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专题突破二：坐标与规律问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为( )
A． B． C． D．
5．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，矩形的顶点，，对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
13．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ．
17．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标 ．
18．如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为 ．
19．将绕原点顺时针旋转，A旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，…按此规律继续下去，的坐标是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ．
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专题突破二：坐标与规律问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、图形与坐标等知识，由题意可知逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同．过点作等腰直角三角形，则于点，则，根据点写出答案即可．
【详解】解：由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每8次旋转1周．
除以8余数为7，
逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同．
如图，过点作等腰直角三角形，则于点，，
则，
∴点，
∴点的坐标为．
即经过次旋转后，点的坐标为，
故选：D
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形，
再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律，
∴每4次循环一周，，
∵，
∴点与同在一个象限内，
∴点，
故选：A．
3．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置，
∵，
∴的坐标和点的坐标重合，
∴点的坐标是；
故选A．
4．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查规律探索求点坐标．根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转次为一个循环，得到经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
【详解】解：在正方形中，点的坐标为，
∴点．
∵，
∴．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
由题意，可得风车第次旋转结束时，点D的坐标为；
第次旋转结束时，点D的坐标为；
第次旋转结束时，点D的坐标为；
第次旋转结束时，点D的坐标为．
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴旋转次为一个循环．
∵，
∴经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，为；
故选：C．
5．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和点重合，再判断第2024次属于循环中的第2次，最后即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示：
由的坐标为可知：，，
，
，，
由旋转性质可知：，
，，
，
在与中：
，
，
，，
此时点对应坐标为，
当第二次旋转时，如图所示：
此时点对应点的坐标为．
当第3次旋转时，第3次的点对应点与点中心对称，故坐标为，
当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点对应点中心对称，故坐标为，
当第5次旋转时，第5次的点对应点与第2次旋转的点对应点中心对称，故坐标为．
第6次旋转时，与点重合．
故前6次旋转，点对应点的坐标分别为：、、、、、．
由于，
故第2024次旋转时，点的对应点为．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键．
作出旋转后的图象，找出图形变换规律，再根据点的坐标即可求出旋转后点的坐标．
【详解】解：由题可知，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，
每旋转4次则回到原位置，
，
第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了，
，，
，
第2023次旋转结束时，点的坐标是，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解．
【详解】解：如图，
由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转4次则回到原位置，
∵点C的坐标为，
∴旋转后点C在第二象限内，
∴图形旋转次点C的坐标为，
∵，，，，
∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025．
故选：C
8．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标．
【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，
过作轴于，连接交于，
四边形是菱形，
，，，
的坐标是，
，
，
，
，
，
，
，
，
的坐标是．
故选：D．
9．如图所示，矩形的顶点，，对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点P的落点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的坐标旋转规律问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，实数的性质，先根据点A的坐标，求出点P的坐标，再题依次求出每次旋转后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
点P是的中点，
又∵点A坐标为，
∴点P的坐标为．
令第1次旋转后点P的对应点为点，
分别过点P和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
，
，
．
在和中，
，
，，
∴点的坐标为．
同理可得，
第2次旋转后，点P的对应点的坐标为；
第3次旋转后，点P的对应点的坐标为；
第4次旋转后，点P的对应点的坐标为；
第5次旋转后，点P的对应点的坐标为；
…，
由此可见，每旋转4次，，，，，循环出现，
又因为，
所以旋转2023次旋转后点P的落点坐标为．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键．
过点作轴于，求出的长，进于求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点的坐标即可．
【详解】解：过点作轴于，
在中，，
，
，
由勾股定理得，
，
，
，
∴逆时针旋转后，得，以此类推，6次一个循环，
，
∴第2024次旋转后，点的坐标为，
故选：A．
11．如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键．先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题．
【详解】解：，，
，．
在中，
．
，且轴，
点的坐标为．
，
每旋转四次，点对应点的坐标循环出现．
余1，
点的坐标与点的坐标相同．
将绕点顺时针旋转，如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，，
，，
，
点的坐标为，
即点的坐标为．
故选：A
12．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、含30度角的直角三角形及勾股定理，根据题意可得出每旋转六次点A的对应点循环出现，再结合图形旋转的性质即可解决问题．
【详解】解：因为，
所以每旋转六次，点的对应点循环出现．
又因为，
所以第秒，点的对应点与点重合．
过点作轴的垂线，垂足为，
在中，
所以，
同理可得，，
所以点的坐标为，
即第秒时，点的对应点的坐标为．
故选：C．
13．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的坐标规律探究、旋转性质、坐标与图形、勾股定理，找到每三个三角形为一个循环组依次循环是解答的关键．先根据勾股定理求得，再根据图形中前几个直角三角形的直角顶点的位置变化规律，以及横纵坐标的变化规律，进而可求解．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∴，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为，
∵，
∴的直角顶点为第673个循环组的第一个直角三角形的顶点，
∵，
∴的直角顶点的坐标为，
故选：A．
14．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．然后通过旋转发现，每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，且的纵坐标为4，根据这个规律可以求得点的坐标．
【详解】解：∵点，
∴，
∴，
∴，
观察图象可知，每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，点的纵坐标为4，
∵，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为4，
∴点的坐标为．
故选：B．
15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．能根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，且，
点的坐标为，则，
点的坐标为，
依次类推，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了与旋转有关的点的坐标规律探索，勾股定理，先得到，进而利用勾股定理得到，再由题意可得每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为，据此求出循环次数和剩下的翻转次数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为，
∵．
∴三角形(2020)是第674个循环组的第一个三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重合．
∵，
∴三角形(2020)的直角顶点的坐标是，
故答案为：．
17．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出 点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
每4次循环一周，，，，，
，
点与同在一个象限内，
，，，
点．
故答案为：．
18．如图，的两条直角边分别在y轴，x轴上，C，D分别是边，的中点．连接，已知，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形的变化，先分别求出前4次旋转结束时，点C的坐标，再根据变化规律求值即可
【详解】解：∵，且点C为的中点，
∴点C的坐标为，即，
根据题意有，
第1次旋转结束时点C的坐标为；
第2次旋转结束时点C的坐标为：
第3次旋转结束时的坐标为；
第4次旋转结束时点G的坐标为；
第5次旋转结束时点C的坐标为；
所以，每旋转4次，回到原来的位置，
所以，第2026次旋转结束时点的坐标为，
故答案为：
19．将绕原点顺时针旋转，A旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，…按此规律继续下去，的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形的性质，旋转，含直角三角形，勾股定理，规律型问题等知识，探究规律，利用规律解决问题即可．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
【详解】解：由题意：次一个循环，
∵，
∴的坐标与相同，
连接，过点作轴，
则，，
∴，则
∴，
∴，
故答案为：．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
∴每4次循环一周，．
，
∴点与同在一个象限内，
故答案为：．
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