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专题突破七：利用扇形公式求阴影部分的面积（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【详解】矩形，
，
∵的半径为3，
图中阴影部分的面积是：，
故选：C．
2．如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形的边长为4，
∴，
∴，
即：的半径为，
∴．
故选：B．
3．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
，
故选：B．
4．如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解．
【详解】解：如图：连接、，
，
由折叠可得：，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选：A．
5．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差．
利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可．
【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G，
连接，，则．
过点E作，交于点H．
四边形是矩形，
，．
由题意可得，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
在和中，
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
，
，
，
故选：A．
6．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键．
如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，E为的中点，
∴，是等边三角形，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
7．如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【分析】连接，，过点作于点，根据正六边形的性质可知阴影的面积等于扇形减去的面积．本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
【详解】解：连接，，连接交于点，
多边形是正六边形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在的内接正六边形中，，
，
．
故选：B．
8．如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键．
用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
9．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】/
【分析】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式且能准确识图是解题的关键．根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形的面积加上半圆面积再减去半圆面积．
【详解】解：∵
，
故答案为：．
10．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，扇形的半径，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
由题意得：，扇形的半径，
则图中阴影部分的面积为
，
故答案为：．
11．如图，平行四边形的对角线、交于点，且，，以O为圆心，的长为半径画弧，分别交对角线于点、．若，则图中阴影部分的周长为 （结果保留根号和）．
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据等腰直角三角形的性质可以得到，根据勾股定理求出，再根据弧长公式求出，的长，即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
，，
，，的长为，
图中阴影部分的周长为，
故答案为：．
12．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．
连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案．
【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，
，，，
，，，
以点为圆心，的长为半径作弧，
，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
，，
，
故答案为：．
13．如图，在扇形中，，，C为的中点，将扇形绕点C 顺时针旋转，点O的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为
【答案】
【分析】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式是解题的关键，根据平行线的性质，得到,可证得是等边三角形，进而得到，即可得的长，利用面积分割法可求出答案．
【详解】解：连接,如图所示：
∵，，
∴，
∵C为的中点，,
∴，
∴是等边三角形，
∴,,
∴,
∴三点共线，,
∴阴影部分的面积为．
14．如图，正方形边长为，以为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆．那么阴影部分的面积 ．
【答案】
【分析】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正方形的性质，根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，
∴
，
故答案为：．
15．两个直径分别为，的半圆按如图位置摆放，，，则图中阴影部分的面积是 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是圆的性质、扇形面积的计算公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．
交半圆于点，连接，由圆的性质求出、后，根据即可得解．
【详解】解：交半圆于点，点为半圆的圆心，连接，
依题得：，
，
，，
，
两半圆面积相等，
，
，
．
故答案为：．
16．如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
由正六边形的边长为2，可得，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵正六边形的边长为2，
，
，
，
过作于，
，
在中，，
，
同理可证，，
，
，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
17．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、．若，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解此题的关键．连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，为的中点，
∴，是等边三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
同理：，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
18．如图，正方形的对角线交于点，分别以、为圆心，为半径作弧，交、于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，勾股定理，由四边形是正方形，
得，，，再根据勾股定理得，则，最后由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
19．如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质．由矩形的性质可得：，因为，可得三角形是等边三角形，可得，然后计算扇形的面积和等边三角形的面积，两部分面积相减即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．如图，在中，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，以为直径作半圆交线段于点D，则图中阴影的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查扇形与三角形的综合，掌握扇形的面积计算方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键．如图所示，连接，过点作于，可得，，是等腰直角三角形，点分别是的中点，由即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于，
∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴都是等腰直角三角形，，
∴点分别是的中点，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
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专题突破七：利用扇形公式求阴影部分的面积（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．20
8．如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
9．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
10．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如图，平行四边形的对角线、交于点，且，，以O为圆心，的长为半径画弧，分别交对角线于点、．若，则图中阴影部分的周长为 （结果保留根号和）．
12．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，在扇形中，，，C为的中点，将扇形绕点C 顺时针旋转，点O的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为
14．如图，正方形边长为，以为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆．那么阴影部分的面积 ．
15．两个直径分别为，的半圆按如图位置摆放，，，则图中阴影部分的面积是 （用含的式子表示）．
16．如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示）
17．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、．若，，则阴影部分的面积为 ．
18．如图，正方形的对角线交于点，分别以、为圆心，为半径作弧，交、于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．
19．如图，矩形中，对角线、相交于点，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
20．如图，在中，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，以为直径作半圆交线段于点D，则图中阴影的面积为 ．
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