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专题突破三：圆的综合之最值问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键．
2．如图，正方形的边长是6，点F在边上，且，点H是射线上的一个动点，以为直径作，连接交于E点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点，连接，可求，在中，由勾股定理得，根据直角三角形的性质得到，由，得到，当三点共线时取得最小值．
【详解】解：取中点，连接，
∵正方形的边长是6，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵为直径，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
当三点共线时取得最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），DE与AC交于点F，连接CE．在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=（ ）
A．+3 B．+1 C．－+3 D．+2
【答案】A
【详解】如图，将△ABP绕A点逆时针旋转60°，得到△AB'P'，则△APP'是等边三角形，
∴PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC≥B'C．当B'，P'，P，C共线时，PA+PB+PC取得最小值，此时∠CPA=180°－∠APP'=180°－60°=120°，∠APB=∠AP'B'=180°－∠AP'P=180°－60°=120°，∠BPC=360°－∠BPA－∠APC=360°－120°－120°=120°，此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°．∵AC=AB=AB'，AP=AP'，∠APC=∠AP'B'，∴△AP'B'≌△APC，∴PC=P'B'=PB．∵∠APP'=∠DPC=60°，∴DP平分∠BPC，∴PD⊥BC．∵A，D，C，E四点共圆，∴∠AEC=∠ADC=90°．又AD=DC=BD，△BAD≌△CAE，∴AE=EC=AD=DC，则四边形ADCE是菱形．又∠ADC=90°，∴四边形ADCE是正方形．∵∠B'AC=∠B'AP'+∠PAC+∠P'AP=90°+60°=150°，则B'A=BA=AC，∠B'=∠ACB'=（180°－∠B'AC）=15°．∵∠PCD=30°，∴DC=PD．∵DC=AD，AP=2，则AP=AD－DP=（－1）DP=2，∴DP=+1．∵AP=2，∴CE=AD=AP+PD=+3．
4．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值，
∵，
∴最小值8，此时在E点，F在C点，
当在B点，F在C点时取最大值，
∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合，
∴．
故选：C．
5．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式(当D，P，F在一条直线上时取等号)，结合图形可得，从而得到，又易知，，从而，继而得解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
根据弦长a，弦心距d以及半径r之间的关系，即，可知：
点F从点B移动到点C的过程中，先越来越大，再越来越小，当且仅当是直径时最大，
即，
∴(当D，P，F在一条直线上时取等号)，
又∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点
∴，，
∴，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆的对称性解答是解题的关键．
6．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键．
如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、，
则与的交点即为的最小时的点，的最小值，
，
，
是弧的中点，
，
由对称性，，
，
是等边三角形，
，
周长的最小值．
故选：B．
7．如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，连接，取的中点，连接， ，根据圆周角的性质可知点在正方形 内以为直径的上，可推出 ，由勾股定理可得 ，再结合三角形三边关系得出当且仅当、、三点共线时，线段取得最小值，解题的关键是判断出点的运动轨迹，找到使线段取最小值的位置．
【详解】解：连接，取的中点，连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴点在以为直径的上，
∵正方形的边长是，点是边的中点，
∴，， ，
∴，
在中，
，
∵，
∴当且仅当三点共线时，线段取得最小值，
∴线段的最小值为，
故选：．
8．如图，在矩形中，，连接，，点E是上一点，，点M是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为
【答案】6
【分析】先利用勾股定理计算出，则，再利用等腰直角三角形的性质得到，，，则根据圆周角定理可判断点A、P在以为直径的圆上，所以，，从而可判断平分，当于P点，利用垂线段最短得到的值最小，然后证明得到，从而得到．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，，
∴点A、P在以为直径的圆上，
连接，
∴，，
∴平分，
即点P的轨迹在的平分线上，
当于P点，此时的值最小，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角．也考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题的关键．
9．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ．
【答案】/
【分析】以为斜边作等腰，则，连接，，，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，当、、三点共线时，最小，，由，，即可求解．
【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰，则，连接，，．
，
的直径为，C为的中点，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，
当、、三点共线时，最小，，
，
，
；
的最小值为．
故答案：．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
10．如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接，，交半圆O于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，连接，，交半圆O于点，
，
在中，，，
∴，
当点P与点重合时，取得最小值．
故答案为：
11．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】在上取一点，使，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明（），由全等三角形的性质得出，则当（点和点重合）时，最小，然后由含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
∴当（点和点重合）时，最小，最小，最小值为，
在中，，，
∴，
∵，
∴ ，
在中，，
∴，
故线段长度的最小值是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．
12．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值．
连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值．
【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
如图所示，作的中点，连接，连接，
∵点是的中点，为中点，
∴，
∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，
连接交于点，过点作，
∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小，
∵点是的中点，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴的最小值为 ，
故答案为：．
13．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为．
【详解】解：如图，把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，即，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围．
14．如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值．
【详解】解：在中，，，
，，，
连，，，
为的直径，
，
，
为定角，
在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，
设该圆圆心为，连，，，，则，，
为等边三角形，
，，
，
，
又，
由两点之间线段最短知：，
，
当、、在一直线时．有最小值为：．
故答案为：．
15．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长.
连接,
，
∴，
∴弧的度数是，
则弧的度数是 ，
根据垂径定理得弧的度数是：，
则
又，
则
故答案为：．
16．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ．
【答案】/
【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，
设这段弧所在的圆心为O，连接，如图，
则（当且仅当三点共线时取），
∴的最小值即为，
设交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为；．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键．
17．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
解得：，
，
，
的面积的最小值为，
故答案为：.
18．如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】取的中点G，连接，，过点作于点H，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，根据平行线的性质得出，得出，根据垂线段最短得出，即可得出，求出，得出，即可得出答案．
【详解】解：取的中点G，连接，，过点作于点H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，平行线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，得出．
19．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点．
(1)在图中确定点的位置，使最小．
(2)求的最小值．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查运用轴对称求最短距离问题、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）作点的对称点，连接交于点，利用轴对称和两点之间线段最短可知此时最小；
（2）连接、、，根据圆周角定理推出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，点即所求作的点．
（2）解：由（1）可知，的最小值为的长，连接、、．
点关于的称点，，
，
又是中点，
，
，
又
在中，，
的最小值为．
20．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若的半径为5，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
（2）作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，过点O作于点H，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
【详解】（1）证明：∵ 是的直径，
∴，
∵ ，
∴，即：，
∴，即点为的中点；
（2）解：作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，
∵ ，
∴ ，此时，的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C关于的对称点是，
∴ ，
∴ ，
过点O作于点H，则，
在中， ，，
∴，
即：的值最小为．
【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据轴对称的性质找出点P位置是解题的关键．
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专题突破三：圆的综合之最值问题（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．如图，正方形的边长是6，点F在边上，且，点H是射线上的一个动点，以为直径作，连接交于E点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），DE与AC交于点F，连接CE．在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=（ ）
A．+3 B．+1 C．－+3 D．+2
4．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是( )
A．8 B． C． D．
6．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，连接，，点E是上一点，，点M是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为
9．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ．
10．如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ．
11．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为 ．
12．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
13．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．
14．如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为 ．
15．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ．
16．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ．
17．如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．
18．如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 .
19．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点．
(1)在图中确定点的位置，使最小．
(2)求的最小值．
20．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若的半径为5，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
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