，
又
，
∴四边形是正方形，
．
，
，
；
（2），理由如下：
四边形是正方形，
，
，
∴四边形是矩形，，
，
四边形是正方形，
垂直平分BD，
，
由旋转知：
，
，
，即，
．
（3），理由如下：
如图，作交于点E，交于点G，
则四边形是平行四边形，
∴，
四边形是菱形，
垂直平分，
，
由旋转知：
，
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
同理与都是等边三角形，
，
作于点M，则，
，即，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
2．[初步探究]
（1）如图1，在 ABC与 ADE中，，，，易得．请你写出证明过程．
[解题反思]
以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．
[类比探究]
（2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．
[深入探究]
（3）如图3，D，P是等边 ABC外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．
[拓展应用]
（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3），证明见解析；（4）8
【分析】（1）先证明，再证明即可得到结论；
（2）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，首先证明，进而得到，问题即可解决．
（3）如图，延长至，使，连接，，证明，可得，，再证明，可得，从而可得结论；
（4）如图，过作，且，连接，并延长交于，可得，证明，证明，可得，，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，点E、D、G共线，
在和中，
，
∴ ，
∴，
即：，
∵，边长为3的正方形，
∴ ，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得： ，
即，
（3）解：，证明如下：
如图，延长至，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，，
而，
∴，
，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴；
（4）解：如图，过作，且，连接，并延长交于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，正确作出合适的辅助线是解本题的关键．
3．在正方形中，点在对角线所在的直线上，连接，点在直线上，（点与点不重合），且．
(1)如图1，找出与相等的角，并证明；
(2)如图2，当时，求证：．
(3)当点在不同于（2）的位置时，（2）的结论还成立吗？如果不成立，请直接写出你的结论．
【答案】(1)，见详解
(2)见详解
(3)结论不一定成立，或或
【分析】（1）过点作于点，作于点，证明，由全等三角形的性质可证明；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可证明为等腰直角三角形，即有，再证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可证明结论；
（3）分且点在线段上，点在射线上，点在射线上三种情况讨论，证明和的关系，即可获得答案．
【详解】（1）解：与相等的角为，证明如下：
如下图，过点作于点，作于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如下图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
则有，，，，，
∴为等腰直角三角形，即有，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，即点在同一直线上，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（3）解：当点在不同于（2）的位置时，（2）的结论不成立，理由如下：
①如下图，当，且点在线段上时，过点作，交于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
即为等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，当点在射线上时，过点作，交直线于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如下图，当点在射线上时，点作，交延长线于点，作于点，过点作，交直线于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
即为等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当点在不同于（2）的位置时，（2）的结论不一定成立，或或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，结合题意正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
4．已知 ABC中，，．
(1)如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且，，时， ；（直接写出计算结果）
(2)如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且时，写出线段、、之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当于点B，于点C， ，且时，直接写出线段的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），将绕A点旋转，使与重合，M与重合，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，再由勾股定理求出，即可得出．
（2）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质可得出，，即，再证明，由全等三角形的性质可得出，根据勾股定理可得出，等量代换可得出．
（3）延长和交于点H，过点A作交点T，根据题意可得四边形为正方形，且为等腰直角三角形，证得，则，求得，有，设，则，，利用，求得，即可得，进一步证得，则有．
【详解】（1）解：如下图，将绕A点旋转，使与重合，M与重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
即，
又∵，，
∴
∴
，
∴．
（2）作，使，连接，，，
∴
∴，
即，
由∵，
，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
（3）延长和交于点H，过点A作交点T，如图，
则四边形为正方形，且为等腰直角三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
设，则，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，等腰三角形性质，以及勾股定理的应用， 正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．在学校的数学研究性活动中，同学们开展了如下的研究学习：
(1)数学理解：如图1， ABC是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交于点，求之间的数量关系；
(2)问题解决：如图2，在任意中，∠B=90°，点是内一点，过点作正方形，分别交于点，若，求的度数；
(3)联系拓展：如图3，在（2）的条件下，分别延长，交于点，求、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明和为均等腰直角三角形，易得，，即可获得答案；
（2）首先由正方形的性质可得，，将以点为旋转中心，顺时针旋转得到，则点和点重合，由旋转的性质可得，，，进而可得，然后证明，由全等三角形的性质可得，由即可获得答案；
（3）结合由（2），根据题意以及正方形的性质证明，进而可得，同理可得，然后在中，由勾股定理即可证明结论．
【详解】（1）解：∵为等腰三角形，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
同理可得为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）∵四边形为正方形，
∴，，
将以点为旋转中心，顺时针旋转得到，如下图，
则点和点重合，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如下图，
由（2）可知，，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵分别延长，交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
在中，可有，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．【猜测探究】
在 ABC中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将 ABC绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【答案】（1），（2）不成立，见解析；（3）8
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，
（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得
，证得，可得，即可得证；
（2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明；
（3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：（1）由旋转的性质得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）不成立，理由如下：
由旋转的性质得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）在上取一点P，使，
由题意得，，，
∴，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即线段的长为8．
7．（1）【案例展示】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，理由如下：
∵，可把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点F、D、G共线，
由旋转得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴________，根据是________（第一空填三角形，第二空填全等的依据），
∴，
又∵，
∴．
（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角时，仍成立，则与应该满足什么数量关系是______．
（3）【拓展运用】如图3，在 ABC中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1），；（2）；（3），见解析
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，得到，进而可得结论；
（2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，同（1）证明，得到，然后可得结论；
（3）将绕点顺时针旋转得到，如图3，根据旋转的性质求出，得到，然后证明，得出，进而可得．
【详解】解：（1）∵，可把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点F、D、G共线，
由旋转得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴，根据是（第一空填三角形，第二空填全等的依据），
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，；
（2）时，仍成立；
理由：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，
，，，
，，
，
，
，
∵，
，即点、、共线，
在和中，，
，
，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）猜想：，
证明：将绕点顺时针旋转得到，如图3，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是正确理解题目所给方法，构造全等三角形进行解答．
8．综合探究：在 ABC中，，把 ABC绕点逆时针旋转适当的角度得到 ADE，连接对应点，和，交于点．
(1)如图1，当点落在边上时，证明：；
(2)如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而证明，结合易得，即为等腰三角形，再证明，即可证明结论；
（2）过点作交的延长线于点，连接，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论；
（3）连接，由旋转的性质可得，，，，结合，证明，设，，则，，，证明，易得，由直角三角的性质和等腰三角形的性质可得，，然后在中，由勾股定理可得，代入数值并求得，即可获得答案．
【详解】（1）证明：根据题意，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如下图，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵由旋转可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（3）连接，如下图，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
则，，，，
∴，
∵
∴，
∴，
由（2）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，可有，
即，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识并综合运用是解题关键．
9．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证．
(1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由．
(2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由．
(3)图中，若，，求的面积为 ．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】()证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论；
()证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论；
()根据全等三角形的性质得出，由题意求出的面积即可得出答案；
本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接
在和中，
，
∴，
∴，，
∴ ，
即，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵ ，
∴，
∴的面积，
∴的面积为，
故答案为：．
10．问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点顺时针旋转，得到，若延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，若，猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图，若，，直接写出的长．(结果可含根式)
【答案】（1）正方形，理由见解析
（2），证明见解析
（3）
【分析】（1）由旋转的性质得，由矩形的判定方法得四边形是矩形，然后由正方形的判定方法得四边形是正方形，即可得证；
（2）过点作于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，结合正方形的性质即可得证；
（3）过点作于，由正方形的性质得，由全等三角形的性质及各边的和差关系可求出和，再由勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
（2），
证明如下：
如图，过点作于，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）如图，过点作于，
四边形是正方形，
，
，
，
由（2）可知：
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
11．【问题提出】
在 ABC中，，直线经过A、B两点，点D是直线上一点，点E是边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，使得．
【问题探究】
(1)如图①，当点D与点A重合时，易得与的数量关系是 ；
(2)如图②，当点D在线段上，时，请写出之间的数量关系，并说明理由；
【结论运用】
(3)如图③，当点D在射线上，时，，，求的长．
【答案】(1)相等
(2)
(3)
【分析】（1）当点与点A重合，可得，由旋转的性质可得，通过证明，进而得到答案；
（2）过点作交于点，根据题意可得为等边三角形，由平行线的性质可得为等边三角形，由“”证明，从而即可得到答案；
（3）过点作交的延长线于点，根据题意可得为等腰直角三角形，由平行线的性质可得为等腰直角三角形，由“”证明，可得，最后由勾股定理进行计算即可得到答案；
【详解】（1）解：点与点A重合，
，
将线段绕点顺时针旋转至，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：相等；
（2）解：如图，过点作交于点，
，，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，即，
，
将线段绕点顺时针旋转至，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
将线段绕点顺时针旋转至，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是理清题意，正确作出辅助线，构造合适的全等三角形解决问题．
12．【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
【答案】（1）正方形；（2）225；（3），证明见解析
【分析】（1）首先证明四边形是矩形，再根据“邻边相等的矩形”是正方形证明即可；
（2）由勾股定理可求的值，即可求解；
（3）过点作于点H，则，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：（1）结论：四边形是正方形．
理由如下：
∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
由旋转可知：，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形；
（2）∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形的面积．
故答案为：225；
（3）结论：，
理由如下：如下图，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由旋转可知，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
13．已知 ABC是等腰三角形．
(1)如图1，若 ABC， ADE均是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：；
(2)如图2，若 ABC为等边三角形，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，的平分线交于点，连接．
①求的度数；
②试探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，，由即可得证；
（2）①在上截取，由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，由判定，由全等三角形的性质得 ，即可求解；②由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解；
【详解】（1）证明：，均是顶角相等的等腰三角形，
，，
，
，
，
在和中
，
()；
（2）解：①如图，在上截取，
为等边三角形，
，
，
线段绕点逆时针旋转90°，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
平分，
，
，
，
；
②，理由如下：
如图，
由①得：
，
在和中
，
()，
，
；
故：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出适当的辅助线，构建是解题的关键．
14．在四边形中，，，，．
图1 图2
(1)若的两边分别与边相交于点E、F，连接，如图1，求证：;
(2)如果的两边与边的延长线分别相交于点E、F，连接，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则长度之间满足怎样的等量关系，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，，理由见解析
【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
（1）将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，根据旋转的性质得到，证明，则，得到证明则，得到即可得到结论；
（2）在上截取，连接，证明，则，，再证明到，证得，证得，则，由即可证明结论
【详解】（1）证明：将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，如图1，
则，
∵，
∴，
∴三点共线，
，，
，
，
即，又为公共边，
∴，
即
∴．
（2）（1）中的结论就不再成立，此时长度之间的等量关系是，理由如下：
在上截取，连接，如图2，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
，而为公共边，
，
，
∵
∴．
15．把两个等腰直角三角形 ABC和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接，．
(1)特例问题：如图①，与的数量关系是_____________，与的位置关系是_____________；
(2)探索解决：如图②，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图③，点D在 ABC内部，若，，，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)成立，理由见解析
(3)3
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
（1）由和是等腰直角三角形可得，，，从而根据线段的差得到，由得到；
（2）利用“”证明，得到，，延长交于点F，交于点G． 根据三角形的内角和定理可得，得到；
（3）将绕点C逆时针旋转到，连接．由旋转的性质，得，，，根据等腰可得，从而得到，根据勾股定理在中，求得，在中，求得．
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴
∵点D，E分别在，上，
∴．
故答案为：；
（2）成立．
证明：由旋转的性质，得．
∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，．
延长交于点F，交于点G．
∵，
∴．
（3）将绕点C逆时针旋转到，连接．
由旋转的性质，得，，，
，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
16．如图，在三角形中，，，点P为 ABC内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为________；
②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)'，证明见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．
（1）由得到，由旋转可得，，从而，又，证得，得证；
（2）①当时，，又，因此，再根据，
得到，从而．
②延长到N，使，连接、，易证四边形为平行四边形，因此且，从而，，因此，从而证得，故，在等腰直角中，，因此．
【详解】（1），
证明：∵，，
∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）（2）①当时，
则，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
②，理由如下：
延长到N，使，连接、，
∵M为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵'为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
17．在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，过点E作，交直线于点F.
(1)如图1，当D为的中点时，点F与点A重合，请写出线段与的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，当D是边上任意一点时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由.
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）连接，证明四边形是正方形，即可得到结论；
（2）连接，证明，则，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，，证明形是平行四边形，由、、即可得到.
【详解】（1），理由如下：
连接，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵D为的中点，
∴，，
∴，
∵，点F与点A重合，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
在中，
，
∴；
（2）连接，
∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
在中，，
则
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行四边形和正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的判定和性质是解题的关键.
18．已知，点M为线段的中点，点P为线段上一动点，过点P作直线l（不与重合），于点E，于点F．
(1)如图1，当点P与点M重合时，与有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P不与点M重合时，（1）问中的结论是否仍然成立，为什么？
(3)在等边中，点M为的中点，点P为边上一动点，过点P的直线，于点E，于点F，连结．
①如图3，当时，求的度数；
②如图4，当时，探究的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)（1）中的结论仍成立，理由见解析
(3)①，②
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）延长交于点D，证明，则，得到，，即可得到结论；
（3）①由等边得到，由平行线性质得到，则，求出．由（2）知即可得到；
②将绕点M顺时针旋转得到，连结，进一步得到，则，得到，则，由得到，则，再证明，即可得到解论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵M为AB中点
∴
又∵，
∴
在和中
∴
∴；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图2，延长交于点D，
∵M为的中点，
∴，
又∵，．
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴
∴
又∵，
∴
∴
（3）①如图3，
∵等边
∴
∵
∴，
∴，
∵，点M为的中点
∴
∴
∴．
由（2）知
∴
②，理由如下；
如图4，由（2）知
∴
又∵
∴
∴．
将绕点M顺时针旋转得到，连结，
∵
∴
即
∴
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
即．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质并添加适当的辅助线是解题的关键．
19．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图①，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
(1)【思路梳理】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F，D，G共线，易证__________，故，，之间的数量关系为__________．
(2)【类比引申】
如图②，点E，F分别在正方形的边，的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确做出辅助线，得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
（1）把绕点A逆时针旋转至可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）把绕点A逆时针旋转至可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）解；把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，，．
由，得，
点、、在一条直线上，
由旋转知，．
，
．
．
，
，
．
故答案为：，.
（2），
理由如下：
在正方形中，，
如图，把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，，，．
点、、在一条直线上，
由旋转知，．
，
．
．
，
，
．
20．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由；
【答案】(1)是
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）由旋转可得，，又在正方形中，，从而，因此满足，，，故四边形是“直等补”四边形；
（2）由四边形是“直等补”四边形，，，可得，，从而，又，，证得四边形是矩形，有，，利用“”证明，从而， 进而证得．
【详解】（1）∵将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是
（2）∵四边形是“直等补”四边形，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
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专题突破一：图形旋转综合之线段或角的关系（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．
(1)当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由．
2．[初步探究]
（1）如图1，在 ABC与 ADE中，，，，易得．请你写出证明过程．
[解题反思]
以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．
[类比探究]
（2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．
[深入探究]
（3）如图3，D，P是等边 ABC外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．
[拓展应用]
（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．
3．在正方形中，点在对角线所在的直线上，连接，点在直线上，（点与点不重合），且．
(1)如图1，找出与相等的角，并证明；
(2)如图2，当时，求证：．
(3)当点在不同于（2）的位置时，（2）的结论还成立吗？如果不成立，请直接写出你的结论．
4．已知 ABC中，，．
(1)如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且，，时， ；（直接写出计算结果）
(2)如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且时，写出线段、、之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当于点B，于点C， ，且时，直接写出线段的值．
5．在学校的数学研究性活动中，同学们开展了如下的研究学习：
(1)数学理解：如图1， ABC是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交于点，求之间的数量关系；
(2)问题解决：如图2，在任意中，∠B=90°，点是内一点，过点作正方形，分别交于点，若，求的度数；
(3)联系拓展：如图3，在（2）的条件下，分别延长，交于点，求、之间的数量关系．
6．【猜测探究】
在 ABC中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将 ABC绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
7．（1）【案例展示】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，理由如下：
∵，可把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点F、D、G共线，
由旋转得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴________，根据是________（第一空填三角形，第二空填全等的依据），
∴，
又∵，
∴．
（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角时，仍成立，则与应该满足什么数量关系是______．
（3）【拓展运用】如图3，在 ABC中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
8．综合探究：在 ABC中，，把 ABC绕点逆时针旋转适当的角度得到 ADE，连接对应点，和，交于点．
(1)如图1，当点落在边上时，证明：；
(2)如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长．
9．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证．
(1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由．
(2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由．
(3)图中，若，，求的面积为 ．
10．问题情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点顺时针旋转，得到，若延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，若，猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图，若，，直接写出的长．(结果可含根式)
11．【问题提出】
在 ABC中，，直线经过A、B两点，点D是直线上一点，点E是边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，使得．
【问题探究】
(1)如图①，当点D与点A重合时，易得与的数量关系是 ；
(2)如图②，当点D在线段上，时，请写出之间的数量关系，并说明理由；
【结论运用】
(3)如图③，当点D在射线上，时，，，求的长．
12．【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
13．已知 ABC是等腰三角形．
(1)如图1，若 ABC， ADE均是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：；
(2)如图2，若 ABC为等边三角形，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，的平分线交于点，连接．
①求的度数；
②试探究线段之间的数量关系，并证明．
14．在四边形中，，，，．
图1 图2
(1)若的两边分别与边相交于点E、F，连接，如图1，求证：;
(2)如果的两边与边的延长线分别相交于点E、F，连接，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则长度之间满足怎样的等量关系，说明理由．
15．把两个等腰直角三角形 ABC和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接，．
(1)特例问题：如图①，与的数量关系是_____________，与的位置关系是_____________；
(2)探索解决：如图②，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图③，点D在 ABC内部，若，，，求线段的长．
16．如图，在三角形中，，，点P为 ABC内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为________；
②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
17．在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，过点E作，交直线于点F.
(1)如图1，当D为的中点时，点F与点A重合，请写出线段与的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，当D是边上任意一点时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由.
18．已知，点M为线段的中点，点P为线段上一动点，过点P作直线l（不与重合），于点E，于点F．
(1)如图1，当点P与点M重合时，与有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P不与点M重合时，（1）问中的结论是否仍然成立，为什么？
(3)在等边中，点M为的中点，点P为边上一动点，过点P的直线，于点E，于点F，连结．
①如图3，当时，求的度数；
②如图4，当时，探究的数量关系，并说明理由．
19．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图①，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
(1)【思路梳理】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F，D，G共线，易证__________，故，，之间的数量关系为__________．
(2)【类比引申】
如图②，点E，F分别在正方形的边，的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．
20．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由；
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