中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 圆的基本性质单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：圆的基本性质
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
2．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将 ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
4．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，连接，则 ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列说法中正确的说法有（ ）个
①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
A．1 B．2 C．3 D．4
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在等边 ABC 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．以上都不对
9．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，，则 度．
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是 ．
13．如图，直线与直线相交于点，与直线相交于点，，∠2=70°，若要使直线，则将直线绕点按如图所示的方向至少旋转 ．
14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ．
15．如图， ABC内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ．
16．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ．
17．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
18．如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，求∠2的度数．
20．如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形， ABC的三个顶点都在格点上( 每个小方格的顶点叫格点)．
(1)画出 ABC绕点O 顺时针旋转90°后的
(2)求点A 旋转到点所经过的路线长．
21．如图，是的弦，C是的中点．
(1)连接，求证：垂直平分；
(2)若，，求的半径．
22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分；
(2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使．
23．如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)求的长．
24．如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内．
(1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______．
(2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标．
25．在四边形中，，，，将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，得到，旋转过程中，、与所在直线的交点分别为、．
(1)如图①，求证：；
(2)当旋转角为时，如图②，求重叠部分的面积；
(3)如图③，当点在边上时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，直接写出的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 圆的基本性质单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：圆的基本性质
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换平移变换旋转变换．
故选：．
2．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键．
先根据勾股定理得，再根据垂径定理即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．如图，将 ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
故选：B．
4．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据题意得：，
，
，
，
，
故选：C．
5．如图，直角梯形中，，将腰绕点D逆时针方向旋转至，连接，则 ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求的面积，已知底，过E作垂直于交的延长线于F，就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形全等于三角形，，则的面积就能求出来．
本题需要把旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式结合求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点D作垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，如图：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．下列说法中正确的说法有（ ）个
①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，圆周角定理．根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故④错误；
故正确的是①，只有一个，
故选：A．
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解．
【详解】解：连接交于点，
依题得：米，，米，
设，即，
中，，
即，
解得，
即米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米．
故选：．
8．如图，在等边 ABC 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，即可求，根据的周长，可求的周长．
【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到
，，
∴是等边三角形
∵是等边三角形
∴的周长
∴的周长
故选：C．
9．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基础知识，中位线的判定和性质的综合，掌握正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，合理作出辅助线是解题的关键．
根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，根据正方形的边长，中位线的判定，圆的半径等知识可得，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点，
∴点四边共圆，即在上，为直径，
∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上，
∵正方形的边长为，即，
∴，
如图所示，连接，
∵点是中点，点是中点，
∴，
∵点在上，
∴，
当点三点共线时，的值最大，
∴，
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点每秒运动一周，即得第秒时与第秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明可得，可得，，再根据点的坐标即可求解，由题意判断出点的位置是解题的关键．
【详解】解：如图，点沿逆时针方向运动，每秒走个单位长度，每秒运动一周，
，
∴第秒时与第秒时的位置相同，
过点作轴，垂足为点，则，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，，则 度．
【答案】36
【分析】本题考查的是圆周角定理．连接，由圆周角定理可得，再由垂直求出度数，最后根据得到，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
，
，
∵，
∴，
∴
，
，
故答案为：36．
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接，
∵点A，B的读数分别为，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，直线与直线相交于点，与直线相交于点，，∠2=70°，若要使直线，则将直线绕点按如图所示的方向至少旋转 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键．根据平行线的判定可得，当c与b的夹角为时，存在，由此得到直线b绕点B逆时针旋转．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵同位角相等两直线平行，
∴若要使直线，则应该变为，
∵，
∴直线b绕点B按逆时针方向至少旋转：，
故答案为：．
14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ．
【答案】10或70
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方．
根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出．
【详解】连接
∵
∴圆的直径为
∴水面在水面平行的直径下方
∴过点作于点
∴且与交于点
∵，
∴，
∴在直角三角形中，
∴
∴；
在直角三角形中，
∴
∴
∴上升的距离为
水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点
同理可得，上升的距离为：．
故答案为：10或70．
15．如图， ABC内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
【详解】解：为劣弧的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，则
在中，，
∴，
．
故答案为：．
16．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，，
则，
故答案为：．
17．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．
【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．
则，．
∵，
∴//，
∴
∴BE=CD，
∵
∴．
在Rt△中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴．
所以圆的面积为．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．
18．如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角、求弧长等知识，确定点的运动路径是解题关键．首先证明，结合全等三角形的性质可证明；连接，交于点，结合可知点的运动路径在以为直径的圆上，且为圆心角为的圆弧，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，即，
连接，交于点，如下图，
∵点在运动中保持，
∴点的运动路径在以为直径的圆上，
又∵当点运动到点时，点到达点，
∴此时点与点重合，即点的运动路径为圆心角为的圆弧，
∴点的运动路径长为．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，求∠2的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形， ABC的三个顶点都在格点上( 每个小方格的顶点叫格点)．
(1)画出 ABC绕点O 顺时针旋转90°后的
(2)求点A 旋转到点所经过的路线长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图形的旋转，求旋转点经过的路径长即弧长，勾股定理等知识点
（1）分别作出三点绕点O顺时针旋转90°后的对应点，依次连接即可得顺时针旋转90°后的；
（2）由旋转的性质得，由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：旋转后的图形如下：
（2）解：由勾股定理得；
由旋转知：，
所以点A 旋转到点所经过的路线长为．
21．如图，是的弦，C是的中点．
(1)连接，求证：垂直平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意，有，运用垂径定理即可解得答案；
（2）由（1）知，垂直平分，交点为，则，在中，利用勾股定理求得，设的半径为，则，，在中运用勾股定理解出答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
（2）解：由（1）知，垂直平分，交点为，
∵，，
∴，
∴在中，根据勾股定理，可知；
设的半径为，
则，，
在中，
，即，
解得：．
22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分；
(2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）为圆的直径，根据对称性知与格线的交点O为圆心；P为中点，根据垂径定理推论得，平分，根据圆周角定理得，平分；
（2），由可得所在的两个直角三角形全等，得到；根据与对称，得到．
【详解】（1）如图，取圆与格线交点N，
连接交格线于点O，O即为圆心；
连接，交格线于点P，
作射线交于点D，
连接，
即为作求作；
（2）如图，取与格线交点N，
连接交一条格线于点F，
线段即为所求作；
取与上方的一条格线交点E，
连接，
线段即为所求作．
【点睛】本题主经考查了网格作图．熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质，圆的对称性，是解决问题的关键．
23．如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：
(3)求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明；
（2）根据题意可得，则，再证明，即可证明；
（3）过B作于点H，连接，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
∴；
（2）证明：是的中点，
∴，
，
，
，
即，
∴；
（3）解：过B作于点H，连接，
为的直径，
，
由（2）可知，
∴，
，
在等腰直角三角形中， ，
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
24．如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内．
(1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______．
(2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作轴于点，则，，求出和，即可得出点A的坐标；
（2）连接，过点作轴于，根据旋转角为，可得，求出，再利用勾股定理求出，然后在中，利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和，进而可得点B的坐标．
【详解】（1）解：如图2，作轴于，则，，
，，
A点的坐标为，
故答案为：．
（2）如图3，连接，过点作轴于，则，，
，
在中，，
在中，，，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了旋转变换，正方形的性质，坐标与图形性质，含直角三角形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是作辅助线构造含的直角三角形．
25．在四边形中，，，，将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，得到，旋转过程中，、与所在直线的交点分别为、．
(1)如图①，求证：；
(2)当旋转角为时，如图②，求重叠部分的面积；
(3)如图③，当点在边上时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平行线的性质得：，利用即可证明；
（2）当旋转角为时，重叠部分等腰直角，由，求出、，即可求解；
（3）由旋转的性质可得：，，，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程即可求出，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
也是等腰直角三角形，
，
将以为旋转中心逆时针旋转，得到，
重叠部分为，且，
，，
，
，
重叠部分的面积为；
（3）将绕点顺时针旋转，得到，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在等腰直角中，，
设，则，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
