中小学教育资源及组卷应用平台
3.6&3.7圆的内接四边形和正多边形六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用圆的内接四边形求角度
【经典例题1】如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，四边形内接于，且点是优弧的中点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】如图，四边形内接于， A为弧BD中点，，则的度数为 °．
【变式训练1-4】如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ．
【变式训练1-5】如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ．
题型二：求四边形外接圆的直径
【经典例题2】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【变式训练2-1】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【变式训练2-3】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，已知△中，，以为直径的⊙分别交、于、两点，连接
(1) 求证：为等腰三角形；
(2) 若，，求AD的长和⊙的半径．
题型三：求正多边形的中心角
【经典例题3】如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，正五边形内接于，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ．
【变式训练3-4】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ．
【变式训练3-5】如图，正八边形中，连接，那么的度数为 °．
题型四：已知正多边形的中心角求边数
【经典例题4】如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【变式训练4-1】正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式训练4-2】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【变式训练4-4】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．
【变式训练4-5】一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ．
【变式训练4-6】如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
题型五：正多边形和圆的综合
【经典例题5】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
【变式训练5-1】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．
【变式训练5-2】如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
【变式训练5-3】如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型六：尺规作图-正多边形
【经典例题6】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边 ABC，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式训练6-1】如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练6-2】尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
【变式训练6-3】如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点．
(1)求证：是正六边形的一边；
(2)请在图上继续画出这个正六边形．
【变式训练6-4】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【变式训练6-5】请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
【变式训练6-6】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
3.6&3.7圆的内接四边形和正多边形六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用圆的内接四边形求角度
【经典例题1】如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【详解】∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练1-1】如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
故选：A
【变式训练1-2】如图，四边形内接于，且点是优弧的中点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形的性质得到，则可计算出，然后利用得到的度数．
【详解】解：连接，如图，
点是优弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D
【变式训练1-3】如图，四边形内接于， A为弧BD中点，，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题主要考查等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
又∵ A为中点，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-4】如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．
【详解】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：．
【变式训练1-5】如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ．
【答案】/118
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
故答案为：．
题型二：求四边形外接圆的直径
【经典例题2】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键．
【详解】解：∵、、、都在圆上，，
∴，
∵，
∴是的直径，，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为4，
故选：A．
【变式训练2-1】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴的面积是=
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
【变式训练2-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．
【变式训练2-3】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线．
连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵圆是矩形的外接圆，
∴点O是的中点
∵，，，
∴
∴
∴阴影部分的面积．
故选：B．
【变式训练2-4】如图，已知△中，，以为直径的⊙分别交、于、两点，连接
(1) 求证：为等腰三角形；
(2) 若，，求AD的长和⊙的半径．
【答案】(1)详见解析；(2)AD=5,半径为4.
【分析】(1) 利用等腰三角形的性质和圆内接四边形对角互补的性质，得到∠1=∠C,再利用等腰三角形的判定法则，得到ED=EC；
(2) 由(1) 得到的△ABC和△EDC中两角对应相等，得到△ABC∽△EDC,再利用相似三角形的性质求出AB= 8.
【详解】（1）由圆内接四边形对角互补得∠2+∠3=180°，又∠1+∠2=180°，所以∠1=∠3，又因为AB=AC，所以∠3=∠C，所以∠1=∠C，所以△EDC为等腰三角形，ED=EC.
（2）连接AE，因为AB为直径，所以∠AEB=90°，所以AE⊥BC，又因为AB=AC，△ABC为等腰三角形，所以BE=EC，BC=2EC=4，在△ABC和△EDC中，∠3=∠1，∠C=∠C，所以△ABC∽△EDC，所以AB∶ED=BC∶DC，即AB∶2=4∶3，所以AB=8.
圆的半径OA等于=,AD=AC－CD=8－3=5.
【点睛】本题主要考查等腰三角形、相似三角形的应用以及圆中的计算问题.
题型三：求正多边形的中心角
【经典例题3】如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可．
【详解】如图，连接 ，，，．
正三角形的中心角 ，
正八边形的中心角 ，
，
，
．
【变式训练3-1】正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答．
【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角，，
∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合，
因此这个角度至少是．
故选C．
【变式训练3-2】如图，正五边形内接于，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
，，
，
故选：D．
【变式训练3-3】如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ．
【答案】18
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
在中，，，
∴．
故答案为：18．
【变式训练3-4】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．
连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图：连接，
∵多边形是正六边形，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，正八边形中，连接，那么的度数为 °．
【答案】45
【分析】本题考查了求正多边形性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正多边形的性质是关键；设正八边形的中心为O，连接，则；由正多边形的性质得，由得的度数，从而求得结果．
【详解】解：设正八边形的中心为O，
如图，连接，则；
；
又，
，，
；
故答案为：45．
题型四：已知正多边形的中心角求边数
【经典例题4】如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，，
多边形是正边形，
，
，
正边形中心角为，
，
故选：B．
【变式训练4-1】正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可．
【详解】解：∵正多边形的中心角为，
∴这个多边形的边数是，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
【变式训练4-2】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故选：．
【变式训练4-3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵是内接正六边形的一边，
∴
∵是内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故选：D．
【变式训练4-4】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．
【答案】/十五
【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵是的内接正六边形的一边，
∴，
∵是的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练4-5】一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为就可以求出多边形的边数，即可得到结论．
【详解】解：∵多边形的边数为：，
则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长，
故答案为：16．
【变式训练4-6】如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
故答案为：10．
题型五：正多边形和圆的综合
【经典例题5】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键．
（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径；
（2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问．
【详解】解：（1）的面积为，
，
的直径长为，
故答案为：；
（2）如图，连接，，以、为边作，连接，
四边形为正方形，
，，
四边为平行四边形，
，
，
，
当、、共线时，最小，即为的最小值，
在中，，，
，
，
，
周长的最小值为，
故答案为：4．
【变式训练5-1】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解；
（2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，则，
∵是内接正十边形的边长，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵内接正十边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键．
【变式训练5-2】如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图，连接、、，
∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-3】如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以．
【详解】解：如图，连接、、，
∵，而为的中点，
∴，平分，即，
∵，
∴点和点都在以为直径的圆上，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键．
【变式训练5-4】如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的中心角是解题的关键．
根据正六边形的性质得出，再根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵六边形为正六边形，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练5-5】如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，设与相交于点，
∵正四边形和正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
题型六：尺规作图-正多边形
【经典例题6】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边 ABC，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【详解】（1）∵⊙的半径为：，
∴⊙的周长，
故答案为：
（2）如图：
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵过圆心, ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．
【变式训练6-1】如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形为所作．
垂直平分，为的直径，
为的直径，
，
，，，
四边形是矩形
,
四边形是正方形，
又都在圆上，
四边形是的内接正方形．
【变式训练6-2】尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可；
（2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，
（2）解：如图，点、即为所求，
【点睛】本题考查作图 复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式训练6-3】如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点．
(1)求证：是正六边形的一边；
(2)请在图上继续画出这个正六边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键．
（1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边；
（2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长．
【详解】（1）证明：连接，如图．
∵，
∴是等边三角形，
，
∴是正六边形的一边；
（2）解：如图所示，
用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形．
【变式训练6-4】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为的直径，
∴BD为的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是的内接正方形．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
【变式训练6-5】请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
【答案】见解析
【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．
【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式训练6-6】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
