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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.6&3.7圆的内接四边形和正多边形六大题型（一课一练）
1．下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（ ）
如图，四边形为的内接四边形．若，则的度数为（
A． B． C． D．
3．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
4．如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为( )
A． B． C．或 D．或
7．如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对 B．淇淇对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对
9．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程：
①作直径；
②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，；
③连接，，．
结论Ⅰ：是等边三角形；
结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
11．如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为 ．
12．小亮是个爱思考的同学，在利用量角器量角的度数时，他发现以下的测量方法也可以测量出的度数，他让的顶点C恰好落在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、B两点，若点A、B对应的刻度分别是和，则的度数为 ．
13．已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ．
14．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ．
15．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ．
16．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ．
17．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为
18．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．
19．如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的半径，
20．如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
21．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
22．如图，中的中点为，弦分别交与两点．
(1)若，求的大小；
(2)若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明：．
23．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、．
(1)图①中的度数是_____；
(2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____；
(3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____．
24．如图，等边内接于，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连接与交于点D，过点C作交的延长线于点M．
(1)求证：；
(2)若．求的半径．
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3.6&3.7圆的内接四边形和正多边形六大题型（一课一练）
1．下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据等弧的概念可判断（1）；根据直径的特征可判断（2）；根据圆内接四边形的性质和矩形的判定方法可判断（3）；根据三角形的外接圆可判断（4）；根据圆周角定理可判断（5）．
【详解】解：（1）同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧，故原说法错误；
（2）直径是圆中最长的弦，正确；
（3）圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误；
（5）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误．
故选B．
【点睛】本题考查了等弧的概念，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，熟练掌握圆的有关性质是解答本题的关键．
2．如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（ ）
如图，四边形为的内接四边形．若，则的度数为（
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆周角定理得，根据菱形对角相等的性质得，再通过等量代换，结合圆内接四边形的性质求出．
【详解】解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：B．
3．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键．
【详解】解：∵、、、都在圆上，，
∴，
∵，
∴是的直径，，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为4，
故选：A．
4．如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵正五边形纸片，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
故选：B．
5．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出．
【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵等边三角形内接于，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据圆周角定理解答即可．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理．
【详解】解：如图：
一弦所对的圆心角为，即，
∴
∴
该弦所对的圆周角为或，
故选：C
7．如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理和圆的内接四边形性质，熟练掌握圆的内接四边形性质是解题的关键．利用三角形内角和定理和圆的内接四边形对角互补，根据题意列出关系式化简即可．
【详解】解：在中，，
在中，，
∵ 四边形是的内接四边形，
∴ ，即 ，
∴
．
故选：C．
8．综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对 B．淇淇对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，分两种情况当C，D位于弦的两侧时与当C，D位于弦的同侧时，利用圆内接四边形对角互补和圆周角定理进行求解判断即可．
【详解】解：如图，当C，D位于弦的两侧时，
，
；
如图，当C，D位于弦的同侧时，
，
的度数是或，
嘉嘉和淇淇合在一起也不对，
故选：D．
9．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可．
【详解】解：如图，连接，
根据，当D，E，O三点共线时，最小；
∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上，
∴，，
∴，
∵正六边形的边长为2，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键．
10．如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程：
①作直径；
②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，；
③连接，，．
结论Ⅰ：是等边三角形；
结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理、正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解题的关键．
结论Ⅰ：连接，由作图可知是等边三角形，根据同弧（等弧）所对的圆周角相等即可得出结论；结论Ⅱ：在正五边形和中分别求出和所对的中心角的度数，进而可以求出的度数，根据公式即可求出正多边形的边数．
【详解】解：结论Ⅰ：连接，
由作图可知：，
，
，
是等边三角形，
，
，
同理，，
，
是等边三角形；
结论Ⅱ：是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误．
故选：D．
11．如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质求出即可．
【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴弦所对的弧的度数为或，
故答案为：或．
12．小亮是个爱思考的同学，在利用量角器量角的度数时，他发现以下的测量方法也可以测量出的度数，他让的顶点C恰好落在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、B两点，若点A、B对应的刻度分别是和，则的度数为 ．
【答案】/130度
【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答.
【详解】连接, 设的直径为, 如图:
由题意可知，，
，
，
，
，
故答案为：
13．已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ．
【答案】
【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论．
【详解】解：，，
，
四边形四点共圆．
当为直径时，最大，
．
，
，，，
，
．
，
在中，由勾股定理，得
，
．
，
，
．
当点与顶重合时，最小．作于点．
，
．
，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
即．
的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键．
14．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ．
【答案】
【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径．
【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径，
故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是
故答案为：
【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置．
15．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解．
【详解】
解：如图，连接，，作，，，
由正八边形性质得，，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
由正八边形性质得，
∴，
∵，
∴，同理，
∴，
∴
．
故答案为：．
16．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解．
【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：或或．
17．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为
【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1，
∴小正六边形的面积为：
，
故答案为：．
18．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共线，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
四点共线，
恒等于，
点P在正方形对角线上运动，
，
，
，
，
为定值，
当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，
，
的周长的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
19．如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的半径，
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质；
（1）根据圆内接四边形的性质得到，再证明即可得到；
（2）连接并延长交于F，连接，则，根据已知条件得到，，求得，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】（1）证明：∵D是弧的中点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）解：连接并延长交于F，连接，
则，
∵D是弧的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
20．如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到；
（2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴
．在 中，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
21．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图，连接、、，
∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴．
22．如图，中的中点为，弦分别交与两点．
(1)若，求的大小；
(2)若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是圆周角定理，三角形的内角和定理，和线段的垂直平分线定理，解答本题的关键是求出是四边形的外接圆心；
（1）连接，则，，根据圆周角可得，，即可得到所求的度数；
（2）运用圆的定义和共圆，可得为圆心，在的中垂线上，即可得证．
【详解】（1）解：连接，
则，．
∵，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故G就是过四点的圆的圆心，
∴G在的垂直平分线上，
又也在的垂直平分线上，
∴．
23．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、．
(1)图①中的度数是_____；
(2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____；
(3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到；
（2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到；
（3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为．
【详解】（1）解：如图1中，连接．
，
分别为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图②，连接，
为正方形，
，
同（1）中的证明方法可得，
，
；
如图③，连接，
为正五边方形，
，
同（1）中的证明方法可得，
，
，
故答案为：，；
（3）在图①中，，
在图②中，，
在图③中，，
故在正n边形中，的度数为，
故答案为：．
24．如图，等边内接于，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连接与交于点D，过点C作交的延长线于点M．
(1)求证：；
(2)若．求的半径．
【答案】(1)证明见解答过程
(2)的半径为
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，求得，得到，根据勾股定理得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
又∵是等边三角形，
∴；
而，
，
在与中，
，
；
（2）解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
∵为等边三角形，
∴经过圆心，
，
，
在中，设，则，
，
解得：．
即的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质、三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
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