专题突破七：一元一次不等式综合之定义新运算（20道）
【压轴题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”．
(1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值．
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
(3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围．
2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）；
(2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围．
3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
(1)填空：________；
(2)已知，求的取值范围；
(3)化简：．
4．对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围．
5．在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如．
(1)______．
(2)解不等式；
(3)求不等式的最大整数解．
6．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为
，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
7．定义：若有序数对满足二元一次方程（a、b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解．
(1)试任意写出一个二元一次方程的数对解________；
(2)有序数对为方程的一个数对解，求a的值；
(3)若有序数对，均为方程的数对解，且，试求的最小值．
8．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“”可理解为： ；我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
例如：
我们将作为一个整体，整理得：
再根据绝对值的几何意义：表示数在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为
仿照上述方法，解下列绝对值不等式：
①
②．
9．定义新概念：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式（组的解，则称该一元一次方程为该不等式（组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，方程为不等式组的关联方程．
(1)若不等式的一个关联方程的解是非零偶数，求此关联方程（求出一个即可）；
(2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
10．在实数范围内定义一种新运算：“”：当时，；当时，．例如：，．若，求的取值范围．
11．阅读以下材料完成下列各题
材料一：
解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
阅读材料一，解决问题．
（1）直接写出不等式的解集是_____；
（2）求不等式的解集．
材料二：
对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，．
阅读材料二，解决问题．
（3）求a、b的值；
（4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围；
综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题
（5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围．
12．对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围．
13．阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”．
请根据以上材料回答下面问题：
(1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；（填序号）
(2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围．
14．分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题：
(1)如果，求x的取值范围；
(2)如果，求x的取值范围．
15．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围．
16．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程．
(1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由；
(2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围；
(3)若方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围．
17．对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，．
(1)求m，n的值．
(2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围．
18．定义运算：．已知，．
(1)直接写出：________，________；
(2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围；
(3)若的解集为，求不等式：的解集．
19．【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：是Q：的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．
【新知应用】
(1)请写出不等式的一个子集 ；
(2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
(3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
(4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ；
(5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ．
20．定义运算；当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题：
(1)______，当时，______；
(2)若，求x的取值范围；专题突破七：一元一次不等式综合之定义新运算（20道）
【压轴题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”．
(1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值．
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
(3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解“活力方程”的定义是解题的关键．
（1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围；
（3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答．
【详解】（1）解关于x的方程，得，
解方程，得.
∵关于x的方程和方程是“活力方程”，
∴，
解得或．
（2）解：解关于x的不等式组得，
a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解
，，
，
．
（3）解：方程的解是，关于x的方程的解是，
∵方程是若关于x的方程的“领先方程”，
∴或，即或，
∵关于x的不等式组有解且均为非负解，
∴，且，
∴．
综上所述，．
解得，
∴，
解得．
2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）；
(2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键.
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
【详解】（1）①，
解得：，
②，
解得：，
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“子方程”是：①②，
故答案为：①②：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
解方程得，，
方程是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
∴；
（3）方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：.
3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
(1)填空：________；
(2)已知，求的取值范围；
(3)化简：．
【答案】(1)1
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了新定义运算“”、有理数混合运算、一元一次不等式（组）的应用、完全平方公式的应用等知识，理解新定义的运算法则是解本题的关键．
（1）结合，由新定义运算求解即可；
（2）分和两种情况，分别求解即可；
（3）首先确定，然后由新定义运算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
故答案为：1；
（2）当时，则有，
此时可有，
∴，
解得，
故的取值范围为；
当时，则有，
此时可有
∴，
解得，
故的取值范围为．
综上所述，的取值范围为或．
（3）∵，
∴，
∴．
4．对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，新定义运算，熟练掌握不等式的解法及运算法则是解本题的关键．根据新定义得出关于x的不等式组，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．
【详解】解：由题意得：．即，
∴，
∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解，8，9，
∴，
解得．
故t的取值范围是．
5．在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如．
(1)______．
(2)解不等式；
(3)求不等式的最大整数解．
【答案】(1)
(2)
(3)最大整数解是
【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．
（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；
（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：，
．
故答案为：．
（2）解：，，
则，
解得：．
（3）解：，，
则，
解得：，
所以最大的整数解为．
6．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为
，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
【答案】(1)的取值范围是
(2)的取值范围是
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可；
（2）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【详解】（1）解：解不等式组得：．
解方程得：，
∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2）解：解方程得，
解方程得，
∵方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以的取值范围是．
7．定义：若有序数对满足二元一次方程（a、b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解．
(1)试任意写出一个二元一次方程的数对解________；
(2)有序数对为方程的一个数对解，求a的值；
(3)若有序数对，均为方程的数对解，且，试求的最小值．
【答案】(1)（不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）当时，，解得，，则是二元一次方程的数对解；
（2）由有序数对为方程的一个数对解，可得，计算求解即可；
（3）由有序数对，均为方程的数对解，可得，可求，则，可求，由，可得，可求，则，，即，然后作答即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得，，
∴是二元一次方程的数对解，
故答案为：；
（2）解：∵有序数对为方程的一个数对解，
∴，
解得，，
∴a的值为；
（3）解：∵有序数对，均为方程的数对解，
∴，
解得，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，解二元一次方程组，不等式的性质，解一元一次不等式等知识．理解题意，熟练掌握二元一次方程的解，解一元一次方程，解二元一次方程组，不等式的性质，解一元一次不等式是解题的关键．
8．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“”可理解为： ；我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
例如：
我们将作为一个整体，整理得：
再根据绝对值的几何意义：表示数在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为
仿照上述方法，解下列绝对值不等式：
①
②．
【答案】（1）数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；（2）①或；②或
【分析】本题属于阅读理解题，绝对值的几何意义的应用，不等式的解法，理解绝对值的几何意义是解本题的关键；
（1）根据绝对值的几何意义可得答案；
（2）①先把不等式整理为，再结合绝对值的几何意义可得答案；②先把不等式整理为，再结合绝对值的几何意义可得答案
【详解】解：（1）“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
（2）①∵，
∴，
∴，即，
∴或；
②∵，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
解得：或
9．定义新概念：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式（组的解，则称该一元一次方程为该不等式（组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，方程为不等式组的关联方程．
(1)若不等式的一个关联方程的解是非零偶数，求此关联方程（求出一个即可）；
(2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】(1)（答案不唯一）；
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解答此题的关键．
（1）解不等式组得出其零偶数解，再写出以此解为解得一元一次方程即可得；
（2）解不等式组得出，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】（1）解：解不等式组得：，
因此不等式组的非零偶数解为，，
则该不等式的关联方程为（答案不唯一）．
（2）解：解不等式组，得：．
方程的解为，方程的解为，
，
的取值范围为．
10．在实数范围内定义一种新运算：“”：当时，；当时，．例如：，．若，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤求解即可．理解定义的新运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围为．
11．阅读以下材料完成下列各题
材料一：
解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
阅读材料一，解决问题．
（1）直接写出不等式的解集是_____；
（2）求不等式的解集．
材料二：
对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，．
阅读材料二，解决问题．
（3）求a、b的值；
（4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围；
综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题
（5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】（1）或； （2）；（3）；（4）；（5）或；
【分析】（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案；
（2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案；
（3）由新定义可得，再解方程组即可；
（4）由新定义可得，再结合不等式组只有一个整数解，可得，再进一步可得答案；
（5）由新定义可得，解得：，结合，即，再进一步可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴或，
解得：或，
∴一元二次不等式的解集是或；
（2）∵，
∴或，
解得：或无解，
∴一元二次不等式的解集是．
（3）∵，，，
∴，整理得：，
解得：，
（4）∵，而，
∴，
由①得：，
由②得：，
∵关于x的不等式组只有一个整数解，
∴整数解为3，
∴，
∴；
（5）∵，而，
∴，
整理得：，
解得：，
∵，即，
∴或，
解得：或；
【点睛】本题考查的是乘法与除法法则的灵活应用，不等式组的解法，二元一次方程组的解法，新定义的含义，理解新定义是解本题的关键．
12．对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，一元一次方程，一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握新定义的运算．
（1）根据新定义构建方程求解；
（2）根据新定义构建不等式求解．
【详解】（1）解：依题意，，
解得：；
（2）解：依题意，，
∴，
解得：．
13．阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”．
请根据以上材料回答下面问题：
(1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；（填序号）
(2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键；
（1）先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可；
（2）先解不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案．
【详解】（1）解：解方程①得：
∴，
∴，
解方程②得：
∴，而，
∵，
解不等式得：
∴，
解不等式得：
∴，
解得：
∴，
∵，都在范围内，不在范围内，
不等式组的“完全子方程”是①．
故答案为：①．
（2）∵，
解不等式，得．
解不等式，得．
不等式组的解集是．
解方程，得．
方程是不等式组的“完全子方程”，
，即，
解得；
且，即，
解得．
综上所述，的取值范围是．
14．分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题：
(1)如果，求x的取值范围；
(2)如果，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，运用转化思想是解决本题的关键．
（1）由，将转化为解即可；
（2）由，将其转化为或，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴时，，
解得：；
（2）解：由得：或，
解第一个不等式组得：，
解第二个不等式组得：该不等式组无解集，
∴当时，．
15．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了不等式组和一元一次方程相结合的问题：
（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案；
（2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可；
（3）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴方程①的解为；
∵，
∴，
∴方程②的解为；
∵，
∴，
∴方程③的解为；
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴方程①③的解是不等式组的解，
∴不等式组的【相伴方程】是①③；
故答案为：①③；
（2）解：不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，
∴是方程的解，
∴，
∴；
（3）解：解方程得，
解方程得；
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∵方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，
∴，
∴．
16．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程．
(1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由；
(2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围；
(3)若方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围．
【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程，理由见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握相伴方程的定义和分类讨论是解题的关键．
（1）求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义进行判断即可；
（2）解不等式组得到，解方程得到，根据关于x的方程是不等式组的相伴方程得到，解不等式组即可得到答案；
（3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程．
理由如下：
解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵，
∴方程是不等式组的相伴方程．
（2）解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵关于x的方程是不等式组的相伴方程，
∴，
解得：，
即a的取值范围是．
（3）解方程，得：，
解方程，得：，
∵方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，
∴分为两种情况：
①当时，解不等式得到：，此时不等式组的解集为：，不符合题意，舍去；
②当时，不等式为：，此时不等式组的解集为：，
∴根据题意，得： ，
解得：，
即k的取值范围为．
17．对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，．
(1)求m，n的值．
(2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，理解题中的新定义，并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
（1）根据题意列出方程组求解即可；
（2）利用题中的新定义化简已知不等式组，求出解集，根据关于a的不等式组恰好有2个整数解，确定b的范围即可．
【详解】（1）根据题意得： ，
解得；
（2）根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有2个整数解，即，1，
∴，
解得
即实数P的取值范围是．
18．定义运算：．已知，．
(1)直接写出：________，________；
(2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围；
(3)若的解集为，求不等式：的解集．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．
（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值；
（2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；
（3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故答案为：；；
（2）把，代入得，
∴不等式组可转化为，
解得：，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（3）不等式转化为，
整理，得：，
∵的解集为，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
不等式转化为，
整理，得：，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的解集为．
19．【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：是Q：的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．
【新知应用】
(1)请写出不等式的一个子集 ；
(2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
(3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
(4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ；
(5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)A
(3)
(4)120
(5)
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及新定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
（1）由题意根据“子集”的定义进行解答即可；
（2）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可；
（3）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（4）由题意根据“子集”的定义得到，．即可代入原式计算求出值；
（5）根据题题意解得．由m，n为正整数，求的最大值，则m最大为2，n最小为10，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵的任意一个解都是不等式的一个解，
∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）．
故答案为：．（答案不唯一）．
（2）解：解不等式组A得：；
解不等式组B得：；
解不等式组M得：．
∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解，
∴不等式组A是不等式组M：的“子集”．
故答案为：A．
（3）解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴关于x的不等式组的解集为．且．
∴．
故答案为：．
（4）解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数，
∴．
∴．
∵D是E的“子集”，D：，
∴．
∴．
∴．
故答案为：120．
（5）解：∵不等式组G：有解，
∴解集为：．
∵不等式组H：是不等式组G的“子集”，
∴．
解得：．
∵m，n为正整数，求的最大值，
∴m最大为2，n最小为10．
∴的最大值为．
故答案为：．
20．定义运算；当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题：
(1)______，当时，______；
(2)若，求x的取值范围；
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式：
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义可得，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴．
