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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.8弧长及扇形面积七大题型（一课一练）
1．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
D
A． B． C． D．
2．如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知在半径为6的中，点A，B，C在上且，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，若，，则的长度是（ ）
A．π B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，，． ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到 ADE，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
6．如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
8．如图，从一个边长是的正六边形纸板中裁出两个扇形和，分别围成圆锥（裁缝和接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在边长为1的正五边形内，所有到点的距离大于1且到点的距离小于1的点组成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知在扇形中，，．P为弧上的动点，过点P作于点E，于点F，连接．当点沿着弧从点运动至点时， PEF的外心运动的路径长为 ．
12．如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ．
13．边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为 ．
14．如图，正方形的边，将正方形以点为旋转中心逆时针旋转得到正方形（旋转角小于），与相交于点．若点恰好落在边的垂直平分线上，则图中的长度为 ．
15．一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ．
16．如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ．
17．如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是 ．
18．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用大小不同的圆心角是的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形的半径是1厘米，它的弧线长是 厘米；第二步中所画的弧线长是 厘米，第三步中所画的弧线长是 厘米，按照如图所示的方法继续往下画，第七步中所画的弧线长是 厘米．
19．如图 ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出将 ABC绕点B逆时针旋转后的．并写出的坐标；
(2)请画出 ABC关于点O成中心对称的；
(3)在（1）的条件下求线段所扫过的图形面积．
20．如图， ABC中，，是 ABC的外接圆，的延长交边于点D．
(1)试利用无刻度的直尺画出的平分线，并说明理由；
(2)若，的半径为2，求劣弧的长．
21．如图，四边形是的内接四边形，四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，，连接．
(1)求的度数；
(2)当的半径等于2时，请直接写出弧的长（结果保留π）
22．如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧．
(1)求的半径；
(2)当时，求的长度；
(3)如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积．
23．在矩形中，，将线段绕点顺时针旋转）得到线段，连接．
(1)如图1，当时，求的面积；
(2)如图2 ，当时，求的值；
(3)在线段旋转的过程中，直接写出面积的最大值 ，此时点运动的路径长为 ；
24．如图，是的直径，．动点P从点A出发，在上沿顺时针方向运动到终点B，速度为每秒个单位．同时动点Q从点B出发，在上沿顺时针方向运动，速度为每秒个单位．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．连接、．设点P的运动时间为t秒．
(1)的周长为 ；
(2)当点P与点Q重合时，求所在的扇形的面积；
(3)当时，求t的值；
(4)作半径的垂直平分线交于点M、N，连接．当将线段分成的两部分时，直接写出t的值．
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3.8弧长及扇形面积七大题型（一课一练）
1．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
D
A． B． C． D．
【答案】A
【解题分析】本题考查的知识点是扇形面积的计算，根据圆心角与弧的关系得到，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴阴影部分面积
故选A．
2．如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，作交与点D，设圆的半径为，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．
【详解】解：作交与点D，设圆的半径为，
∵，
∴，则．
∴；
．
在三角形中，，
∴，，，
∴， ，
，
∴．
故选：B．
3．如图，已知在半径为6的中，点A，B，C在上且，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式．利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式计算即可．正确记忆公式是重点．熟练掌握圆周角定理是关键．
【详解】解：连接、，
∵，
∴，
∴的长度为：，
故选：B．
4．如图，在中，若，，则的长度是（ ）
A．π B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理可得，继而根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴的长．
故选：B．
5．如图，在 ABC中，，，． ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到 ADE，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键．
解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上，
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴点C经过的路径长为：，
故选：C．
6．如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：连接，作，则：，
∴,
∵，直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故选A．
7．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
故选：B．
8．如图，从一个边长是的正六边形纸板中裁出两个扇形和，分别围成圆锥（裁缝和接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积、弧长的计算，圆锥的底面圆半径的计算，根据题意可得正六边形的每个内角的度数，可得扇形的弧长，由此即可求解．
【详解】解：边长为的正六边形，
∴每个内角的度数为，
∴扇形的弧长为，
∴圆锥底面圆的半径为，
故选：B ．
9．如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案．
【详解】解：连接，过点B作，如图，
∵正六边形的边长为4，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，，
∴
同理可证，，
∴，
∴，
又，
∴图中阴影部分的面积为
故选：A
10．在边长为1的正五边形内，所有到点的距离大于1且到点的距离小于1的点组成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算以及解直角三角形，根据正五边形的性质，扇形面积的计算方法，直角三角形的边角关系以及图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键.
【详解】如图，以点为圆心，以为半径画弧与以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接, 过点作于点，
∵五边形是正五边形，
，
由正五边形的对称性可知，
在中,
，
，
在中， ，
，
∴
，
.
故选: B.
11．如图，已知在扇形中，，．P为弧上的动点，过点P作于点E，于点F，连接．当点沿着弧从点运动至点时， PEF的外心运动的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查轨迹，圆周角定理，弧长公式，三角形的外心等知识，解题的关键是正确寻找的外心点的运动轨迹，属于中考常考题型．判断出的外心点的运动轨迹，利用弧长公式求解．
【详解】解：如图，连接，作出的中点D，连接，
，，
，
点，，，四点共圆，
是的外接圆的圆心，
，
点是以在点为圆心为半径的圆上的动点，
点，分别在半径，上，
点运动路径所对的圆心角是，
点运动路径所对的圆心角是，
点运动的路径长为．
故答案为：．
12．如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
设中间圆的半径为r，通过旋转可将阴影部分转化为最大圆的和中间圆的，然后根据圆的面积公式得到，再解方程即可．
【详解】解：设中间圆的半径为r，
根据题意得，
解得 (舍去)，
即中间圆的半径为
故答案为：6．
13．边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积，求出扇形圆心角，利用扇形的面积公式求解
【详解】解：如图，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和=扇形的面积，
故答案为：
14．如图，正方形的边，将正方形以点为旋转中心逆时针旋转得到正方形（旋转角小于），与相交于点．若点恰好落在边的垂直平分线上，则图中的长度为 ．
【答案】
【分析】连接，根据旋转的性质可得：，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，最后根据正方形的性质可得，从而可得的长，再利用弧长公式进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，连接，
由旋转得：，
∵点恰好落在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
的长度是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积，熟练记忆公式是解题的关键．
根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
16．如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键．
根据弧长公式计算即可．
【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转，
此次点走过的路径是．
第二次是以为旋转中心，为半径旋转，
此次走过的路径是，
故点两次共走过的路径是．
故答案为：．
17．如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及弧长公式的应用，先求出，再由弧长公式求出的长，进一步求出该圆锥的底面圆半径，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
的长，
该圆锥的底面圆半径为：，
故答案为：．
18．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用大小不同的圆心角是的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形的半径是1厘米，它的弧线长是 厘米；第二步中所画的弧线长是 厘米，第三步中所画的弧线长是 厘米，按照如图所示的方法继续往下画，第七步中所画的弧线长是 厘米．
【答案】 或 或 或 或
【分析】本题考查了求扇形的弧长以及图形规律，先找出每一步的半径，再运用扇形弧长公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵它是用大小不同的圆心角是的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形的半径是1厘米，
∴（厘米）
∴它的弧线长是厘米；
结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米，
∴（厘米）
第三步中所画的弧线长是π厘米，
第四步，半径是（厘米）
第五步，半径是（厘米）
第六步，半径是（厘米）
第七步，半径是（厘米）
∴（厘米）
即按照如图所示的方法继续往下画，第七步中所画的弧线长是厘米
故答案为：，，，
19．如图 ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出将 ABC绕点B逆时针旋转后的．并写出的坐标；
(2)请画出 ABC关于点O成中心对称的；
(3)在（1）的条件下求线段所扫过的图形面积．
【答案】(1)见详解，
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了关于原点对称和旋转变换的作图，扇形面积公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）通过绕点逆时针旋转，找出对应点，连线画出，再写出的坐标即可；
（2）通过找点关于原点对称的点，连线画出即可；
（3）根据题意，线段所扫过的图形面积是以为半径，圆心角为的扇形面积，然后用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如下图所示：
（2）如下图所示：
（3）根据题意，线段所扫过的图形面积是以为半径，圆心角为的扇形面积，
由网格可得出，
∴线段所扫过的图形面积为
20．如图， ABC中，，是 ABC的外接圆，的延长交边于点D．
(1)试利用无刻度的直尺画出的平分线，并说明理由；
(2)若，的半径为2，求劣弧的长．
【答案】(1)画图见解析；理由见解析
(2)
【分析】（1）延长交于E，由，可得垂直平分，进而可得平分；
（2）设，则，，，由，可得，则，由，可得，由，可得，可求，则，由圆周角定理得，根据劣弧的长为，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，为的平分线．理由如下：
延长交于E，
∵，
∴垂直平分，
∴平分；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵
∴，
∴劣弧的长为
∴劣弧的长为．
【点睛】本题考查了外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长等知识．熟练掌握外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长是解题的关键．
21．如图，四边形是的内接四边形，四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，，连接．
(1)求的度数；
(2)当的半径等于2时，请直接写出弧的长（结果保留π）
【答案】(1)
(2)的长为
【分析】本题考查了角度的运算，圆的内接四边形性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据四边形是的内接四边形，可知，再根据，，即可求得的度数；
（2）连接、，根据圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）四边形是的内接四边形，
，
，
而，
，
；
（2）解：连接、，如图，
，
的长．
22．如图1，为直径，点C为直径上方圆上一点，连接、，已知，，点D是上的动点，且点C、D分别位于的两侧．
(1)求的半径；
(2)当时，求的长度；
(3)如图2，当经过圆心O时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)4；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查30°的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，不规则图形的面积；
（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用30°的直角三角形的性质解题即可；
（2）连接，，则是等边三角形，然后得到，，进而利用勾股定理解题即可；
（3）先根据勾股定理求出长，然后利用解题即可．
【详解】（1）∵AB是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的半径为4．
（2）连接，，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
23．在矩形中，，将线段绕点顺时针旋转）得到线段，连接．
(1)如图1，当时，求的面积；
(2)如图2 ，当时，求的值；
(3)在线段旋转的过程中，直接写出面积的最大值 ，此时点运动的路径长为 ；
【答案】(1)的面积为
(2)的值为
(3)
【分析】（1）如图所示，过点作，根据含角的直角三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据三角形的面积的计算方法即可求解；
（2）如图所示，过点作于点，根据旋转的性质可得是等边三角形，结合矩形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的值，在中，运用勾股定理即可求解；
（3）根据题意，可得点运动的路径是以点为圆，以为半径的圆（不包括起点和终点），当最大时，面积最大，可得当与点重合时，最大，由此即可求解的面积，再根据弧长公式即可求解点运动路径．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵旋转，且，
∴，
∴在中，，
∴，
∴的面积为；
（2）解：如图所示，过点作于点
根据旋转，可得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴的值为；
（3）解：如图所示，线段绕点顺时针旋转得到线段，则点运动的路径是以点为圆心，以为半径的圆（不包含起点和终点），设点运动路径与交于点，过点作于点，
由（1）的计算方法可得，，其中的大小不变，
∴当最大时，的面积最大，
∴当点与点重合时，最大，且最大值为，
∴，
∴的长度为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆的基础知识，弧长的计算方法，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析是解题的关键．
24．如图，是的直径，．动点P从点A出发，在上沿顺时针方向运动到终点B，速度为每秒个单位．同时动点Q从点B出发，在上沿顺时针方向运动，速度为每秒个单位．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．连接、．设点P的运动时间为t秒．
(1)的周长为 ；
(2)当点P与点Q重合时，求所在的扇形的面积；
(3)当时，求t的值；
(4)作半径的垂直平分线交于点M、N，连接．当将线段分成的两部分时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）直接利用圆的周长公式计算即可；
（2）当点P与点Q重合时，根据点P走过的弧长加上弧AB的长等于点B走过的弧长列出方程，求出t值，于是可求出所在扇形的圆心角度数，进而利用扇形的面积公式求解即可；
（3）分两种情况：当点P与点Q重合前，当点P与点Q重合前．根据两点走过的弧长关系列出方程，求解即可；
（4）情况一：如图，连接，，，，交于点H，，根据线段垂直平分线的性质易得为等边三角形，为等边三角形，进而得到四边形为菱形，易得，根据相似三角形的性质可得，由等边三角形三线合一可知垂直平分，于是可得，则，利用此时的长点P的运动速度即可得到时间；情况二：同情况一方法即可求解．
【详解】（1）解：的周长为；
故答案为：；
（2）运动前，，
当点P与点Q重合时，，
解得：，
点P走过的圆心角度数为，
所在的扇形的面积为；
（3）当点P与点Q重合前，，
则，
解得：；
当点P与点Q重合后，，
，
解得：；
综上，或；
（4）情况一：如图，连接，，，，交于点H，
垂直平分，
，
，
，
为等边三角形，
，
同理可得：为等边三角形，
，，
，，
四边形为菱形，
，
，
，即，
，
垂直平分，
，，
，，
，即，
，
，
；
情况二：连接，，，交于点，，
同理可得：，
，
．
综上，或．
【点睛】本题主要考查圆的面积公式、扇形的面积公式、弧长公式、一元一次方程的应用、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等，理清题意，学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题关键．
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