3.3一元一次不等式七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
【详解】解：A. ，有两个未知数，不符合题意；
B. ，是一元一次不等式；
C. ，未知数的次数为2次，不符合题意；
D. ，没有未知数，不符合题意；
故选B．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．依次移项、合并同类项即可得出答案，也考查了在数轴上表示不等式的解集．
【详解】解∶∵，
∴，
∴，
在数轴上表示为∶
，
故选∶A．
3．不等式)非负整数解是（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3
C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，3，4，5
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，求不等式的非负整数解，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的非负整数解为0，1，2，3，
故选：B．
4．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
5．某品牌亚麻服装进价为200元/件，标价为300元/件，由于搞活动，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则该品牌亚麻服装每件最多可打（ ）
A．9折 B．8折 C．7折 D．3.5折
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设可以打折，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：设可打折，利润率不低于，
根据题意得：，
，
则最多打7折．
故选：C．
6．下列由题意列出的不等关系中，错误的是（ ）
A．“a不是负数”表示为；
B．“m与4的差是非负数”表示为；
C．“x不大于3”表示为；
D．“代数式大于”表示为．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式，根据文字语言叙述，将不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意不是负数、非负数即为大于或等于0的数；不大于即小于或等于．
【详解】A、a不是负数，表示为，故本选项错误；
B、m与4的差是非负数，表示为，故本选项正确；
C、x不大于3，表示为，故本选项正确；
D、代数式大于，表示为，故本选项正确，
故选：A．
7．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
8．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
9．若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分式方程的解为正数包含两个含义，（1）所得整式方程的解不是增根，即使分式分母不为0，（2）解为正数．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且，
故选：B．
10．若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：
①；
②若，则，；
③的解集为或；
④函数与直线（为常数）有3个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据新定义，分类计算判断即可．
【详解】因为，且，
所以，
故①正确；
当时，，
解得，，符合题意；
当即时，，
所以，此时即，显然不成立，
所以②正确；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是；
当即时，，得到，
解得，
所以不等式的解集是或；
所以③不正确；
当即时，此时
因为，
图像为抛物线上的一部分；
当即时，此时或，
因为，
图像为抛物线上的一部分，且当时，；当时，；符合题意的整体图象如下：
故当时，函数与直线（为常数）有3个交点．
所以④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算和二次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．不等式的正整数解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
先解不等式，然后可得其正整数解．
【详解】解：移项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为，
故答案为：．
12．使分式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得．
故答案为：．
13．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是不等式的解集的解法，不等式两边的式子在同除以一个数时，若这个数为负数，则不等号改变方向，若这个数为正数，不等号不改变方向．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故答案为：．
14．某校组织开展了与神舟飞船有关的知识竞赛活动，竞赛试题共有30道，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．如果小明想参加本次竞赛且得分不低于80分，那么他至少需要答对 道题．
【答案】22
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用；
设小明答对了道题，根据得分不低于80分列不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：设小明答对了道题，
由题意得：，
解得：，
所以他至少需要答对22道题，
故答案为：22．
15．将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查近似数和有效数字，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用新定义和四舍五入法解答．
根据题意可以得到，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
故答案为：．
16．已知是方程的解，那么不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出，再把代入不等式中，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得，
∴不等式，即为，
解不等式得，
故答案为：．
17．已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查非负数的性质，不等式的解集，解不等式，掌握绝对值与算术平方根的非负性，求出，且是解题的关键．
先根据非负数的性质，得出，，解得：，，再根据不等式的解集为，得到，，把，代入，得，然后由，则，解得，所以，最后解不等式，即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，，
∴，
把，代入，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
即不等式的解集是．
故答案为：．
18．(容斥原理)我校六年级一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等奖的有8人次，二等奖的有16人次；获得语文一等奖的有3人次，二等奖的有13人次；获得英语一等奖的有7人次，二等奖的有21人次．如果只获得一个学科奖项的同学有50人，那么三个学科都获奖的学生最多有 人．
【答案】6
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设三个学科都获奖的同学有人，根据只获得一个学科奖项的同学有50人，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：设三个学科都获奖的同学有人，由题意，得：
，
解得：，
∴三个学科都获奖的学生最多有6人；
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的一般步骤．
根据解一元一次不等式的一般步骤，求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
其解集在数轴上表示如下所示：
．
20．已知关于，的方程组的解满足，试求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，求出，是解答本题的关键．
先解方程组求出，，再根据列不等式求解即可．
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入②得，
解得，
∵
∴
解得．
21．某商店欲购进两种商品，已知购进种商品件和种商品件共需元；若购进种商品件和种商品件共需元．
(1)求两种商品每件的进价分别为多少元？
(2)若该商店每销售件种商品可获利元，每销售件种商品可获利元，且商店将购进共件的商品全部售出后，要获得的利润不低于元，问种商品至少购进多少件？
【答案】(1)种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元；
(2)件．
【分析】（）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，根据题意列出方程组即可求解；
（）设购进种商品件，则购进种商品件，根据题意列出不等式即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，
由题意得，，
解答，
答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元；
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得，，
解答，
答：种商品至少购进件．
22．小范博士给同学们定义了一种新运算，规定，例如，．若关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，以及二元一次方程组、解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先结合新定义，得出，再运用加减消元法得，，结合，得，然后解出．
【详解】解：∵规定，且，
∴，
，得，
∴；
把代入，
得，
∵，
∴，
∴，
解得．
23．根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
素材1 两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅 配料
19元/杯 芝士/杯
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅 配料
17元/杯 茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的利润 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
任务2 拟定最优方案 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
【答案】任务1：“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元；任务2：42杯
【分析】本题考查方程组的应用和不等式的实际应用；
任务1：由每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，设每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，再设出数量，最后根据利润列方程组求解即可；
任务2：设9月3日制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯和杯，根据要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”列出不等式和方程，再根据整数解求解即可．
【详解】任务1：设“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元，9月2日当天销售“芝士杨梅”杯，则销售“满杯杨梅”杯，
由题意可得：，
由可得，
把代入可得，
∴“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”利润为元，
任务2：设9月3日制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯和杯，总获利为元，
由题意可得：
由可得，
∴，解得，
∵和都是正整数，
∴且必须是的倍数，
∴或，
当时，，，
当时，，，
∴为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”35杯和“满杯杨梅”7杯，共42杯．
24．阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
【答案】(1)不是
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可；
（2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可；
（3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可．
【详解】（1）解：解，得：，
解，得：，
∴方程的解不是不等式的解，
∴不是；
（2），
，得：，
∵，
∴，
即：，
∴；
（3）由，得 ，
∵，
∴，
∴，即，
由，得 ．
∵方程的解是不等式的“友好解”．
∴，
解得 ，
∴的最小整数值为：．3.3一元一次不等式七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式)非负整数解是（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3
C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，3，4，5
4．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
5．某品牌亚麻服装进价为200元/件，标价为300元/件，由于搞活动，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则该品牌亚麻服装每件最多可打（ ）
A．9折 B．8折 C．7折 D．3.5折
6．下列由题意列出的不等关系中，错误的是（ ）
A．“a不是负数”表示为；
B．“m与4的差是非负数”表示为；
C．“x不大于3”表示为；
D．“代数式大于”表示为．
7．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
8．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
10．若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：
①；
②若，则，；
③的解集为或；
④函数与直线（为常数）有3个交点，则．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．不等式的正整数解为 ．
12．使分式有意义的x的取值范围是 ．
13．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
14．某校组织开展了与神舟飞船有关的知识竞赛活动，竞赛试题共有30道，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．如果小明想参加本次竞赛且得分不低于80分，那么他至少需要答对 道题．
15．将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是 ．
16．已知是方程的解，那么不等式的解集是 ．
17．已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是 ．
18．(容斥原理)我校六年级一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等奖的有8人次，二等奖的有16人次；获得语文一等奖的有3人次，二等奖的有13人次；获得英语一等奖的有7人次，二等奖的有21人次．如果只获得一个学科奖项的同学有50人，那么三个学科都获奖的学生最多有 人．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
20．已知关于，的方程组的解满足，试求的取值范围．
21．某商店欲购进两种商品，已知购进种商品件和种商品件共需元；若购进种商品件和种商品件共需元．
(1)求两种商品每件的进价分别为多少元？
(2)若该商店每销售件种商品可获利元，每销售件种商品可获利元，且商店将购进共件的商品全部售出后，要获得的利润不低于元，问种商品至少购进多少件？
22．小范博士给同学们定义了一种新运算，规定，例如，．若关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
23．根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
素材1 两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅 配料
19元/杯 芝士/杯
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅 配料
17元/杯 茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的利润 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
任务2 拟定最优方案 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
24．阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
