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专题突破九：圆与二次函数综合（20道）
【压轴题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B，连接．点D在线段上，作射线，过点A作射线，垂足为点E，以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．
(1)求点A、B的坐标；
(2)随着点D在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点P，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接，当点F在该抛物线的对称轴上时，的面积为______．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)①不发生变化，理见解析；②存在，最大值为4
(3)
【分析】（1）令即可求出点A的坐标，配方后求出点B的坐标；
（2）①先证明、是等边三角形，即可证明，得到，得到不变；
②以中点为圆心，为半径画圆，证明、都在圆上，即可根据圆中最长的弦是直径求出最大值；
（3）当点F在该抛物线的对称轴上时，由对称性可得，进一步得到，在中求出的长，再过作于，求出，即可根据计算即可．
【详解】（1）令，则，解得，
∴点A的坐标为，
∵，
∴顶点B的坐标为；
（2）①不发生变化，理由如下：
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，,
∴,
∴是等边三角形，
∴，
∵以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵射线
∴，
∴不变；
②存在最大值，最大值为4；
以中点为圆心，为半径画圆，
∵，
∴在圆上，
∵，，，，
∴，
∴点为与圆的交点，
∴为圆的一条弦，
∵圆中最长的弦是直径
∴最大值为；
（3）当点F在该抛物线的对称轴上时，
∵，
∴，，
∴，
过作于，作的垂直平分线交于，连接
∴，
∴,
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及求抛物线与x轴交点坐标，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形性质，勾股定理等知识点．
2．如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和b的值．
(2)在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
【答案】(1)，；
(2)不存在．理由见解析
(3)1
【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
（2）不存在．设，根据，可得，根据△，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论．
【详解】（1）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得：，
二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
，
二次函数的解析式为，；
（2）不存在．理由如下：
如图，设，
，，，
，，，
点在二次函数位于轴上方的图象上，且，
，
整理得：，
，
方程无实数根，
不存在符合条件的点；
（3）如图，设交轴于点，
，，
，
点与点关于原点对称，
，
，
，
，
为圆的直径，
，
平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，
②当点与点重合时，此时点与点重合，
，，
，
综上所述，的值为1．
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．
3．如图，二次函数(m是常数，且)的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)或．
【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当，，三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出，的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
整理得：，即，
解得：，，
∴，，；
（2）解：如图1，连接，
由题意知，，
，
当，，三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值等于，
，
解得，
∴，，
抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，，代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，；
（3）解：，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
，，，
，
是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，
，
，
，
，
与重合，即；
过，，三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，
，即，
解得，
，即，
解得，，
，
综上，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴正半轴交于点，且点的坐标为，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在此二次函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或．
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式以及二次函数与坐标轴的交点：
（1）先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出点的坐标，根据求出，把，代入求得，即可得出函数关系式；
（2）设点，连接，取的中点，则点的坐标为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半列方程求解即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵二次函数的图象与轴交于点、，且点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴
∵
∴，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴．
（2）解：设点，连接，取的中点，则点的坐标为，
要使，则点在以为直径的圆上，
∴，即，
整理得，
即，
解得(舍)或(舍)或或．
∴点的坐标为或．
5．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点坐标为或
【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标；
（2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式；
（3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：二次函数，
，
，
，
，
，
代入得：，
，
二次函数，
令得，
解得：或，
的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：设，
，，
，
，
当最大时的值最大，
二次函数，
为抛物线的顶点时最大，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（3）解：，，
抛物线的对称轴为直线，
，，，
，
是直角三角形，且，
记为对称轴与轴的交点，如图，连接，
，
，
，
，
，
则①当与重合，即；
②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
，，
圆心在直线上，设圆心坐标为，则，
，即，
解得：，
，即，
解得：，，
，
综上，点坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．
①求点P的坐标；
②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在，点Q坐标为或．
【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式；
（2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为，根据（1）可推出，则，再根据题意即可证为等腰直角三角形，得出，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出a即可求出P点坐标；
②以AB为斜边的直角三角形，即点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以以线段AB的中点E为圆心，AE为半径作交PD于点，，由得，即得出，从而可求出和的长，由此即得出Q点坐标．
【详解】（1）解：∵对于一次函数，当x=0时，；y=0时，x=2，
∴点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)．
则在二次函数中，
将，代入中得：
，
即；
（2）当时，，则二次函数表达式为．
①设点P横坐标为a，则点P坐标为
由（1）可知，在中，，
∴．
根据作图可知，
∴在中，，即
∵点E为DP中点，
∴
∴
解得，（舍去）．
即点P坐标为，即为．
②是以为斜边的直角三角形，则以线段的中点为圆心，为半径作交于点，，如图：
∵点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)．
∴，
线段AB的中点E坐标为，在直线PD上，
∴，
∴，
∴
∴点坐标为；
∴，
∴
∴点坐标为．
综上可知，若是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为或．
【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点，的坐标；
(2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由；
(3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)四边形不能是一个菱形．理由见解析
(3)长的取值范围为或或
【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解．
（2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论；
（3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，．
答：点的坐标为，点的坐标为．
（2）
不能．
理由如下：由（1）知抛物线对称轴为
假设四边形是菱形，则
由，得，
即
过点作轴，垂足为，则，
由勾股定理得：
这与相矛盾
四边形不能是一个菱形．
（3），
对称轴为．
设，
，
，
连接，则，
，
即以切线长为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则，，
，
．
假设经过点，则有两种情况：
①如图，当点在点的上方，
，
，解得或1，
，
．
②如图，当点在点的下方，
，
解得，
，
，
综上所述，或，
当不经过点时，长的取值范围为：或或．
答：长的取值范围为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，菱形的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；熟练掌握以上知识分类讨论，是解题的关键．
8．已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，连接
(1)求点，点的坐标；
(2)当时，判断以为直径的圆是否经过点，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，抛物线是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)以为直径的圆不经过点
(3)
【分析】（1）把代入，即可得到点和点的坐标；
（2）把代入，得抛物线的解析式为，求出点的坐标和以为直径的圆的圆心的坐标，比较与半径的大小关系得到点与圆的位置关系；
（3）画图分点在第二象限和第四象限两种情况讨论，通过证明三角形全等，求出直线上一个点的坐标，得到直线的解析式，通过联立二次函数解析式得到点的坐标．
【详解】（1）解：把代入，解得，，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）当时，抛物线的解析式为，
把代入，得，
点的坐标为，
，
，；，
，
则以为直径的圆的圆心的坐标为，
，
，
，
以为直径的圆不经过点；
（3）①若点在第二象限，过点作，，交延长线于点，过点作轴，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，代入，，
解得，
得直线的解析式为，
，
解得，点的横坐标，舍去，
得点的坐标为，与点在第二象限矛盾，该情况舍去；
②若点在第四象限，过点作，过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于点，
同理可得，
，，
设，得，
即，解得，
点的坐标为，，
同理可得直线的解析式，
，
解得，点的横坐标，舍去，
点的坐标为．
【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，求一次函数和二次函数的交点坐标等知识点，此外本题的关键是利用分类讨论思想解题．
9．如图，二次函数的图像经过点，，交y轴于点C，点E为该二次函数图象上第一象限内一动点．
(1)__________，__________；
(2)如图①，连接与相交于点P，当的值最大时，求点E的坐标；
(3)如图②，过点E作轴于H点，交直线于点F，以为直径的与交于点R，当周长最大时，求点E的坐标．
【答案】(1)2，3
(2)点E的坐标为
(3)点E的坐标
【分析】（1）根据题意，利用交点式求得函数表达式即可求解；
（2）先求得，，由，根据二次函数的性质求解即可；
（3）先判断出为等腰直角三角形，故当周长最大时，的长最大，求解直线的表达式为，设，且，则，，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，，
∴，
∴，，
故答案为：2，3；
（2）解：当时，，则，
∴，
∵，，
∴，，
由题意，设，且，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，故点E坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∵以为直径的与交于点R，
∴，
∵过点E作轴于H点，交直线于点F，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故当周长最大时，的长最大，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
根据题意，设，且，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，又，
∴当周长最大时，点E的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
10．如图（1），二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和b的值．
(2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接，作以为直径的圆．点是圆在x轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点E移动到点，线段的对应线段为，连接的延长线交直线于点N，求的值．
【答案】(1)
(2)不存在，见解析
(3)1
【分析】（1）将点的坐标代入得到二元一次方程组求解可得的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
（2）设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，代入可得结论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，
，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：不存在．理由如下：
如图，设，
，
，
∵点在二次函数位于轴上方的图象上，且，
，
整理得：，
，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点；
（3）解：如图，设交轴于点，
，
，
∵点与点关于原点对称，
，
，
，
，
∵为圆的直径，
，
∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点O不重合时，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
；
②当点与点重合时，此时点与点重合，
，
，
综上所述，的值为1．
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．
11．二次函数．
(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；
③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；
(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
【答案】(1)①函数图象的顶点坐标为；②；③
(2)
【分析】（1）先求得二次函数的解析式，①根据解析式和二次函数的性质写出性质即可；②根据二次函数的解析式求得点A、B、C的坐标，再求得直线的解析式，过点P作轴于H，设，则，，，进而，利用二次函数的性质求解即可；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，利用垂径定理可得，，，设，，利用坐标与图形性质得到，，，，证明四边形是矩形得到，，然后利用勾股定理得到，进而求得x值即可求解；
（2）根据二次函数的性质得到该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，进而根据点M、N的中点坐标和对称轴的位置关系即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
①函数图象的顶点坐标为；
②令，由得，，
当时，，
∴，，，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于H， 与交于G，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，
则，，，
设，，
∵轴，
∴，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
则，
解得，即；
（2）解：由于
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点、为函数图象上任意两点，且，若对于即时，都有，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、三角形的面积、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合思想进行分析求解是解答的关键．
12．如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和的值．
(2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
【答案】(1)，
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
（2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函数的解析式为，；
（2）不存在．理由如下：
如图，设，
∵，，，
∴，，，
∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点；
（3）如图，设交轴于点，
∵，，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点与点重合时，此时点与点重合，
∴，，
∴，
综上所述，的值为．
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．
13．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)点坐标为或
【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如图1，连接，
由题意知，，
∴，
∴当三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，即；
过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
综上，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．已知二次函数的图像过点，点与不重合是图像上的一点，直线过点且平行于轴．于点，点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设直线交二次函数的图像于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；
(3)试判断点与以线段为直径的圆的位置关系．
【答案】(1)
(2)
(3)点与以线段为直径的圆上
【分析】（1）将点代入，求出a即可；
（2）设，则，由点P在抛物线上，得到，分别求出，得到，连接，证明，得到，连接，由同理可得：，证明，得到，推出，即可得到答案；
（3）在中，由（2）知平分，平分，则，即可求解．
【详解】（1）将点代入，得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴点在线段的中垂线上，
连接，
∵R在线段的中垂线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
由同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在中，由（2）知平分，平分，
∴，
∴点与以线段为直径的圆上．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（2）证明、是解题的关键．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【答案】(1)
(2)E的坐标为：或或或
(3)BP的最小值为：
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；
（2）如图，由可得抛物线的对称轴为：设 而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示 再分三种情况讨论即可；
（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由 则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．
【详解】（1）解： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设二次函数为：
把C（0，﹣3）代入抛物线可得：
解得：
∴抛物线为：
（2）如图，由
可得抛物线的对称轴为：
设 而A（﹣1，0），C（0，-3），
当时，，
解得 即
当时，
解得： 即
当时，
整理得：
解得：
综上：E的坐标为：或或或
（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由
则在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，
连结BH，交圆H于P，则PB最短，
即BP的最小值为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键．
16．如图，二次函数与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
(1)如图1，若，求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
(3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作，经过点Q的直线交于点F，I，交抛物线于点E，G．当时，求的值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)
【分析】（1）求出点，把代入，得，得到直线解析式，求出点，把代入，得，解得，即可得到抛物线的解析式；
（2）求出，得到是等腰直角三角形，则，，设，过点P作于点K，过点P作轴于点L，则，，显然和均为等腰直角三角形，得到，，和联立得，，求出，由得到，解得，，即可得到答案；
（3）由题意得：，则点，求得，由经过A、B、C三点，得到点Q的横坐标为，进一步得到点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，则，过点Q作轴于点H，连接，得到，，求出，则，由，得到，得到，则，由直线经过点得到，与联立得，则，，再求得，则，即可得到，求得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入，得，
∴，
令，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，
即该抛物线的解析式为；
（2）在中，令，得，令，得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
如图1，设，过点P作于点K，过点D作轴于点L，
则，，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
由和联立，
得：，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）由题意得：，则点，
当时，，
解得：，
∴，
如图，过点Q作轴于点H，连接，，
∵经过A、B、C三点，
∴点Q在线段的垂直平分线上，即点Q的横坐标为，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴点在第二、四象限角平分线上，
∵点Q也在线段的垂直平分线上，
∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，与联立，
得，
整理得： ，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与抛物线交点，一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形性质，圆的性质等，本题综合性较强，涉及知识点较多，难度较大，对学生运算能力要求较高．
17．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，二次函数的图象经过点、，与轴另一交点为，其对称轴交轴于．
(1)求二次函数的表达式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）在中，可得，，由待定系数法即得二次函数的表达式为；
（2）分两种情况：当在轴上方时，设抛物线对称轴交于，在抛物线对称轴上取点，使，以为圆心，的长为半径作交抛物线对称轴于，由得抛物线对称轴为直线，，，可得，从而、是等腰直角三角形，故有，而在上，，即知此时是满足题意的点，由，可得，当在轴下方时，同理可得 ．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得，理由如下：
当在轴上方时，设抛物线对称轴交于，在抛物线对称轴上取点，使，以为圆心，的长为半径作交抛物线对称轴于，如图：
由得抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
解得或，
，，
，
，，
，
，
、是等腰直角三角形，，
，
，
在上，
，即此时是满足题意的点，
，，
，
，
，
当在轴下方时，如图：
由对称性可知，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理的应用及圆的性质、应用等知识，解题的关键是能作出辅助圆，找到N的位置．
18．如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)二次函数的表达式为
(2)C(5，﹣4)
(3)点P的坐标为（， ）或（， ）．
【分析】（1）将A（-5，0）、B（-2，3）代入y=ax2+bx+3，列方程组求a、b的值；
（2）过点E作x轴的垂线，可知直线BC与坐标轴成45°角，根据这一特点求直线BC的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求点C的坐标；
（3）当BP在BC下方时，以AD为直径作圆，可证明BP经过原点O，求PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求点P的坐标；当BP在BC上方时，作点O关于BC的对称点H，作射线BH交抛物线于点P，则∠PBC=∠GBO=∠OAD，求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点P的坐标．
【详解】（1）解：把A（-5，0）、B（-2，3）代入y=ax2+bx+3，
得，解得，
∴二次函数的表达式为y= x2 x+3；
（2）解：如图1，作BE⊥x轴于点E，设BC交x轴于点G，交y轴于点D，
则∠AEB=90°，E（-2，0），
∴AE=-2-（-5）=3=BE，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC=∠ODG=∠EGB=45°，
∴GE=BE=3，OG=OD=1，
∴G（1，0），D（0，1）．
设直线BC的解析式为y=kx+1，则k+1=0，解得k=-1，
∴y=-x+1．
由，得，，
∴C（5，-4）；
（3）解：如图2，以AD为直径作⊙K，连接KB、KO，作射线BO交抛物线于点P．
∵∠ABD=∠AOD=90°，KA=KD，
∴KB=KO=AD，
∴点B、点O都在⊙K上，
∴∠PBC=∠OAD．
设直线PB的解析式为y=mx，则-2m=3，解得m= ，
∴y= x．
由，得，，
∴P（， ）；
如图3，作GH⊥x轴，使GH=GO=1，作射线BH交抛物线于点P，则∠AGH=90°，H（1，1）．
∵∠BGH=∠BGO=45°，GH=GO，GB=GB，
∴△GBH≌△GBO（SAS），
∴∠PBC=∠GBO=∠OAD．
设直线BP的解析式为y=px+q，则，解得，
∴y= x+，
由，解得，．
综上所述，点P的坐标为（， ）或（， ）．
【点睛】本题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数解析式、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解第（3）题时应注意分类讨论．此题难度较大，属于考试压轴题．
19．如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
【答案】(1)，
(2)为定值，定值为
(3)
【分析】（1）当时，即，解得，，可求得点，点；当时，求得点，得到，故；
（2）根据点D为的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值；
（3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点，以、、、为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解．
【详解】（1）当时，即，
，
解得，，
点，点，
当时，，
点，
，
，
（2）为定值，理由如下：
点D为的外心，，
则，，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点，
则，，，，
，，
，
，，
，
，
，，
解得：
则的面积，
为等腰直角三角形，
，
则的面积，
为定值；
（3） 在第一象限内的抛物线上存在一点，
以、、、为顶点的四边形只能是四边形，
又，
若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示，
由前面可知，点，点，点，设点，
若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得：
，
解得：或（不合题意舍去）；
综上，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 y=x2 2mx+m2 1 的图像为抛物线C，一次函数y=kx+3（k≠0）的图像为直线l．
(1)求抛物线C的顶点坐标；（用含m的式子表示）
(2)若点 （m 1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线C上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
(3)①当m>0时，若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在y轴上，求k的值；
②当k=1时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
【答案】(1)（m，-1）；
(2)；
(3)①-4；②m<-1或m>2
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解；
（2）由于抛物线开口向上，只需比较点与对称轴的距离，距离越远对应的函数值越大，由此即可比较大小；
（3）①由题意可知两个函数与y轴的交点重合，即可求m的值，再联立两个方程，由△=0即可求k的值；
②分别求出当△AOP为直角三角形时m的值，以此为界点，确定△AOP为钝角三角形时m的取值范围即可．
【详解】（1）解：y=x2-2mx+m2-1=（x-m）2-1
∴顶点C（m，-1）；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴点（m-1，y1）到对称轴的距离为1，
点（m，y2）到对称轴的距离为0，
点（m+3，y3）到对称轴的距离为3，
∵抛物线开口向上，
∴，
故答案为：；
（3）解：①根据题意得：y=kx+3与y轴交点（0，3），y=x2-2mx+m2-1与y轴交点（0，m2-1），
∵直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在y轴上，
∴m2-1=3，
解得：m=土2，
∵m>0，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3，
联立得：，
整理得：，
∴，
∵直线与抛物线C有唯一交点，
∴，
∴k=-4；
②当k=1时，直线解析式为y=x+3，
∴A（-3，0），B（0，3），
令x2-2mx+m2-1=3，
∴x=-2+m或x=2+m，
∵在抛物线对称轴左侧的点记为P，
∴P（-2+m，3），
当PA⊥AO时，点P与点B重合，此时P（-3，3），此时△PAO是直角三角形，
当-2+m<-3时，即m<-1，此时△OAP为钝角三角形；
当PO⊥AO时，P（0，3），此时△PAO是直角三角形；
．当-2+m>0时，即m>2，此时△OAP为钝角三角形；
∵AO=3，
∴P点在以AO为直径的圆外，
∴∠APO始终为锐角；
综上所述：当m<-1或m>2时，△OAP为钝角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
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专题突破九：圆与二次函数综合（20道）
【压轴题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B，连接．点D在线段上，作射线，过点A作射线，垂足为点E，以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．
(1)求点A、B的坐标；
(2)随着点D在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点P，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接，当点F在该抛物线的对称轴上时，的面积为______．
2．如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和b的值．
(2)在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
3．如图，二次函数(m是常数，且)的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴正半轴交于点，且点的坐标为，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在此二次函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
6．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．
①求点P的坐标；
②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点，的坐标；
(2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由；
(3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围．
8．已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，连接
(1)求点，点的坐标；
(2)当时，判断以为直径的圆是否经过点，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，抛物线是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标．
9．如图，二次函数的图像经过点，，交y轴于点C，点E为该二次函数图象上第一象限内一动点．
(1)__________，__________；
(2)如图①，连接与相交于点P，当的值最大时，求点E的坐标；
(3)如图②，过点E作轴于H点，交直线于点F，以为直径的与交于点R，当周长最大时，求点E的坐标．
10．如图（1），二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和b的值．
(2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接，作以为直径的圆．点是圆在x轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点E移动到点，线段的对应线段为，连接的延长线交直线于点N，求的值．
11．二次函数．
(1)当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；
③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；
(2)点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
12．如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式和的值．
(2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
13．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
14．已知二次函数的图像过点，点与不重合是图像上的一点，直线过点且平行于轴．于点，点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设直线交二次函数的图像于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；
(3)试判断点与以线段为直径的圆的位置关系．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
16．如图，二次函数与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．
(1)如图1，若，求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；
(3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作，经过点Q的直线交于点F，I，交抛物线于点E，G．当时，求的值．
17．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，二次函数的图象经过点、，与轴另一交点为，其对称轴交轴于．
(1)求二次函数的表达式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标．
19．如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 y=x2 2mx+m2 1 的图像为抛物线C，一次函数y=kx+3（k≠0）的图像为直线l．
(1)求抛物线C的顶点坐标；（用含m的式子表示）
(2)若点 （m 1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线C上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
(3)①当m>0时，若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在y轴上，求k的值；
②当k=1时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
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