第3章 圆的基本性质单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：圆的基本性质
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
6．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
7．将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．9
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
9．如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．若四边形为内接四边形，，则 度．
12．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ．
13．如图，点在上，若，则的度数为 ．
14．对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为 ．
15．如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将 AOB绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 ．
16．如图，在 ABC中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则线段的长度是 ．
17．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接．
（1）若取得最大值，则点在线段 上；
（2）若，，则的最大值为 ．
18．如图， ABC是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
20．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)请画出 ABC关于原点对称的，并写出的坐标；
(2)请画出 ABC绕点B逆时针旋转后的，并求出边扫过的面积．
22．“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为．
(1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离．
23．已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点．
(1)求的长；
(2)若，求的度数；
(3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________．
24．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
25．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证，是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长．第3章 圆的基本性质单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：圆的基本性质
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可．
【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
B．由图形对称而得出，故本选项符合题意；
C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
【详解】解：∵绕点O顺时针旋转到的位置，
∴，
而，
∴．
故选：D．
3．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案．
【详解】连接，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为．
故选：C．
4．如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键．
【详解】解：顺时针旋转时，如下图：
，
正方形的边长为，
，，
四边形是正方形，
，
由旋转性质可得：，，
在x轴上，
；
逆时针旋转时，如下图：
由旋转性质可得：，，，，
在y轴上，轴，
，
，
综上，的坐标为或
故选：C．
5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
6．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
7．将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积.
【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,
扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积.
由旋转可知，， ，
是平行四边形，
中，，
，
，
故选A．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．
9．如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
连接，根据正方形的性质求得，，由得到，通过“”证明，即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵由旋转得，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
10．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
【答案】D
【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可．
【详解】解：连接，，
∵矩形，
∴，，
∵，为的中点，
∴，
∴在以为圆心，2为半径的圆弧上，
过作于，
当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，
四边形面积=三角形面积+三角形面积，
即四边形面积=三角形面积+24．
设圆弧交于，此时四边形面积取最小值，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．若四边形为内接四边形，，则 度．
【答案】或
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据题意画出图形，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】如图所示，
，
．
如图所示，
，
∵四边形为内接四边形，
∴．
综上所述，或；
故答案为：或．
12．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，作，连接，先求出半径，进而得出，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，最后根据垂径定理得出答案．
【详解】过点O作于点F，连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
13．如图，点在上，若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理可得，再根据三角形的外角求解即可．
【详解】解：连接半径并延长至，如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角．根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，进而即可解答．
【详解】解：设正多边形的边数为，则对角线条数为，
根据题意得，，
解得，或（舍去）
∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，
正五边形的中心角为．
故答案为：
15．如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将 AOB绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
过点B作轴于点H，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：过点B作轴于点H，如图．
∵为等边三角形，轴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
∵将绕点O顺时针旋转得到，
∴点的坐标是．
故答案为：．
16．如图，在 ABC中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则线段的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，在的上方作，且使 ，连接，，根据证明得出，，得出，进而勾股定理，即可推出结论．
【详解】解：如图，在的上方作，且使 ，连接，．过点作于点
，
，则，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，
又，
，
，
，．
，
，
故答案为：．
17．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接．
（1）若取得最大值，则点在线段 上；
（2）若，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据中位线定理知：当取得最大值时，就取得最大值，当最大时是的直径，即可得解；
（2）如图，连接并延长交于点，连接，由（1）知，求得的直径后就可以求得最大值．
【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，
当为的直径时最大，此时点在线段上，
故答案为：；
（2）如图，连接并延长交于点，连接，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∴的最大值为，
∵和所对的弧是，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值为为．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是了解当什么时候的值最大．
18．如图， ABC是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ．
【答案】或5
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及两种情况讨论，进行求解即可．
【详解】解：中，，，
，
由旋转性质可得：，
如图所示，
将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，，
此时；
如图所示，
将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：或5．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理：
（1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可；
（2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长
【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，
∴
∴，
∵
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，
∴，
∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，
∴，，，
∴，
在中，．
20．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键．
（1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数．
（2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标；
(2)请画出绕点B逆时针旋转后的，并求出边扫过的面积．
【答案】(1)画图见解析，点的坐标分别为
(2)画图见解析，边扫过的面积为
【分析】本题考查了中心对称图形的作法以，旋转作图及扇形面积，解题的关键是掌握基本的作图方法并熟知中心对称图形与旋转的概念．
（1）根据中心对称图形的概念即可作出图形，求出对应点坐标；
（2）根据旋转作出旋转后的图，利用勾股定理求出的长，由边扫过的面积为扇形的面积，利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所求，
点的坐标分别为；
（2）解：如图所示，为所求；
，旋转角，
边扫过的面积为扇形的面积，
边扫过的面积为．
22．“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为．
(1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键．
（1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
（2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可；
【详解】（1）解：如图，点O即为所求，
（2）连接，
，
设点E为的中点，
点O为圆心，连接并延长交圆于点D，
点D即为拱门为最高点，
，
，，
，，
在中，
，
点D到地面的距离为．
23．已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点．
(1)求的长；
(2)若，求的度数；
(3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键．
（1）过点作交于点，首先根据勾股定理解得的长度，再利用面积法解得的长度，进而可得的值，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得的长即可；
（2）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后根据三角形内角和定理解得的度数，即可获得答案；
（3）根据“垂线段最短”即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作交于点，如下图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的度数为；
（3）解：∵点是线段上的动点，，，，
∴当点与点重合时，取最小值，
此时，
当点与点重合时，取最大值，
此时，
∴线段的长度取值范围是．
故答案为：．
24．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】 6
【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【详解】解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，
，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
25．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证，是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)10．
【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得，再由圆周角定理及等量代换得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据圆周角定理得出，再由等量代换确定，根据等边三角形的判定即可证明；
（3）设，根据等边三角形的性质及圆周角定理，利用全等三角形的判定得出，结合图形，根据其性质求解即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
弧弧，
，
弧弧，
，
，
；
（2）证明：如图：弧弧，
，且，
，
，
且，
为等边三角形；
（3）解：如图：设，
为等边三角形，
，
，
弧弧，
，
，
弧弧，
，
弧弧，
，
，
，
，
，
，
在上截取，且，
是等边二角形，
，
，且，
，
，
．
