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3.8 弧长及扇形面积七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用弧长公式求弧长
【经典例题1】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接，根据垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的长为，
故选：B．
【变式训练1-1】如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，取圆上一点，
∵，，
∴，
∴，
如图，当点重合时，
∵，
∵为中点，
∴，
∴，
∴为直径，
当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动，
∵为中点，为中点，
∴，
∴，
∴在的运动过程中的路径长为，
故选：．
【变式训练1-2】如图，在扇形中，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查求弧长，把已知数据代入弧长公式计算即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键．
【详解】解：的长=，
故答案为：．
【变式训练1-3】如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长．
【详解】解：连接，
∵四边形内接于为的直径，
，
平分，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
，
∴，
则的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
【变式训练1-4】在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式，由此即可求解．
【详解】解：的圆心角所对的弧长为，
故答案为： ．
【变式训练1-5】如图．是以 ABC的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方．
(1)求的度数．
(2)若，．求劣弧的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据是的直径可知，根据可求出，进而得出是等腰直角三角形，于是得到，最后根据同弧所对圆周角相等即可求解；
（2）连接，，根据是等腰直角三角形得到是等腰直角三角形，进而得到，
根据，得到的度数，进而根据圆周角定理得到的度数，最后根据弧长计算公式即可求解．
【详解】（1）解：是的直径，
．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）解：如图，连接，．
由（1）知，，
是等腰直角三角形（底边上三线合一），
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，同弧所对圆周角相等，掌握相关定义以及定理是解题的关键．
题型二：利用公式求扇形半径
【经典例题2】已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设该扇形的半径是，则
，
解得．
故答案为：2．
【变式训练2-1】在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算，设此圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键．
【详解】解：设此圆锥的母线长为，
根据题意得，解得，
即此圆锥的母线长为，
故答案为：．
【变式训练2-2】如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
连接，根据扇形圆心角为，得到B，O，C三点共线，为圆O的直径，首先求得扇形的弧长，再利用弧长公式求出圆锥的母线长即可．
【详解】解：如图，连接，
，
为圆O的直径，
B，O，C三点共线，
围成圆锥的底面半径为1，
，
，
，
故答案为：4．
【变式训练2-3】如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查扇形弧长计算，利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长．
【详解】解：设扇形的半径是，
则，
解得：，
扇形的半径是4．
故答案为：4．
【变式训练2-4】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案．
【详解】解：设扇形的半径是R，
则
解得：．
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm．
【答案】12
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，是解题的关键．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意，得：，
解得：，
故答案为：12．
题型三：利用公式求圆心角
【经典例题3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是，
滑轮的半径是，
设旋转的角度是，
由题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：B．
【变式训练3-1】如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆心角的计算，利用圆的周角等于，根据“黄金扇形”的定义列算式求解即可．
【详解】解：“黄金扇形”的圆心角约为，
故选C．
【变式训练3-2】(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ．
【答案】 2 /60度
【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可．
【详解】解：（1）设扇形的半径为R，
则根据题意，得，
解得.
故该扇形的半径是2．
（2）根据弧长公式得，
解得，
故扇形圆心角的大小为．
故答案为：2；．
【变式训练3-3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转，则 ．
【答案】108
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：108
【变式训练3-4】在一个半径为的圆上，截取一段长度为的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为 ．
【答案】/140度
【分析】本题考查的知识点是求圆的周长、求圆心角，解题关键是熟练掌握求圆心角的方法．
先求出圆的周长，再根据即可求出所对的圆心角度数．
【详解】解：该圆的周长为，
长度为的圆弧所对的圆心角度数为．
故答案为：．
【变式训练3-5】若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题主要考查了弧长公式．
设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解．
【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为．
故答案为：．
题型四：求某点弧形运动路径长度
【经典例题4】某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键．
根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：依题意可知：鞋尖A在 “向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为，
∴ 鞋尖A在“向右转”的运动中路径长.
故选：A．
【变式训练4-1】如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
在中，点O是的中点，，
，
，
，
，
点E与点C第一次重合时，旋转角为，
，
由旋转的性质得到，
点A运动路径的长为，
点A运动路径的长为：，
故选：A．
【变式训练4-2】如图，在中，，把 ABC绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
由旋转的性质可得，
∴点B走过的路径长为，
故选：D．
【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
(1)在图中画出；
(2)点C的运动路径长为____________；
(3)旋转过程中线段扫过的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查坐标系与图形变换旋转，以及弧长和扇形面积的计算．熟练掌握旋转三要素，弧长和扇形的计算公式，是解题的关键．
（1）作出点、绕着点顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据弧长公式求解可得；
（3）结合图形知线段所扫过的面积为，再利用扇形的面积公式求解可得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴点的运动路径长为，
故答案为：；
（3）解：旋转过程中线段扫过的面积为，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度， ABC的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） ．
(1)将 ABC绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出，
(2)连接，的面积为 ．
(3)点在旋转过程中经过的路径长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查作旋转图形，勾股定理，求弧长，掌握旋转的性质是解题关键．
（1）根据旋转的性质分别找到、、点的对应点，再依次连接即可；
（2）由勾股定理可求出，由旋转的性质可得，，最后根据，即可求解；
（3）根据点在旋转过程中经过的路径长是以点位圆心，为半径的圆周长的，以此计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由图可知，，，
，
由旋转可知，，，
，
故答案为：；
（3），，
点在旋转过程中经过的路径长为，
故答案为：．
【变式训练4-5】已知 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出图中点A和点C的坐标；
(2)画出 ABC绕点按顺时针方向旋转后的；
(3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）．
【答案】(1)、
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的读取、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概念是解题关键．
（1）根据平面直角坐标系写出点A、C的坐标即可；
（2）根据网格结构先找出点A、B、C绕点C顺时针旋转的对应点的位置，然后再找出旋转后的三角形绕点B逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据勾股定理求出的长度，然后根据弧长公式列式求出点A所经过的路线长．
【详解】（1）、；
（2）如图，即为所求，
（3），
．
题型五：利用扇形面积公式求面积
【经典例题5】如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积．
【详解】解：连接，，，，与交于，
由折叠性质可得，，，，
，
，，
∴，是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
故选：D．
【变式训练5-1】如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练5-2】如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：正八边形和正六边形，
，，
，
．
故答案为：．
【变式训练5-3】如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为
，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案
【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为，
外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，
∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)
[另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)]
；
故答案为∶．
【变式训练5-4】某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理的推论，扇形的面积公式，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°，
先求出，，再利用扇形面积公式求解即可
【详解】解：∵，是的直径，
∴，
∵弧是以D为圆心，为半径的弧，
∴，
∴商标图案的面积为：（）
故答案为：
【变式训练5-5】如图，为 ABC的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接．
(1)求证：．
(2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据垂径定理的推论可得垂直平分，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）设的半径为，从而可得，再根据垂径定理的推论可得，然后在中，利用勾股定理可得的值，求出的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，即，
∵点D为的中点，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，则，
，
，
∵点D为的中点，
∴，
，
在中，，即，
解得，
，
又，
，
，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键．
题型六：利用面积公式求弓形面积
【经典例题6】如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
由题意可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
则图中阴影部分的面积为
，
故选：A．
【变式训练6-1】如图，在等腰 ABC中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，为的直径．
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：
【变式训练6-2】如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴扇形与扇形重合，
∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；
故答案为：．
【变式训练6-3】如图，已知 ABC在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，
，
∵
，
故答案为：．
【变式训练6-4】如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正六边形的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，连接，作，可推出四边形是菱形；根据正六边形的性质可得，进一步推出均为等边三角形；根据阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：连接，作如图所示：
由题意得：，
∴四边形是菱形，
∵是正六边形，
∴，
∴，
∴均为等边三角形，
∴
∴
∴阴影部分的面积，
故答案为：
【变式训练6-5】如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，
是等边三角形的边长为3，
，，
以为直径构造半圆，
，
、是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
题型七：利用面积公式求其他不规则图形面积
【经典例题7】如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化．
图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积．
【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示：
图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，
图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示：
四边形的面积，
弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示：
扇形的面积，
三角形面积，
弓形的面积，
图形1的面积，
图中阴影部分的面积图形1的面积．
故选：A．
【变式训练7-1】如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积，菱形的判定与性质，根据在菱形中，已知，，以为直径的与菱形ABCD相交，可以得到圆的半径和圆内各角的度数，然后根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：设与菱形的四条边相交于E、F、G、H，连接，，，，，
在菱形中，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵以为直径的与菱形ABCD相交，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
同理，
∴四边形是菱形，
∴，
同理、、都是等边三角形，四边形是菱形，
∴，
∴阴影部分面积为，
故答案为：．
【变式训练7-2】如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键．
【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，
根据题意，得，，
∴，
∵，
∴
，
∵中，，，
∴，
．
故答案为：24．
【变式训练7-3】如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【变式训练7-4】如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积，即可求解．
【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【变式训练7-5】如图，等边 ABC的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正三角形的内切圆、等边三角形的性质、扇形面积等知识，由等边的边长为2可得扇形的面积为，等边的面积为，的面积为．即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵等边的边长为2，
∴，
∴等边的面积为，扇形的面积为，的半径为
∴的面积为．
阴影部分的面积
故答案为：
【变式训练7-6】杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）．
【答案】
【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：设
∵小扇形的半径为，弧长为
∴
则
则
∵大扇形的半径为，扇面的宽度为，
∴
则
故答案为：
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3.8 弧长及扇形面积七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用弧长公式求弧长
【经典例题1】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，在扇形中，，，则的长为 ．
【变式训练1-3】如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ．
【变式训练1-4】在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留）
【变式训练1-5】如图．是以 ABC的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方．
(1)求的度数．
(2)若，．求劣弧的长．
题型二：利用公式求扇形半径
【经典例题2】已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ．
【变式训练2-1】在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ．
【变式训练2-2】如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是 ．
【变式训练2-3】如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．
【变式训练2-4】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ．
【变式训练2-5】如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm．
题型三：利用公式求圆心角
【经典例题3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ．
【变式训练3-3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转，则 ．
【变式训练3-4】在一个半径为的圆上，截取一段长度为的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为 ．
【变式训练3-5】若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
题型四：求某点弧形运动路径长度
【经典例题4】某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在中，，把 ABC绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
(1)在图中画出；
(2)点C的运动路径长为____________；
(3)旋转过程中线段扫过的面积为______．
【变式训练4-4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度， ABC的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） ．
(1)将 ABC绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出，
(2)连接，的面积为 ．
(3)点在旋转过程中经过的路径长为 ．
【变式训练4-5】已知 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出图中点A和点C的坐标；
(2)画出 ABC绕点按顺时针方向旋转后的；
(3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）．
题型五：利用扇形面积公式求面积
【经典例题5】如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
【变式训练5-3】如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ．
【变式训练5-4】某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知的直径，且，弧是以D为圆心，为半径的弧，则商标图案的面积为 ．
【变式训练5-5】如图，为 ABC的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接．
(1)求证：．
(2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积．
题型六：利用面积公式求弓形面积
【经典例题6】如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，在等腰 ABC中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练6-2】如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．
【变式训练6-3】如图，已知 ABC在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【变式训练6-4】如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练6-5】如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
题型七：利用面积公式求其他不规则图形面积
【经典例题7】如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练7-2】如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．
【变式训练7-3】如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【变式训练7-4】如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式训练7-5】如图，等边 ABC的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为 ．
【变式训练7-6】杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）．
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