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专题突破四：辅助线模型之“隐圆”
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，P是x轴上的一个动点．作，垂足为Q，则点Q到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的定义以及动点问题，在运动问题中找到不变的量是解决问题的关键．作于H，则可得，先判断点Q在以为直径的圆上，即可得到长为定值，当Q，H，C在同一直线上，且时，Q点到的距离最大，利用面积法计算出，则点Q到直线的距离的最大值为．
【详解】解：∵点，点，
∴，
如图，作于H，过H作于C，
则，，
∴H点为的中点，
∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上，
连接，则，
如图，当Q，H，C在同一直线上，且时，Q点到的距离最大，
此时，，
即点Q到直线的距离的最大值为，
故选∶D．
2．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．则，那么，点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，当点落在线段上时，的值最小，根据矩形的性质得，结合已知求得和，继而证明四边形是矩形，可知和，利用勾股定理可求得，即可求得．
【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．
，
点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，
当点落在线段上时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
故选：A．
3．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹．
【详解】解：四边形是正方形，
，
在凹四边形中，，，，
始终为，
得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，
，
由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，
在中，，
，
，
，
故选：D．
4．已知在 ABC中，，于点D，，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】作的外接圆，连接，，，过点O作于点H，先由圆周角定理求得，则，设的半径为r，再由等腰三角形与直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后根据垂线段最短得出，则，解得，即可求得，可得到答案．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为r，则，，，
又∵，
∴，解得，
∴，
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助圆是解题的关键．
5．如图正方形，点 E为边上一动点，连接，作于点F，连接，以长为横坐标x，以长为纵坐标y，绘制图象如图所示，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4－2
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，函数得图象，解题的理解题意，能从图象得到有用信息是解题的关键．
先根据图象得到正方形的边长，然后可以得到点F在以为直径的半圆O上移动，然后根据最短路径问题得到当A，F，O三点共线时，长最小，利用勾股定理解题即可．
【详解】由图象可得当点在点时，即，，
此时是正方形得对角线，
∵，
∴，
∴，即正方形的边长为，
∴，
∵，
∴点F在以为直径的半圆O上移动，
即当A，F，O三点共线时，长最小，
这时，
∴，
故选C．
6．如图，在矩形中，，，点E是右侧一点且，点G是上一点，点F是的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理．先判断点在以为直径的上，得到当在同一直线上时，有最大值，即的最大值为，据此求解即可．
【详解】解：∵，点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径的上，如图，
∴当在同一直线上时，有最大值，即的最大值为，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∴的最大值为，
故选：A．
7．如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到C点为的中点，再根据圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于F，此时最大，最大值为，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值．
【详解】解方程得，
∴，
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为的中点，
∵，
∴点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，如图，
，的半径为2，
延长交于F，此时最大，最大值为，
连接，
∵M是线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当点P和点F重合时，的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理．
8．直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最大，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的坐标，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最大值．
【详解】解：如图，
以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最大，
当时，，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为．
，点的坐标为．
又点的坐标为，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记圆点内一点到圆的最长距离半径该点到圆心的距离是解题的关键．
9．如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解．
【详解】如解图①，连接，
，，，
，
为直径，
，
，
点在以为直径的上，
的半径为，连接，，
，
在中，
，，
，
如解图②，当点在线段上时，最小，
，即线段长度的最小值为．
故选：C．
10．如图，中，，，．点P为 ABC内一点，且满足．当的长度最小时，的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据的周长，即可解题．
【详解】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示：
点P为内一点，且满足．
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
的周长是，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题．
11．在 ABC中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
连接，得出是等腰直角三角形，求出，连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值．中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
点在以点为圆心，长为半径的劣弧上运动，
，
劣弧所对的圆周角为，
是等腰直角三角形，
，
，
连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值．
，
，
，
，
长的最小值为2．
故选：A．
12．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，作于点，连接，则线段长度的最小值为( )
A．3 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理连接，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点在以为直径的上，于是当点、、共线时，最小，如图，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值
【详解】，，，
，
，
点在以为直径的上，
连接，
，
在中，
，，
，
由于，是定值，
点在线段上时，最小，如图2，
，即线段长度的最小值为，
故选：B．
13．如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，首先由，，发现G在以为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将转化为，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决．
【详解】解：∵，
∴，
∴点G在以为直径的圆上运动，
过B作，作于H，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴当G、F、H共线时，最小，
∴过O作于M，
在中，，
∴，
∴，
作于K，得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴最小值为，
∴最小值为．
故选：A．
14．如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据，得到点E在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解： ∵，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
则线段的长即为的长度最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选A．
15．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键．
【详解】解：如图，连接、，
∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作，如图，
连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：A．
16．如图，已知 ABC中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键．
根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
如图，连接，
∵以为直径作，
∴，
∴，
∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，
∴，
∴当，，在同一直线上时，最小，，
∴，即的最小值，
故答案为：．
17．如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理等知识．确定点的运动轨迹是解题的关键．
由，可得，则，即点E在以为直径的半上运动，如图，当点O，E，D三点共线时，取最小值2，设，则，，，由勾股定理得，，即，可求．则，根据矩形的周长，求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
点E在以为直径的半上运动，
如图，
∴当点O，E，D三点共线时，取最小值2，
设，则，，，
由勾股定理得，，即，
解得，．
∴，
矩形的周长，
故答案为：．
18．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值．
连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值．
【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
如图所示，作的中点，连接，连接，
∵点是的中点，为中点，
∴，
∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，
连接交于点，过点作，
∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小，
∵点是的中点，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴的最小值为 ，
故答案为：．
19．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧．
(1)求圆的半径；
(2)当时，求的度数；
(3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹．
（1）利用勾股定理求出即可．
（2）连接，，证明，则，再证，可得结论．
（3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论．
【详解】（1）解：是直径，
，
，，
，
，
的半径为；
（2）解：如图，连接，．
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图，连接，．
，
，
点的运动轨迹以为直径的，
连接，．
是等边三角形，，
，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
20．如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点D，连接，点M为中点，求取值范围．
【答案】
【分析】取AB，CB中点P，Q，连接，，，，，取的中点O，过点O作于H，连接，，连接交半圆O于N，利用三角形中位线的性质得，，从而得到，则点M在以为直径的半圆上，当M在与半圆交点N处时，，当M在Q时，，再利用勾股定理求出，的长即可求解．
【详解】解：取AB，CB中点P，Q，连接，，，，，取的中点O，过点O作于H，连接，，以O为圆心，为直径作半圆O，连接交半圆O于N，如图，
∵点D在以为直径的半圆上，
∴，
∵点P，Q，M分别为AB，CB，的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴点M在以为直径的半圆上，
∴当M在与半圆交点N处时，，
当M在Q时，，
，
，
∴，
∴，
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴，即点H为的中点，
∴，，
，，
，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
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专题突破四：辅助线模型之“隐圆”
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，P是x轴上的一个动点．作，垂足为Q，则点Q到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在 ABC中，，于点D，，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
5．如图正方形，点 E为边上一动点，连接，作于点F，连接，以长为横坐标x，以长为纵坐标y，绘制图象如图所示，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4－2
6．如图，在矩形中，，，点E是右侧一点且，点G是上一点，点F是的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ）
A．5 B． C． D．3
8．直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，，．点P为 ABC内一点，且满足．当的长度最小时，的周长是（ ）
A． B． C． D．
11．在 ABC中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
12．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，作于点，连接，则线段长度的最小值为( )
A．3 B． C． D．1
13．如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
14．如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
15．如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，已知 ABC中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
17．如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ．
18．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
19．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧．
(1)求圆的半径；
(2)当时，求的度数；
(3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______．
20．如图，等腰中，，以为直径作半圆，取半圆上一点D，连接，点M为中点，求取值范围．
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