3.1&3.2不等式及其基本性质六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（ ）
A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克
C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克
2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解是
B．不等式的解是
C．是不等式的一个解
D．是不等式的一个解
4．下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三角形的两边长分别为、，则该三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（ ）
A．207 B．208 C．209 D．239
9．下列说法中正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解
10．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ．
12．用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为 ．
13．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ．
14．已知为任意实数，则代数式的最大值是 ．
15．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为 ．
16．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
17．若，则关于x的方程解的取值范围为
18．关于，的二元一次方程：，则下列四个结论：
①无论为何值时，该方程都有一组解；
②若，则方程有三组非负整数解；
③若，则不等式的解集为；
④若和是方程的两组解，则．
其中正确的结论是 ．（请填写序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)52；
(7)．
20．将下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)
(2)
21．阅读下列解题过程，解答下列问题：
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
所以③．
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请写出正确的解题过程．
22．阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，
，，
，①
同理，，
，，
，，②
由②+①得，的取值范围是
完成任务：
(1)直接写出数学问题中的取值范围：______．
(2)已知，且，，试确定的取值范围；
(3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
23．（1）在下列横线上填“”“”或“”．
①如果，那么______；
②如果，那么______；
③如果，那么______．
（2）用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程．
24．阅读材料，解决下列问题．
八年级的小逸同学刚学完了不等式的基本性质1和2后，将课本中“不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向___________．”的横线处填上“改变”．小逸想利用不等式的基本性质1和2来验证自己的答案，把问题转化为以下的形式： ①已知，．求证：． ②已知，．求证：． 针对①小逸给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据． 证明：∵，即c是一个负数， ∴c的相反数是正数，即． ∵， ∴（依据1：___________），即， 不等式的两边同时加，得（依据2：___________）， 去括号，合并同类项可得，即，得证．
(1)材料中依据1是___________，依据2是___________．
(2)参考小逸的证明方法，请你完成②的证明．3.1&3.2不等式及其基本性质六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（ ）
A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克
C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克
【答案】A
【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可．
【详解】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克，
故选：A．
2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．本题考查不等式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：①③⑤是不等式，②④不是不等式，
则不等式有3个，
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解是
B．不等式的解是
C．是不等式的一个解
D．是不等式的一个解
【答案】D
【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意；
B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意；
C、不满足，故本选项不符合题意；
D、是不等式的一个解，故本选项符合题意．
故选：D．
4．下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可．
【详解】解：A．当时，，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意；
B．若，则，故本选项不符合题意；
C．若，当时，，故本选项不符合题意；
D．若，则，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
5．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质求解作答即可．
【详解】解：∵的解集为，
∴，
故选：C．
6．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可．
【详解】解：从题图中得出，，，
所以，，，，
故选项B、C、D错误，选项A正确，
故选：A．
7．已知三角形的两边长分别为、，则该三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边长的范围，进而得到该三角形的周长的范围，即可解答．
【详解】解：设该三角形的第三边长为，则
，
即，
∵该三角形的周长，
∴．
∴该三角形的周长可能是．
故选：D
8．设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（ ）
A．207 B．208 C．209 D．239
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解：，是整数，
的最大值为；
，是整数，，
的最大值为；
，为整数，
的最大值为；
，为整数，，
的最大值为，
故选：A．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解得定义去判定即可．
【详解】，
，
A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意；
B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意；
C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意；
D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意；
故选：A．
10．已知，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】把两个等式相减得，结合，可得关于a的不等式，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵①，②，
∴①-②得：，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，解得：a=3．
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式以及完全平方式的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键．
根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即．
【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是．
故答案为：．
12．用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是理解题意并抓住关键词．
首先表示的3倍与2的差，再表示差不大于0即可．
【详解】的3倍表示为：，
与2的差表示为：，
不大于0表示为：．
故答案为：．
13．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据“”“”的意义求出a和b的值成为解题的关键．
先根据“”“”的意义求出a和b的值，然后计算即可．
【详解】解：∵,
∴x的最小值是,
∵,
∴y的最大值是,
∴.
故答案为：9.
14．已知为任意实数，则代数式的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，配方法，非负数的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握配方法和完全平方公式的结构特征，理解非负数的性质是解题的关键．
首先利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
的最大值为，
即代数式的最大值是，
故答案为：．
15．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组的应用．分两种情况：当时，当时，结合新定义，分别求出y的取值范围，即可求解．
【详解】解：当时，，
此时，
即；
当时，，
此时，
即；
综上所述，的范围为．
故答案为：
16．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质可得，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，解得：．
故答案为：．
17．若，则关于x的方程解的取值范围为
【答案】/
【分析】本题考查解一元一次方程，不等式的性质，先求出方程的解，再根据不等式的性质求出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
故答案为：．
18．关于，的二元一次方程：，则下列四个结论：
①无论为何值时，该方程都有一组解；
②若，则方程有三组非负整数解；
③若，则不等式的解集为；
④若和是方程的两组解，则．
其中正确的结论是 ．（请填写序号）
【答案】①②④．
【分析】本题考查了二元一次方程的解、不等式的性质，根据题意结合计算方法逐项判断即可得出答案，熟练掌握计算方法是解此题的关键．
【详解】解：将代入方程可得：，故无论为何值时，该方程都有一组解，故①正确；
当时，方程为，方程的非负整数解为，，，故②正确；
当时，，即，当时，，当时，，故③错误；
因为和是方程的两组解，
∴，
两式相减得：，
因为，
所以，故④正确；
综上所述，正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)52；
(7)．
【答案】(1)既不是等式也不是不等式
(2)是不等式
(3)是等式
(4)是不等式
(5)是等式
(6)既不是等式也不是不等式
(7)是不等式
【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．
【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式；
（2）解：是不等式；
（3）解：是等式；
（4）解：是不等式；
（5）解：是等式；
（6）解：52既不是等式也不是不等式
（7）解：是不等式．
20．将下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
（1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集；
（2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解：
不等式两边同时乘，
解得：；
（2）解：
不等式两边同时减，得，
不等式两边同时减3，得，
不等式两边同时除以，得．
21．阅读下列解题过程，解答下列问题：
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
所以③．
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②；不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变．
(2)见解析
【分析】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键．
（1）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变，可得第②步开始出现错误；
（2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．
【详解】（1）解：②；错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变；
（2）解：正确的解题过程如下：
因为，
所以，
所以．
22．阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，
，，
，①
同理，，
，，
，，②
由②+①得，的取值范围是
完成任务：
(1)直接写出数学问题中的取值范围：______．
(2)已知，且，，试确定的取值范围；
(3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)的取值范围是；
(3)的取值范围是．
【分析】本题考查不等式的性质；注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件．
（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；
（2）仿照例子，注意由到的转化，再由不等式同号可加性进行求解；
（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当时，关于x、y的不等式存在解集．
【详解】（1）解：，
．
，
．
故答案为：；
（2）解：，
．
又，
，
．
又，
，
．
同理得，
，
的取值范围是；
（3）解：，
．
又，
，
．
又，
，
．
当时，．
同理得，
，
∴当时，的取值范围是．
23．（1）在下列横线上填“”“”或“”．
①如果，那么______；
②如果，那么______；
③如果，那么______．
（2）用（1）的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程．
【答案】（1），，；（2）能，见解析
【分析】本题考查了不等式的性质、整式的大小比较；
（1）根据不等式的性质以及等式的性质填空即可求解；
（2）计算，根据即可求解．
【详解】解：（1）①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么．
故答案为：，，；．
（2）能．
，
，
．
．
24．阅读材料，解决下列问题．
八年级的小逸同学刚学完了不等式的基本性质1和2后，将课本中“不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向___________．”的横线处填上“改变”．小逸想利用不等式的基本性质1和2来验证自己的答案，把问题转化为以下的形式： ①已知，．求证：． ②已知，．求证：． 针对①小逸给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据． 证明：∵，即c是一个负数， ∴c的相反数是正数，即． ∵， ∴（依据1：___________），即， 不等式的两边同时加，得（依据2：___________）， 去括号，合并同类项可得，即，得证．
(1)材料中依据1是___________，依据2是___________．
(2)参考小逸的证明方法，请你完成②的证明．
【答案】(1)不等式的基本性质2（不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变）；不等式的基本性质1（不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变）．
(2)见解析
【分析】本题主要考查不等式的基本性质：
（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；
（2）仿照小逸的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：材料中依据1是不等式的基本性质2（不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变）；
依据2是不等式的基本性质1（不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变）．
故答案为：不等式的基本性质2（不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变）；不等式的基本性质1（不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变）
（2）证明：∵，即c是一个负数，
∴c的相反数是正数，即．
∵，
∴（依据不等式的基本性质2或不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变），
即，
不等式的两边都加，得（依据不等式的基本性质1或不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变），
去括号，合并同类项可得，
即，得证．
