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专题突破六：圆的综合证明解答题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在中，弦，相交于点M，且．
(1)求证：；
(2)连接，，若是的直径，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，
（1）由，推出，推出；
（2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：如图，是的直径，
，
，
，
∴在中，由勾股定理得，
，
设，则，
∵，
，
，
在中，由勾股定理得，
解得，
，
，，
，
在中由勾股定理得．
2．如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的性质及熟练运用勾股定理；
（1）连接，根据弦直径，可得，即，又，即可得；
（2）连接，由的半径为5，，得，，，根据，得，在中，即可得．
【详解】（1）证明：连接，如图：
弦直径，
，
，
，
又（圆周角定理），
；
（2）解：连接，如图：
的半径为5，，
，，，
，
，
在中，，
．
3．已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，，若，求证：平分；
(2)如图2，E为内一点，满足，，若，，求弦的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理证出，则可得出结论；
（2）延长交于M，延长交于N，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
即平分；
（2）解：延长交于M，延长交于N，
∵，，
，
∵是的直径，
，
，，
∴，，
四边形是平行四边形，，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．如图，已知是半径为1的的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于点E，交于点F，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由圆周角定理得出，则，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再证，得出即可；
（2）由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出，证，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：是半径为1的圆直径，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由（1）得：是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接
(1)求证：
(2)当时，求圆O的面积
(3)若，试探究与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)，理由见详
【分析】（1）根据弧中点性质得到，根据平行弦性质得到，得到，得到，即得；
（2）作于点M，连接， 则，根据平行弦性质和弧中点特得到，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得；
（3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得．
【详解】（1）∵点F是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）作于点M，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵F为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）．理由如下：
同（2），作于点M，连接，
由（2）知，，，，
∴，
设，则
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键．
6．如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证；
（2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
此题考查了圆周角定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
又，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，，，，
，，
，
，
又，
为的中点．
由（1）知，，
为的中点，
是的中位线，
．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
7．如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当F为的中点时，求证：，
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考査的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．
(1)连接、，根据圆周角定理得到，证明，得到 ；
(2)作，垂足为G，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一得到，进而证明结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，．
∵E为的中点，
．
又，
．
是的直径，，
，，
，
，
．
；
（2）证明：如图2，作，垂足为G，连接．
∵F为的中点，
．
又，，
，
．
由（1）可知，且，
，
，即．
8．已知：为的直径，弦交于点H，点F为弧上一点，连接交于点E，交于点G，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到，则 ，利用垂径定理的推论解答即可得出结论；
（）利用圆周角定理与已知条件得到，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理得到，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用三角形的面积公式求得，利用垂径定理得到，再根据面积可得，将数值代入运算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴；
（2）解：∵为的直径，；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G到和的距离相等
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
9．如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，．
(1)求证：平分，并求的大小．
(2)过点C作交的延长线于点F，若，，求圆的半径．
【答案】(1)
(2)圆的半径长是4
【分析】（1）由同弧所对圆周角相等得，，则，有平分．结合角平分的性质得，依据四边形是圆内接四边形可得，根据三角形内角和定理得．
（2）根据垂直证明，则垂直平分，即可证明是等边三角形，求得．结合平行线的性质得，进一步证明，根据含30度角的直角三角形的性质得，，即可求得半径．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴平分．
平分，
∴．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，．
∴，
∴．
∵，
∴是圆的直径，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【点睛】本题主要考查同弧所对圆周角相等、角平分的判定和性质、圆的内接四边形的性质、三角形内角和定理、直径所对的圆周角为直角、垂径定理、等边三角形的判定和性质、平行线的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟悉圆的知识．
10．已知内接于，于点．
(1)如图，求证：；
(2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查圆的综合题，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线，借助特殊四边形解决问题；
（1）如图1中，延长交 于，连接．首先证明，由即可证明．
（2）由（1）可知，，由，推出，推出，推出；
（3）如图中，连接、，首先证明四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，则，由勾股定理求出半径，进而求解；
【详解】（1）证明：如图中，延长交于，连接．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：由可知，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图中，连接、、．
由可知，
，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，垂足为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
．
11．如图，为的直径，与相切于点C，点E为上一点，连接交于点G，过点A作交于点D，交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据平行四边形的判定方法进行证明即可；
（2）根据题意证明，设，根据平行四边形的性质以及勾股定理得到方程，即可求出半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，
与相切于点C，
，即．
，，
，
，
，
．
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：为的直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
．
四边形CDAG为平行四边形，且，
，
在中，，
，解得（负值已舍去），
．
12．已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．
(1)如图，求证：．
(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证；
（）．由（）得，，再利用即可求证；
（）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（2）解：．
证明：由（）得，，
在和中，
，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
同理（）可得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键．
13．如图，已知为的直径且，A为上一个动点（不与点D、E重合），线段经过点E，且，F为上一点，，的延长线与的延长线交于点C．
(1)求证：；
(2)当点A在上运动时，求四边形的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，首先证明四边形是矩形，推出，即可解决问题；
（2）证明四边形是平行四边形，推出，根据题意计算即可；
【详解】（1）证明：连接，
是直径，
，
，
，
是直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
矩形面积最大时，四边形的面积最大，
当时，矩形面积最大，
此时矩形面积最大值为：，
故四边形的面积最大值为．
14．如图1，在中，是直径，弦，垂足为F．
(1)求证：；
(2)如图2，点G在上，且．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论；
（2）①连接、，如图，根据圆周角定理得到，再证明，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到；
②设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
；
（2）①证明：连接、，如图，
，
，
，
∵为直径，
，
，
，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，
，
；
②解：设，则，
，
∴为的中位线，
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
在中，
∵，
，
整理得，
解得(舍去)，
即的长为1．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，勾股定理和圆心角、弧、弦的关系．
15．已知是的内接三角形，的平分线交于点．
(1)如图①，若是的直径，，求的长；
(2)如图②，连接，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）连接，由圆周角定理可得，进而由角平分线的定义得，即得到，再根据勾股定理即可求解；
（）由圆周角定理可得，即得，得到，又由圆周角定理得，，等量代换即可求证；
本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即．
16．如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证；
（2）连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；
掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：，，
故的半径为．
17．如图，中，，P、Q分别是边上的动点，且，，连接线段交于点O．
(1)若，，试求线段的长度；
(2)求证：．
【答案】(1)；；
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可得，，再由勾股定理，即可求解；
（2）过点A作，使，连接，则是等腰直角三角形，证明四边形是矩形，可得，从而得到，再由，可得B，C，Q，M四点共圆，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
在中，；
在中，；
（2）解：如图，过点A作，使，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴B，C，Q，M四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．第（2）问做适当辅助线构造矩形，并得到B，C，Q，M四点共圆是解题的关键．
18．如图，和分别是的直径和弦，与关于轴对称，交于点D，交于点E．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括全等三角的判定和性质，垂径定理，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据轴对称的性质得出，，，由全等三角形的判定和性质得出，再由平行线的判定即可证明；
（2）连接，根据菱形的判定确定四边形为菱形，再由菱形的性质及全等三角形的判定得出，即可证明；
（3）过作垂线交于F，根据题意得出，利用垂径定理确定，设两圆的半径为x，得出， ，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵与关于轴对称，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，如图：
由（1）知，，，
∴四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
，
，
，
，
；
（3）解：过作垂线交于F，如图：
，
，
由垂径定理可知，，
设两圆的半径为x，
则，
，
在和中，
，
解得：（负值已舍去），
即半径的长为．
19．如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若点为的中点，的半径为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明；
（2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，交AE的延长线于点，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，则，
由（1）知，
，
，
点为的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
由（1）知是的切线，
，
，
，
，
．
20．如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，．
(1)如图，求证∶；
(2)如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）连接，由垂径定理得，即得，由圆周角定理得，进而得，即可得到，得到，即可求证；
（）过点作于，则，可得四边形为矩形，得到，再证明，得到，即得，进而即可求证；
本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于，则，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点为中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
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专题突破六：圆的综合证明解答题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在中，弦，相交于点M，且．
(1)求证：；
(2)连接，，若是的直径，，求的长．
2．如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，求弦的长．
3．已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，，若，求证：平分；
(2)如图2，E为内一点，满足，，若，，求弦的长．
4．如图，已知是半径为1的的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于点E，交于点F，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求证：．
5．如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接
(1)求证：
(2)当时，求圆O的面积
(3)若，试探究与之间的数量关系，并证明．
6．如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，求的长．
7．如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当F为的中点时，求证：，
8．已知：为的直径，弦交于点H，点F为弧上一点，连接交于点E，交于点G，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长．
9．如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，．
(1)求证：平分，并求的大小．
(2)过点C作交的延长线于点F，若，，求圆的半径．
10．已知内接于，于点．
(1)如图，求证：；
(2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长．
11．如图，为的直径，与相切于点C，点E为上一点，连接交于点G，过点A作交于点D，交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的半径．
12．已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．
(1)如图，求证：．
(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
13．如图，已知为的直径且，A为上一个动点（不与点D、E重合），线段经过点E，且，F为上一点，，的延长线与的延长线交于点C．
(1)求证：；
(2)当点A在上运动时，求四边形的最大面积．
14．如图1，在中，是直径，弦，垂足为F．
(1)求证：；
(2)如图2，点G在上，且．
①求证：；
②若，，求的长．
15．已知是的内接三角形，的平分线交于点．
(1)如图①，若是的直径，，求的长；
(2)如图②，连接，求证：．
16．如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
17．如图，中，，P、Q分别是边上的动点，且，，连接线段交于点O．
(1)若，，试求线段的长度；
(2)求证：．
18．如图，和分别是的直径和弦，与关于轴对称，交于点D，交于点E．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，求半径的长．
19．如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若点为的中点，的半径为，求的长．
20．如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，．
(1)如图，求证∶；
(2)如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶．
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