3.4一元一次不等式组九大题型（一课一讲）
题型一：判断是否为一元一次不等式组
【经典例题1】下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-4】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-5】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
题型二：解一元一次不等式组
【经典例题2】解不等式组：，并将解集在数轴上表示．
【变式训练2-1】（1）解方程：，
（2）解不等式组，并把这个不等式组的解集在数轴上表示出来．
【变式训练2-2】解不等式组：并求所有整数解的和．
【变式训练2-3】解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集
【变式训练2-4】解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
【变式训练2-5】解下列不等式组，并将解集表示在数轴上．
(1)
(2)
题型三：由一元一次不等式的整数解求参数
【经典例题3】关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】已知关于的不等式组的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ．
【变式训练3-4】已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是 ．
【变式训练3-5】已知关于的不等式组有4个整数解，那么实数的取值范围是 ．
题型四：由一元一次不等式的解集求参数
【经典例题4】若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．12 B．6 C．—14 D．—15
【变式训练4-2】已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练4-2】已知不等式组的解集是，则 ．
【变式训练4-3】已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【变式训练4-4】若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解， 则符合条件的整数k的值为 ．
【变式训练4-5】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ．
题型五：不等式组与方程组的结合
【经典例题5】已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围．
【变式训练5-1】若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围．
【变式训练5-2】已知不等式组①，解决下列问题：
(1)求不等式组①的解集；
(2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值．
【变式训练5-3】已知关于a、b的方程组．
(1)若，求m的值；
(2)已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为．
【变式训练5-4】已知关于、的二元一次方程组．
(1)若方程组的解、互为相反数．求的值；
(2)若方程组的解满足，求的取值范围．
【变式训练5-5】已知关于的方程组（为常数）
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【变式训练5-6】已知方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
题型六：列一元一次不等式组
【经典例题6】小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-3】一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-5】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ．
题型七：一元一次不等式组的应用之方案问题
【经典例题7】某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格/（万元/台） 8 6
月处理污水量/（吨/月） 200 180
经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
【变式训练7-1】现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表：
甲 型 乙 型
价格（万元/台） x y
产能（吨/月） 240 200
某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
(1)求x、y的值；
(2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买．
【变式训练7-2】学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元．
(1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？
(2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
【变式训练7-3】世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而使用丝巾遮盖口鼻，这样蒙口鼻的给布，也就是原始的口罩，由于新冠防疫，某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元，2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？
【变式训练7-4】吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元．
(1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值．
(2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？
【变式训练7-5】为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱．
(1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
题型八：一元一次不等式组的应用之销售问题
【经典例题8】“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元．
(1)两种零食每包的售价分别是多少元？
(2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？
【变式训练8-1】某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
甲 乙 丙
每辆汽车能装的数量（吨）
每吨水果可获利润（万元）
(1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
(2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？
(3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
【变式训练8-2】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 种头盔 种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
(1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个；
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
【变式训练8-3】凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：
甲 乙
进价（元/部） 4300 3600
售价（元/部） 4800 4200
(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？
(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案．
【变式训练8-4】全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
(2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润．
【变式训练8-5】2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
题型九：一元一次不等式组的应用之素材问题
【经典例题9】根据下列信息，探索完成任务：
信息一 2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会（ ），是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事，2024年7月26日本届奥运会在巴黎塞纳河上举行开幕式．某校七年级举行了关于“奥林匹克运动会”的线上知识竞赛，竞赛试卷共30道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于78分者获奖．
信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种文具作为奖品，已知购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多．
信息三 学校计划完成本次活动的总费用（包含支付线上平台使用费和购买奖品两部分）不超过850元，其中支付线上平台使用费刚好用了180元，剩余的钱用于购买两种型号的文具共60个作为奖品，其中A型文具数量大于45个．
解决问题
任务一 小明同学是获奖者，他至少应选对多少道题．
任务二 求A型文具和B型文具的单价．
任务三 通过计算说明该校共有哪几种购买方案．
【变式训练9-1】根据以下素材，探索完成任务
背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元．
素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内．
问题解决
任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？
任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？
【变式训练9-2】根据下表素材，探索完成任务；
背景 某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．
素材1 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元．
素材2 某校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元．
素材3 购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．
问题解决
任务1 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？
任务2 请问有哪几种购买方案？
【变式训练9-3】请同学们根据以下素材，完成任务．
设计粽子采购方案
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本．
素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元．
素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元．
素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．
任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？
任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？
任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______．
【变式训练9-4】根据以下素材，探索完成任务：
如何确定人数？
素材1 某兴趣小组组织研学活动，商议去参观航天展览馆，展览馆分为，两个场馆，已知购买1张场馆门票和2张场馆门票共需130元，购买2张场馆门票和3张场馆门票共需220元．
素材2 由于场地原因，每位学生只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的每张门票价格．
任务2 确定人数 到达展览馆后，购买两种门票共花了费了750元，且参观B场馆的学生人数多于参观A场馆的同学人数，请你求出实际参观场馆和场馆分别有多少人？
【变式训练9-5】根据以下素材，探索完成任务：
快餐方案的确定
素材1 谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见表： 项目谷物牛奶鸡蛋蛋白质（g）3.015脂肪（g）32.43.65.2碳水化合物（g）50.84.51.4
素材2 阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材3 阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐主食肉类其他AB
问题解决
任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？
任务2 已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？
任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？3.4一元一次不等式组九大题型（一课一讲）
题型一：判断是否为一元一次不等式组
【经典例题1】下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：是一元一次不等式组．
故选：B．
【变式训练1-1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式训练1-3】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
【变式训练1-4】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
【变式训练1-5】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
题型二：解一元一次不等式组
【经典例题2】解不等式组：，并将解集在数轴上表示．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
数轴表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【变式训练2-1】（1）解方程：，
（2）解不等式组，并把这个不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等等，正确计算是解题的关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
系数化为1得：；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
．
【变式训练2-2】解不等式组：并求所有整数解的和．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集，
∴不等式组所有整数解的和为．
【变式训练2-3】解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集
【答案】，见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【变式训练2-4】解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，解题关键是掌握解不等式和不等式组的方法和步骤．
（1）根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
解集在数轴上表示如下：
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
【变式训练2-5】解下列不等式组，并将解集表示在数轴上．
(1)
(2)
【答案】(1)，图见解析；
(2)，图见解析．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出即可．
【详解】（1）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为如图所示：
（2）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
解集在数轴上表示为如图所示：
题型三：由一元一次不等式的整数解求参数
【经典例题3】关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定，再进行求解即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
又∵x的一元一次不等式组只有4个整数解，
∴整数解为：，，，；
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练3-1】已知关于的不等式组的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
由关于的不等式组的解集中有且仅有2个整数，可得，进而可得．
【详解】解：∵关于的不等式组的解集中有且仅有2个整数，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-2】关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一元一次不等式组的整数解的情况求参数，解一元一次不等式组，由题意求得，根据不等式组的整数解仅有4个，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∵不等式组的整数解仅有4个，
则其整数解为2、1、0、，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-3】已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了与不等式组有关的整数解问题．先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-4】已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值．先解出不等式组的解，然后确定x的取值范围，根据整数解的个数可知a的取值．
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴．
∵原不等式组有6个整数解，
∴x可取3，2，1，0，，，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式训练3-5】已知关于的不等式组有4个整数解，那么实数的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的整数解．解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
首先解每个不等式可得，根据不等式组只有四个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴
∵不等式组有四个整数解，
∴整数解是1，2，3，4；
∴
∴，
故答案为：
题型四：由一元一次不等式的解集求参数
【经典例题4】若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握不等式解集的取法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先分别解出两个不等式，再根据不等式组的解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：，
解①得
解②得
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
故选B．
【变式训练4-1】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．12 B．6 C．—14 D．—15
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴， 解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故不等式组的解集是：
∵不等式组只有3个整数解，
∴，解得，
∴，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故选：D．
【变式训练4-2】已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值．
【详解】解：解方程组，得，
∵，，
∴，
解得，
又∵关于k的不等式的解集为：，
∴，
解得，
∴k的范围为．
又∵k为整数，
∴．
故选：B．
【变式训练4-2】已知不等式组的解集是，则 ．
【答案】1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：由得：，
由得：，
解集为，
，，
解得，，
则，
故答案为：1．
【变式训练4-3】已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得，；
故答案为：．
【变式训练4-4】若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解， 则符合条件的整数k的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式得：
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
，
解得：，
∵关于y的方程有正整数解，
∴整数k的值为1．
故答案为：1
【变式训练4-5】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：，
得：，即，
得：，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
题型五：不等式组与方程组的结合
【经典例题5】已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：
，
，
，
，
解不等式②得：
，
，
不等式组的整数解是，，，，
不等式组的解集是，
，
解得：．
【变式训练5-1】若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组有且只有两个整数解，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，则它们是，0，
，
解得：，
故的取值范围为．
【变式训练5-2】已知不等式组①，解决下列问题：
(1)求不等式组①的解集；
(2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集与①的解集相同得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由不等式得：，
由不等式得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：，
由不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集与①的解集相同，
∴，
解得：．
【变式训练5-3】已知关于a、b的方程组．
(1)若，求m的值；
(2)已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键．
（1）两式相加即可求解；
（2）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出不等式组，从而求出m的范围；
（3）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可求解．
【详解】（1）解：两式相加得：，
，
，
解得：；
（2）解：解方程组得：
∵a为负数，b为非正数
∴，
解得：；
（3）解：
∵要使不等式的解集为
必须
解得：
∵，m为整数
∴
∴当时，不等式的解集为．
【变式训练5-4】已知关于、的二元一次方程组．
(1)若方程组的解、互为相反数．求的值；
(2)若方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得；
（2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得．
【详解】（1）解：
得：，
、互为相反数，
，
则，
，
解得；
（2）
得：，即，
，
，
解得：．
【变式训练5-5】已知关于的方程组（为常数）
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键．
（1）两式相加，得，于是有，进而求解即可；
（2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围．
【详解】（1）解：
，得：，故，
又由，则，得．
（2）解：
，得：，
又由，得，
解得．
【变式训练5-6】已知方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）解方程组得和的值，由，得，解之即可；
（2）知，，再去绝对值符号、括号，计算加减即可．
【详解】（1）解：解方程组得，
，，
，
解得；
（2）解：，
，，
则．
题型六：列一元一次不等式组
【经典例题6】小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断．
【详解】解：某天最高气温是，最低气温，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是．
故答案为：D．
【变式训练6-1】某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案．
【详解】解：设他行驶的路程为千米，
∴，
故选A
【变式训练6-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，
由题意得．
故选：C．
【变式训练6-3】一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
【变式训练6-4】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键．
【变式训练6-5】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组．
【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为：
．
故答案为：．
题型七：一元一次不等式组的应用之方案问题
【经典例题7】某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格/（万元/台） 8 6
月处理污水量/（吨/月） 200 180
经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
【答案】(1)企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台
(2)购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱
【分析】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
（1）设购买A型设备x台，则B型设备台，根据“企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨”列出不等式组进行求解即可；
（2）求出当和时所需费用进行比较即可．
【详解】（1）解：设购买A型设备x台，则B型设备台，
由题意得，
解得
∵，且x为正整数，
∴x可取3和4，
故当购买A型设备3台，则B型设备5台；购买A型设备4台，则B型设备4台．
答：企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台．
（2）解：当时，（万元）
当时，（万元）
∵，
∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱．
【变式训练7-1】现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表：
甲 型 乙 型
价格（万元/台） x y
产能（吨/月） 240 200
某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
(1)求x、y的值；
(2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买．
【答案】(1)
(2)购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台
【分析】本题主要考查了购买方案问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，列二元一次方程组，列一元一次不等式组，是解决问题的关键．
（1）根据表中数据，结合“一台甲型设备比一台乙型设备多2万元， 2台甲型设备比3台乙型设备少6万元”列二元 一次方程组解答；
（2）根据“资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨”列一元一次不等式组解答．
【详解】（1）根据题意，得，
解得，
故x、y的值分别是12和10；
（2）设买甲型设备a台，买乙型设备台，
根据题意，得，
解得，
∴，
∵a为整数，
∴或，
∴或．
故该公司应该购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台．
【变式训练7-2】学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元．
(1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？
(2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
【答案】(1)元和元
(2)有3种方案，详见解析，最省钱方案为：购买平板电脑台，学习机台
【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题中的等量关系，列出方程组和不等式组是解本题的关键．
（1）设购买台平板电脑和台学习机各需元，元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可得到结果；
（2）设购买平板电脑台，学习机台，根据“购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍”列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．
【详解】（1）解：设购买台平板电脑和台学习机各需元，元，根据题意得：
，
解得：，
答：购买台平板电脑和台学习机各需元和元；
（2）解：设购买平板电脑台，学习机台，
根据题意得：，
解得：，
只能取正整数，
，，，
当时，；时，；时，；
方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元；
方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元；
方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为元，
则方案最省钱．
【变式训练7-3】世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而使用丝巾遮盖口鼻，这样蒙口鼻的给布，也就是原始的口罩，由于新冠防疫，某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元，2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？
【答案】(1)一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元．
(2)当购买A型口罩330个，B型口罩170个时，最省钱
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设一个A型口罩的售价是x元，一个B型口罩的售价是y元，根据1个A型口罩和2个B型口罩共需32元，2个A型口罩和1个B型口罩共需28元列出方程组求解即可；
（2）设购进A型口罩m个，则购进B型口罩个，根据A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍列出不等式组求出m的取值范围，再根据一个A型口罩的价钱低于一个B型口罩的价钱，可知在购买A、B两种型号的口罩数量一定时，购买A型口罩越多越省钱，据此可得答案．
【详解】（1）解：设一个A型口罩的售价是x元，一个B型口罩的售价是y元，
由题意得，，
解得，
答：一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元．
（2）解：设购进A型口罩m个，则购进B型口罩个，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的值可以为330或331或332或333，
由（1）可知一个A型口罩的价钱低于一个B型口罩的价钱，
∴在购买A、B两种型号的口罩数量一定时，购买A型口罩越多越省钱，
∴当，时，最省钱，
∴当购买A型口罩330个，B型口罩170个时，最省钱．
【变式训练7-4】吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元．
(1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值．
(2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？
【答案】(1)m的值为10，n的值为14
(2)共有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用；
（1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案；
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个
【变式训练7-5】为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱．
(1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资
(2)方案见解析，当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资，根据辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱，列出方程组，解方程组即可；
（2）设有辆大货车，辆小货车，根据大货车的数量不少于辆，总费用小于元列出不等式组，解不等式组，得出a的取值范围，根据取正整数，得出，，，然后分别求出三种情况下的总费用，再进行比较，得出答案即可．
【详解】（1）解：设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资．
由题意可得：，
解得：．
答：辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资．
（2）解：设有辆大货车，辆小货车，
由题意可得：，
∴，
取正整数，
，，，
有三种运输方案：
方案一：有辆大货车，辆小货车，此时费用元，
方案二：有辆大货车，辆小货车，此时费用元，
方案三：有辆大货车，辆小货车，此时费用元，
，
当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元．
题型八：一元一次不等式组的应用之销售问题
【经典例题8】“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元．
(1)两种零食每包的售价分别是多少元？
(2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？
【答案】(1)种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元；
(2)购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元．
【分析】（）设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元，根据题意列出方程组即可求解；
（）设购进种零食包，则购进种零食包，根据题意列出不等式组求出的值，再求出每一种方案的获利即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】（1）解：设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元，
根据题意得，，
解得，
答：种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元；
（2）解：设购进种零食包，则购进种零食包，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或或，
∴进货方案有种：
方案一：购进种零食包，种零食包，获利元；
方案二：购进种零食包，种零食包，获利元；
方案三：购进种零食包，种零食包，获利元；
∵，
∴购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元．
【变式训练8-1】某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
甲 乙 丙
每辆汽车能装的数量（吨）
每吨水果可获利润（万元）
(1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
(2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？
(3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆
(2)装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆
(3)安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元
【分析】本题考查二元一次方程组，代数式表示式子，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以用关于的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量；
（3）根据题意可以写出利润关于的关系式，再根据的取值范围即可解答本题．
【详解】（1）解：设装运乙、丙水果的汽车分别为辆，辆，
由题意得，
解得
答：装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆．
（2）设装运乙、丙水果的汽车分别为a辆，b辆，
由题意得
解得
答：装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆．
（3）设总利润为万元，
则．
．
又为正整数，
，，．
将，，依次代入中，
可得当时，最大，此时．
答：安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元．
【变式训练8-2】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 种头盔 种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
(1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个；
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个
(2)该商店第二次有3种批发方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可．
【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，
，
解得：，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案．
【变式训练8-3】凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：
甲 乙
进价（元/部） 4300 3600
售价（元/部） 4800 4200
(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？
(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案．
【答案】(1)甲手机12部，乙手机5部
(2)2种方案：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部．
【分析】本题考查了一元一次不等式组解实际问题的运用，二元一次方程组解实际问题的运用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设售出甲手机x部，乙手机y部，由“三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍”列出方程组，可求解；
（2）设购进甲手机x部，乙手机部，由“购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元”列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设售出甲手机x部，乙手机y部，
由题意得，，
解得：．
答：售出甲手机12部，乙手机5部；
（2）解：设购进甲手机x部，乙手机部，
由题意得，，
解得：，
取整数，
可取12，13，
则可能的方案为：
①购进甲手机12部，乙手机8部；
②购进甲手机13部，乙手机7部．
【变式训练8-4】全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
(2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润．
【答案】(1)每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
(2)一种方案，且最多利润为6900元
【分析】（1）设每台种空气净化器为元，种净化器为元，根据用6000元购进种空气净化器的数量与用7500元购进种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）根据题意列出不等式，进行解答即可；
本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
【详解】（1）解：设每台型空气净化器为元，型净化器为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）解：设型空气净化器购进台，则型空气净化器台
则
得的范围，
∵为整数
∴，
故一种方案．
∵两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，
∴（元）
【变式训练8-5】2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元
(2)该销售店共有3种进货方案，详见解析
(3)进货方案购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式组解决实际问题．
（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可；
（2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答；
（3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答．
【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得
，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
题型九：一元一次不等式组的应用之素材问题
【经典例题9】根据下列信息，探索完成任务：
信息一 2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会（ ），是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事，2024年7月26日本届奥运会在巴黎塞纳河上举行开幕式．某校七年级举行了关于“奥林匹克运动会”的线上知识竞赛，竞赛试卷共30道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于78分者获奖．
信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种文具作为奖品，已知购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多．
信息三 学校计划完成本次活动的总费用（包含支付线上平台使用费和购买奖品两部分）不超过850元，其中支付线上平台使用费刚好用了180元，剩余的钱用于购买两种型号的文具共60个作为奖品，其中A型文具数量大于45个．
解决问题
任务一 小明同学是获奖者，他至少应选对多少道题．
任务二 求A型文具和B型文具的单价．
任务三 通过计算说明该校共有哪几种购买方案．
【答案】任务一：若小明同学是获奖者，他至少应选对23道题；任务二：型文具的单价为12元，型文具的单价为8元；任务三：该校共①购买型文具46个，购买型文具个；②购买型文具47个，购买型文具个两种购买方案
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式（组）的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
任务一：设小明同学选对道题，则不选或者选错的有道题，根据题意列出一元一次不等式，求解即可获得答案；
任务二：设型文具的单价为元，型文具的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案；
任务三：设学校购买型文具个，则购买型文具个，根据题意列出一元一次不等式组，求解确定的取值范围，即可确定答案．
【详解】任务一：
解：设小明同学选对道题，则不选或者选错的有道题，
根据题意，可得，
解得，
∴若小明同学是获奖者，他至少应选对23道题；
任务二：
解：设型文具的单价为元，型文具的单价为元，
根据题意，可得，
解得，
∴型文具的单价为12元，型文具的单价为8元；
任务三：
解：设学校购买型文具个，则购买型文具个，
根据题意，可得，
解得，
∵为整数，
∴，47，
∴购买方案有：
①购买型文具46个，购买型文具个；
②购买型文具47个，购买型文具个；
综上，该校共①购买型文具46个，购买型文具个；②购买型文具47个，购买型文具个两种购买方案．
【变式训练9-1】根据以下素材，探索完成任务
背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元．
素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内．
问题解决
任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？
任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？
【答案】任务1：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元；任务2：共有2种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆：方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；任务3：花费最少的是方案1，节省了元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；任务3：根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需总租金.
任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，根据“明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案；
任务3：求出选择各租车方案所需总租金，比较后，用元减去花费最少的总租金，即可得出结论.
【详解】解：任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，
根据题意得：
解得：
答：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元；
任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：，
解得：，
又∵a为正整数，
∴a可以为2，3，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆：
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆：
任务3：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）.
∵，（元），
∴花费最少的是方案1，节省了元.
【变式训练9-2】根据下表素材，探索完成任务；
背景 某校为了丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．
素材1 每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元．
素材2 某校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元．
素材3 购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．
问题解决
任务1 求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？
任务2 请问有哪几种购买方案？
【答案】任务1：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元；
任务2：共有3种购买方案，分别是：
方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”；
方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”；
方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解．
任务1：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元，根据题意列出方程组求解即可；
任务2：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】解：任务1：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元，
根据题意，得
解得
答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元；
任务2：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，
根据题意，得，
解得，
又为正整数，
可以为，
共有3种购买方案，
方案1：购进30套甲种“文房四宝”，120套乙种“文房四宝”；
方案2：购进31套甲种“文房四宝”，119套乙种“文房四宝”；
方案3：购进32套甲种“文房四宝”，118套乙种“文房四宝”．
答：共有3种购买方案．
【变式训练9-3】请同学们根据以下素材，完成任务．
设计粽子采购方案
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本．
素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元．
素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元．
素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．
任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？
任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？
任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______．
【答案】任务一：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元；任务二：600元；任务三：640
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可．
任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决．
任务2设分别购买A，B型礼盒套装a，b箱，根据“支出9000元购买礼盒套装”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，根据“每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元”，再用a，b表示出回收费用，整体代入即可求出．
任务3，设分别采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱，根据题意列出三元一次方程，并求出其正整数解即可．
【详解】解：（1）设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元．
则由题意可得，
解得．
答：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元．
（2）设采购A型套装a箱，B型套装b箱．
则由题意可得：，
化简得，
则回收成本为（元），
答：超市回收所有礼品盒所需成本为600元．
（3）设采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱．
则由题意可得：
①②得：④，
得：⑤，
∴，，
由题意，，得，解得，
又∵p，q，z都是正整数，且m是偶数，
∴．
【变式训练9-4】根据以下素材，探索完成任务：
如何确定人数？
素材1 某兴趣小组组织研学活动，商议去参观航天展览馆，展览馆分为，两个场馆，已知购买1张场馆门票和2张场馆门票共需130元，购买2张场馆门票和3张场馆门票共需220元．
素材2 由于场地原因，每位学生只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的每张门票价格．
任务2 确定人数 到达展览馆后，购买两种门票共花了费了750元，且参观B场馆的学生人数多于参观A场馆的同学人数，请你求出实际参观场馆和场馆分别有多少人？
【答案】任务1：场馆的每张门票价格为50元，场馆的每张门票价格为40元
任务2：实际参观场馆和场馆分别有3人、15人或7人、10人
【分析】本题考查二元一次方程组与二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意列出方程与方程组、不等式组是解题的关键．
任务1：设场馆的每张门票价格为元，场馆的每张门票价格为元．根据购买1张场馆门票和2张场馆门票共需130元，购买2张场馆门票和3张场馆门票共需220元．列出方程组，求解即可．
任务2：设实际参观场馆有人，参观场馆有人．根据购买两种门票共花了费了750元，列出二元一次方程，解得，再根据参观B场馆的学生人数多于参观A场馆的同学人数得到不等式组，求得，再根据a、为正整数，求解即可．
【详解】解：任务1：设场馆的每张门票价格为元，场馆的每张门票价格为元．
由题意可得； 解得 ，
答：场馆的每张门票价格为50元，场馆的每张门票价格为40元．
任务2：设实际参观场馆有人，参观场馆有人．
由题意可得，
解得，
，
解得，
又，为正整数，
符合条件的解为，，
答：实际参观场馆和场馆分别有3人、15人或7人、10人．
【变式训练9-5】根据以下素材，探索完成任务：
快餐方案的确定
素材1 谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见表： 项目谷物牛奶鸡蛋蛋白质（g）3.015脂肪（g）32.43.65.2碳水化合物（g）50.84.51.4
素材2 阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材3 阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐主食肉类其他AB
问题解决
任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？
任务2 已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？
任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？
【答案】任务一：该份早餐中蛋白质总含量为；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而得到所求的量的等量关系和不等关系．
任务一：根据素材1得出谷物、牛奶和鸡蛋中各含蛋白质的百分数，再算出任务一中各食物中蛋白质的含量相加即可；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组解答即可；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意列方程组解答即可．
【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，有：
；
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组得：
，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意得：
，
解得：，
∴或，
当时，，
当时，．
答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天．
