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第2章：特殊三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：如果顶角是时，底角为，
这个已知角为底角时，即底角为，
故答案为：65°或50°，
故选择：B
2.答案：B
解析：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形的两底角相等，此逆命题为真命题，A不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，B符合题意；
C、等边三角形的三个内角相等的逆命题为：三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，C不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，此逆命题为真命题，D不符合题意.
故选择：B.
3.答案：A
解答：∵a+b=14
∴（a+b)2=196
∴2ab=196-（a2+b2)=96
∴．
故选择：A．
4.答案：D
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，
∴DE2＝CD2+CE2＝9+16＝25，
∴DE=5，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝5+3=8，
∴在Rt△ACD中，
∴AD2＝AC2+CD2＝64+16＝80，
∴AD=
故选择：D．
5答案：A
解析：∵EM是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线
∴AM=BM，AN=NC
∴∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN
设∠BAM=∠ABM =x，∠CAN=∠ACN =y
∴∠BAC=∠BAM+∠MAN+∠CAN=x+y+∠MAN=130°
在△AMN中，∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MAN+2∠BAM+2∠CAN=∠MAN+2(∠BAM+∠CAN)= ∠MAN+2(x+y)=180°
联立解得：∠MAN=80°，x+y=50°
故选择：A.
6.答案：B
解析：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴△AEP≌△CFQ(AAS)
∴AE=CF，PE=QF，
同理可证△DEP≌△DFQ ，
∴DE=DF，
∴AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
．
故选择：B
7.答案：B
解析：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴（AF+DF） BF＝4，
∴ （3+DF） 2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝ ，
点F到BD的距离为h，则有 ，
∴，
故选择：B.
8.答案：C
解析：设AB交CD于点G，如图：
∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴
∴
在和中，
∴
故③正确，
过点A作AF⊥DC，AN⊥BE，如图：
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
又∵
∴AM平分∠DME
故④正确，
根据题意无法证明则②错误，
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选择：C.
9.答案：C
解析：∵ 将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，
∴∠BAE=∠EAD=∠BAD，∠CAF=∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=（∠BAD+∠CAD）=∠BAC=×90°=45°，故①正确；
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD=90°，DF=m，则C'D=2m，C'F=CF=，
∴CD=DF+CF=，
∵∠BDA=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DC=AD==BD
∴BE=DE=BD=，而C'F=，
∴C'F≠BE，故②错误；
∵CD=，BE=DE=，
∴CE=CD+CD=，故③正确；
∵∠BEC=90°，∠C=30°，
∴，
∴，
∴FC= (－1)AE ，故④正确，
综上，正确的有①③④.
故选择：C.
10.答案：D
解析： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
， ≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中 ，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ， ，
， ， 为等腰直角三角形，
， ，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故选择：D.
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：5
解析：如图∵AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴,
∵BC=6,∴BD=3,
∵AD=4,
∴,
故答案为：5
12.答案：2
解析：连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13.答案：8
解析：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵BA⊥AD，∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=120°，∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，
∵D为BC的中点，∴BD=CD，
在△BAD和△CED中， ，
∴△BAD≌△CED（SAS），
∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，
∴AC=2CE=8，
故答案为：8．
14.答案:（1）16 （2）2：1
解析:（1）∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF.
∵BE⊥AC，点D为AB的中点，
∴Rt△BCE中，BC= 2EF，Rt△ABE中，AB=2DE.
∵AF⊥BC，点D是AB的中点.
∴Rt△ABF中，AB=2DF，
∵AB=AC，
∴2EF+2DE+2DF=BC+AB+AB=BC+AB+AC.
即△ABC的周长是△DEF的周长的2倍，
∵△DEF的周长是8，
∴△ABC的周长是16.
故答案为：16；
( 2) ∵AE：EC=3：2，设AE=3x，EC=2x，
∴AC=AB=5x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE=4x，
∴在Rt△BCE中，
∵CE =2x，BE=4x，
∴.
∴.
∴在Rt△ABF中，
∴
故答案为：2：1.
15.答案：①②③
解析：，
，
，
，①故正确；
，
，
，即，
，
，故②正确；
，即，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④错误，
∴正确的结论有①②③
故答案为：①②③
16.答案：5或
解析：在中，，，，
，
是的中点，，
当时，，
即，
，
；
当时，，
，
取的中点为，
又是的中点，
，
点即为点（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
；
综上所述：线段的长度为5或，
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（1）解析：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝
∴AD＝2AN＝．
18.解析：（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为24．
19.解析：（1）∵AD=CD
∴∠C=∠DAC=36°
∵∠ADB=∠C+∠DAC
∴∠ADB=36+36=72°
∵AB=AD
∴∠B=∠ADB =72°
（2）解：∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°
∴∠B+∠ADB=(180-x)°
∵AB=AD
∴∠B=∠ADB =
∵AD=CD
∴∠C=∠DAC= y°
∵∠ADB=∠C+∠DAC
∴
∴
20.解析：（1）因为，于点，
所以，，
因为，
所以，
所以．
（2）因为垂直平分，
所以，
所以．
由（1）知，，
所以，
所以．
21.解析：（1）①∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD=180°-∠ADB-∠DAB-∠CBA=180°-90°-22.5°-45°=22.5°；
②证明：∵CF⊥CD，
∴∠FCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠FCE=∠BCD+∠FCE，
即∠ACF=∠BCD，
由①得∠EBD=∠CAE=22.5°，
在△ACF和△BCD中，，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD.
（2）AB+AC＝2AM
解析：如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
∵△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
又∵CF⊥CD，
∴，
∵∠CAE=22.5°，
∴∠FCA=∠CFD-∠CAE=45°-22.5°=22.5°，
即∠FCA=∠CAE，
∴AF=CF，
由②得AF=BD，
∴DC=DB，
在Rt△CDM和Rt△BDH中，
，
∴Rt△CDM≌Rt△BDH（HL），
∴CM=BH，
在Rt△ADM和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△ADH（HL），
∴AM=AH，
∴AB+AC=AH+BH+AC=AM+CM+AC=AM+AM=2AM．
∴AB、AC、AM之间的数量关系为AB+AC=2AM；
故答案为：AB+AC=2AM.
22.（1）解析： ， ，
，
，
， ，
与 ； 与 ； 与 是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角形”即可）
（2）解析：证明：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 是“等角三角形”，
∴ 为 的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
②当 是等腰三角形， 时， ， ，
∴ ；
③当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
④当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，则 ，
，
由三角形的外角性质得： ，即 ，
解得 ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 或 ．
23.解析：（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
24.解析：（1）如图，连接BP，
∵AC=BC，，D为AB的中点，
∴，
∴CD是AB中垂线，，
∴AP=BP，
∵PA=PE，
∴，
∴
∴
(2)是等边三角形，理由如下：
∵，
∴是等边三角形，
（3）过点A作，在BC上截取，
∵，
∴是等边三角形，
在△PCE和△PGB中，
，
∴△PCE≌△PGB(AAS)，
∴CE=GB，
∴；
(4)∵，
∴，
∵
∴
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第2章：特殊三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．等腰三角形的一个角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65°或 D．80°
2．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．对顶角相等
C．等边三角形的三个内角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE=3，CD=4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
5．如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．如图，过边长为6的等边三角形ABC的边AB上一点P，作于点E,Q为BC延长线上一点，当AP=CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
7．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，连接CD、BE相交于点M，连接BC、AM．
①△ABE≌△ADC；②AE∥BC；③∠BMC＝120°；④AM平分∠DME，其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论正确的是（ ）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(－1)AE．
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．若等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为______________
12．如图，是等边三角形，是中点，于点，若，则的长是 ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点．
（1）若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是 ；（2）若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝_______
15．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______________（填序号）
16.如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接，．若是的中点，，，且为直角三角形，则线段的长度为______________
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17(本题6分）．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．
18（本题6分）．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
（1）求证：△BCD≌△ACD；（2）求△ACE的周长．
19（本题8分）． 如图：在△ABC中，AB=AD=CD.
（1）若∠C=36°，求∠B的度数.
（2）若∠BAD=x°，∠C=y°， 求x和y的数量关系（用x的代数式表示y）.
20（本题8分）．如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在延长线上，的垂直平分线交线段于点，垂足为，连接，试说明：．
21（本题10分）．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，连接CD，过点C作CF⊥CD交AD于F．
（1）如图1，①求∠EBD的度数；②求证：AF＝BD；（2）如图2，DM⊥AC交AC的延长线于点M，求AB，AC，AM之间的数量关系。
22（本题10分）．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在中，，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
（3）在△ABC中，若，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
23.（本题12分）在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
24（本题12分）．如图，在△ABC中，AC=BC，，D为AB的中点，0为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE．求证：（1）;(2)判断△PAE的形状；
（3）; (4)
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