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专题突破八：圆的综合之探究问题（15道）
【压轴专题】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．【问题提出】
（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______；
【问题探究】
（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______．
2．已知点，，，是上的四个点，且弦，于点．
(1)如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程．
(2)如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长．
(3)如图3，若，，，，连结，求的度数．
3．问题提出：（1）如图，已知：三点在上，为的直径，那么______；理由是：____________．
问题探究：（2）如图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点是的中点，连结．若，求的面积．
问题解决：
（3）如图③是一个四边形景观区域设计示意图，已知，．景观区域原有一条笔直的小路长为米，现为了交通方便准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在边上，按设计要求需要给图中阴影区域与四边形种植花卉，为了节约种植成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，求阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
4．感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.
5．综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，
∴，
∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），
∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
6．【问题探究】
如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积；
【问题解决】
如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由．
7．如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接．
(1)如图1，若经过圆心O．
①求的度数；
②猜想是何种特殊三角形，并加以证明．
(2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
8．在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ．
(2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：．
9．【问题背景】
如图，内接于，是的直径，点为优弧的中点，连接．
【问题探究】
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，延长相交于点，求证：；
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
10．【问题提出】
（1）如图1，为圆Ｏ的弦，在圆Ｏ上找一点P并画出，使点P到的距离最大；（不需要说明理由）
【问题探究】
（2）如图2，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，，与交于点Q，若，，求的最大值；
【问题解决】
（3）某公园有一圆形水池圆Ｏ（如图3），，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在圆Ｏ上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元/，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．
11．【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图）
【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且．
求证：线段是的直径．
请你结合图①写出推论的证明过程．
【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长．
【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围．
12．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
①
又②
又
即．
根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ；
【理解运用】在图（1）中，若，则 ；
【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ；
【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长．
13．定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”；
定义：如图，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在中，，，三个顶点、、分别在、、上．
(1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数；
(2)如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为的光线三角形．
14．问题背景：如图1，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．
小杨同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点A、C分别落在点B、N处（如图2），，；因为在四边形中，，所以，所以，点C、B、N在同一条直线上；易证是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
简单应用：利用已学知识和小杨得出的结论，解决以下问题：
（1）如图1，，，若，，求的长；
（2）如图3，已知是的直径，点C、D在上，．求证：；
拓展延伸：
（3）如图4，，，是四边形的外接圆，若，，求的长．
15．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．
(3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．
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专题突破八：圆的综合之探究问题（15道）
【压轴专题】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．【问题提出】
（1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______；
【问题探究】
（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______．
【答案】（1）11；（2）；（3）平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；
（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心到弦的距离为4，若的半径为7，
∴上的点到弦的距离最大值为，
故答案为：11；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．
，
，
，
设，则，
由，得，即，
∴，
，
．
即面积的最小值为；
（3）过点作于点于点，
∵平分，
∴．
又，
．
米，，，
、为等腰直角三角形，
∴米，
（平方米），
平方米．
在上截取，连接，如图．
，
，
，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小．
，
，
，
作的外接圆，如图，连接，作于点，
则，
∴．
设，则．
由，得，解得，
米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．
故答案为：平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键．
2．已知点，，，是上的四个点，且弦，于点．
(1)如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程．
(2)如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长．
(3)如图3，若，，，，连结，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，得到，圆周角定理，得到，证明，得到，三线合一，得到，得到，即可；
（2）勾股定理求出的长，进而得到的长，等边三角形得到，进一步求出的周长即可；
（3）在延长线上截取，连接，设，易得垂直平分，得到，推出，等边对等角，求解即可．
【详解】（1）∵A是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（2）∵，
∴ ，
由（1）知：，
∵是等边三角形，
∴，
∴周长．
（3）在延长线上截取，
连接，
不妨设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，且，
∴．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关性质，是解题的关键．
3．问题提出：（1）如图，已知：三点在上，为的直径，那么______；理由是：____________．
问题探究：（2）如图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点是的中点，连结．若，求的面积．
问题解决：
（3）如图③是一个四边形景观区域设计示意图，已知，．景观区域原有一条笔直的小路长为米，现为了交通方便准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在边上，按设计要求需要给图中阴影区域与四边形种植花卉，为了节约种植成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，求阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；直径所对的圆周角为直角
（2）
（3）存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值为平方米
【分析】（1）利用圆周角定理解答即可；
（2）连接，利用等边三角形与等腰直角三角形的性质和等高的三角形的面积的性质解答即可；
（3）过点作，交的延长线于点，根据全等三角形的判定与性质得到阴影部分面积，若使阴影部分面积最小，则的面积最大；作出的外接圆，连接，过点作于点，利用圆的有关性质得到当点为优弧的中点时，中边上的高取得最大值为半径弦心距米，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【详解】（1）为的直径，
，
理由：直径所对的圆周角为直角，
故答案为：；直径所对的圆周角为直角；
（2）连接，
是等边三角形，点是的中点，
，
，
，
是外作等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
点是的中点，
，
；
（3）存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值为平方米，理由：过点作，交的延长线于点，如图：
，
，
，四边形的内角和为，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，阴影部分面积，
，
若使阴影部分面积最小，则的面积最大，
作出的外接圆，连接，过点作于点，如图，
，
，
，，
（米），
，
（米），
点为上的点，
当点为优弧的中点时，中边上的高取得最大值为米，
的面积的最大值为：平方米，
米，
（平方米），
阴影部分面积的最小值为：平方米，
存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值为平方米．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的有关性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的面积，添加取得的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.
【答案】探究：见解析；应用：
【分析】本题主要考查了圆周角的定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理：
探究：在上截取，使，连接、、、，证明，得，由等腰三角形的性质得，进一步得出结论；
应用：先证明D是的中点，再根据圆周角定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质解题．
【详解】探究：在上截取，使，连接、、、
是的中点，
，
，，，
，
，
是等腰三角形，
，
应用：如图，过点D作于点G，在上截取，使，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，圆的半径为10，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：
5．综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，
∴，
∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），
∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】(1)2
(2)，理由见解析
(3)的长为或．
【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解；
（2）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：，
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键．
6．【问题探究】
如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积；
【问题解决】
如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由．
【答案】【问题探究】；【问题解决】，当时，有最大值，．
【分析】问题探究：由旋转的性质可得，得到，，，由圆内接四边形的性质得，即得，即得点、点、点三点共线，又由圆周角定理得，即可得，得到为等腰直角三角形，最后根据即可求解；
问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，同理可得点，点，点三点共线，又由，，可得是等边三角形，进而根据 可得，最后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点、点、点三点共线，
∵是直径，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点，点，点三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
当时，有最大值，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形和等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7．如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接．
(1)如图1，若经过圆心O．
①求的度数；
②猜想是何种特殊三角形，并加以证明．
(2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)①；②等边三角形，证明见解析
(2)小明的说法正确，无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化
【分析】本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，证明等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：①∵是等边三角形，
∴，
∴，又经过圆心O，
∴，
∴；
②等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴等边三角形；
（2）解：无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴等边三角形，
∴，
∴无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化．
8．在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ．
(2)如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：．
【答案】(1)；
(2)详见解析
【分析】（1）由、、是的高，可知点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解；
（2）连接，根据垂径定理可知，结合，，可知C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解，最后证明是等边三角形即可；
【详解】（1）设与交于点，
、、是的高，
，，
点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，
，
，
，
故答案为：52；
（2）证明：如图3，连接，
为的中点，
，，
，
C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，
，
，
，
是等边三角形，
；
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及与三角形有关的角的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键．
9．【问题背景】
如图，内接于，是的直径，点为优弧的中点，连接．
【问题探究】
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，延长相交于点，求证：；
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）连接，由点为的中点，得，所以，证明，可得平分；
（2）由是的直径，得，由，，得；连结，则，由，，由平行线的性质得，则，可得，
（3）结合，则，所以，设的半径为，则，，由勾股定理得，求出符合题意的值，再利用勾股定理即可得到答案．
【详解】证明：（1）如图，连接，
点为的中点，
，
，
∵，，
∴，
∴，
平分．
（2）如图，连结，
是的直径，
，
，
∵，，
∴，
．
，
，
，
，
，
，
（3），，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，弦，弧，圆心角的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10．【问题提出】
（1）如图1，为圆Ｏ的弦，在圆Ｏ上找一点P并画出，使点P到的距离最大；（不需要说明理由）
【问题探究】
（2）如图2，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，，与交于点Q，若，，求的最大值；
【问题解决】
（3）某公园有一圆形水池圆Ｏ（如图3），，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在圆Ｏ上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元/，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本．
【答案】（1）作图见解析；（2）的最大值为4；（3）修建和两座小桥的总成本为元
【分析】（1）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求；
（2）由知，当最小时，最大，求出此时的，即可求解；
（3）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答；
本题考查了垂径定理定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：（1）如图，过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求；
（2）如图，过点作交于点，
∵，是半径，不会随着点的运动而改变，
∴当有最小值时，有最大值，
即当时，最小，此时最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为4；
（3）∵，，
∴是等边三角形，
∴的面积固定，且是定值，
∴当点到距离最大时，四边形面积最大，
即当经过圆心时，四边形面积最大，
则，
根据垂径定理易得，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得：，
∴修建和两座小桥的总成本为：（元）．
11．【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图）
【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且．
求证：线段是的直径．
请你结合图①写出推论的证明过程．
【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长．
【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围．
【答案】推论证明：见解析；深入探究：；拓展应用：
【分析】对于（1），取的中点为D，连接，根据直角三角形的性质得出答案；
对于（2），作，，交延长线点G，结合圆的性质可证明，可说明四边形是正方形，，然后证明，再根据勾股定理求出，即可得出答案；
对于（3），当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E，根据勾股定理求，再说明四边形是矩形，可得此时m的值；当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E，再说明D、O、B三点共线，求出此时的m的值， 可得答案．
【详解】解：（1）取的中点为D，连接．
∵，
∴，
∴点D与点O重合
∴线段是的直径；
（2）过D点作，交点F．过D作，交延长线点G．
∵为直径，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，半径为5，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
∴．
在中，；
（3）当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E．
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
∵，与相切，
∴，
∴四边形是矩形．
在中，，
∴，
∴．
当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴D、O、B三点共线，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，弧、弦、圆心角的关系，正方形的判定，勾股定理，圆周角定理，切线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法．
12．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
①
又②
又
即．
根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ；
【理解运用】在图（1）中，若，则 ；
【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ；
【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长．
【答案】[问题呈现]①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；[理解运用]1；[变式探究]；[实践应用] 或．
【分析】[问题呈现]：根据圆的性质即可求解；
[理解运用]，即，即，解得：，即可求解；
[变式探究]证明，则，，又，则，即可求解；
[实践应用]已知，过点作于点，则，所以．如图，同理易得．
【详解】[问题呈现]
由证明过程可知，
（相等的弧所对的弦相等）；
（同弧所对的圆周角相等）；
故答案为：①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；
[理解运用]，
即，
即，
解得：，
，
故答案为：1；
[变式探究]．
证明：在上截去，连接、、、，
是弧的中点，
，．
又
，
又，
，
，
即，
故答案为：；
[实践应用]
是圆的直径，
．
因为，圆的半径为5，所以．
已知，
过点作于点，
则，
所以．
所以．
如图，同理易得．
所以的长为或．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
13．定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”；
定义：如图，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在中，，，三个顶点、、分别在、、上．
(1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数；
(2)如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为的光线三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）说明，可得结论；
（2）①连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，推出，再分别证明，，，可得结论；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵和关于满足“光学性质”，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，关于满足“光学性质”，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，关于满足“光学性质”，，关于满足“光学性质”，
∴是为的光线三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，平行线的判定和性质，光线三角形的定义等知识．解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题．
14．问题背景：如图1，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．
小杨同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点A、C分别落在点B、N处（如图2），，；因为在四边形中，，所以，所以，点C、B、N在同一条直线上；易证是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
简单应用：利用已学知识和小杨得出的结论，解决以下问题：
（1）如图1，，，若，，求的长；
（2）如图3，已知是的直径，点C、D在上，．求证：；
拓展延伸：
（3）如图4，，，是四边形的外接圆，若，，求的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查圆的综合题，涉及勾股定理、圆周角定理、旋转的性质等知识，运用类比、转化的思想是解题的关键，（1）在中，利用勾股定理求出，直接代入结论即可；（2）连接，，证明出，，即可利用结论解决问题；（3）连接并延长交于点，连接，，，由（2）可知，再利用勾股定理表示出直径，在中，利用勾股定理表示出即可．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：．
．
，
∴．
（2）如图3，连接，，
是的直径，
，
，
，
由问题背景知．
（3）如图4，连接并延长交于点，连接，，，
由（2）可知，
，
是的直径，
，
，，
．
，
在中，由勾股定理得：，
．
15．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．
(3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．
（2）如图，在上截取＝，连接、、、，由是的中点，得，进而证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得证；
（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．
【详解】（1）如图，连接，，
∵是劣弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴；
（2）证明：如图，在上截取＝，连接、、、，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴由（）得，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长为∶．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形得性质，勾股定理，弧、弦、弦心距之间得关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
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