浙教版数学八年级上册 2.4等腰三角形的判定定理 课时训练（含答案）

初中数学八年级上册等腰三角形训练
一、选择题
1．一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（　　）
A．14 B．16 C．14或16 D．不确定
2．下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（　　）
A．， B．
C． D．三个角的度数之比是
3．等腰三角形的一个外角是，则其顶角是（　　）．
A． B．或 C． D．
4．如图，在下列三角形中，若，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，在三角形ABC中，已知AB=AC，D为BC边上的一点，且AB=BD，AD=CD，则∠ABC等于（　　）
A．36° B．38° C．40° D．45°
7．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
9． 如图，射线和x轴形成的角是，且点…在横轴上，点…在射线上，若…均为等边三角形，且OA1＝1，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和，相交于点，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则，其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．在 中，，是边 上的高，，则 的度数为　 　．
12．如图，∠BCD是△ABC的外角，CE平分∠BCD，若AB＝AC，∠ECD＝52.5°，则∠A的度数为　 　．
13．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为　 　．（用含的代数式表示）
14．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是　 　．
15．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝　 　 时，△AOP为等腰三角形．
16．如图，在等腰中，点是底边BC边的中点，M，N分别是AD和AB上的动点.若，则的最小值=　 　.
三、解答题
17．如图，在中，，是边上的高．求的度数．
18．已知：在中，，是的角平分线，．
（1）如图1，求的度数．
（2）如图2，过点D作交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（除外）．
19．如图，，分别是的中线和角平分线，．
（1）若的面积是20，且，求的长．
（2）若，求的度数．
20．如图，在中，，点是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
21． 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
22．
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
23．阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线.
（1）如图1，已知△ABC中，，BM为△ABC的完美分割线，且，则　 　°，　 　°；
（2）如图2，已知△ABC中，，求证：AN为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点处，交BN于点M.求证：.
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．C
5．C
6．A
7．C
8．C
解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；
③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
9．A
10．C
11．或
解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，
∵，
∴；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：或．
12．30°
13．
14．40°或90°或140°
15．30°或75°或120°
16．
解：如图，作BE⊥AC，垂足为E，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵，点D是底边BC边的中点，
∴，
∴，
则BM+MN所求的最小值．
∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴ME=MN，
∴BE是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD=12，
∵，
∴13×BE=10×12，
解得：，
∴BM+MN的最小值=，
17．
18．（1）；
（2）．
19．（1）10
（2）
20．（1）解：∵，
∴，
∵为的中点，，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
23．（1）72；108
（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B＝∠C＝ (180° ∠BAC)＝36°，
∵AC=CN，
∴∠CAN＝∠CNA＝ (180° ∠C)＝72°，
∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°，
∴∠BAN=∠B，
∴NA=NB，
∴△ABN、△ACN均为等腰三角形，
∴AN为△ABC的完美分割线；
（3）证明：∵AN是△ABC的一条完美分割线，
∴AN=CN，AB=BN，
∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA，
∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN，
∴∠BAN=2∠CAN，
∵∠CAN=∠C1AN，
∴∠BAN=2∠C1AN，
∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM，
∴∠C1AN=∠BAM，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵∠C=∠C1，
∴∠C1=∠B，
∵AC=AC1，
∴AC1=AB，
∴△AC1N≌△ABM（ASA），
∴NC1=BM.
1 / 1