专题突破五：一元一次不等式和方程组的结合（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．若关于x，y的方程组
(1)求方程组的解（用含的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足，，求的整数解；
【答案】(1)
(2)1，2，3，4，5，6
【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用；
（1）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可；
（2）由，，再建立不等式组解题即可；
【详解】（1）解：，
②①得：
∴
把代入①得：
∴解方程组为
（2）解：∵，
∴
解得：
∴的整数解是：1，2，3，4，5，6
2．若关于、的二元一次方程组，
(1)若、满足方程，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式组．
（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可，
（2）用含有的式子表示， 代入，得到关于的一元一次不等式组，解之即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
代入得：，
解得：，
故的值为；
（2）解：，
∴，
∴，
把，代入得：，
解得：，
故的取值范围为：．
3．已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求：
(1)m的取值范围；
(2)化简；
(3)在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数m的值为．
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．
（1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可；
（2）根据（1）的结果得到，，化简绝对值，计算即可求解；
（3）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：，
得，，
解得，，
将代入②得，，
解得，，
∴，
∵x为负数，y为非正数，
∴，
解③得，；
解④得，；
∴不等式组的解集为，
∴的取值范围为；
（2）解：∵，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，即，
∴的取值为．
∴整数m的值为．
4．已知关于，的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值．
【答案】(1)
(2)
(3)的整数值为或
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键．
（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解；
（2）利用加减消元法得出，结合题意得出，解不等式组即可得出答案；
（3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解．
【详解】（1）解：，
由得：，
∴，
∵该方程组的解满足，
∴，
∴；
（2）解：，
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
∵该方程组的解满足，均为正数，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（2）可得，
∴，
∴的整数值为或．
5．已知关于x，y的方程组 ．
(1)当x、y互为相反数时， ；
(2)已知，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键．
（1）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数列方程求解即可；
（2）将方程组的解代入，解不等式组即可；
（3）根据题意求出方程组的解即可得到答案．
【详解】（1）由得，
∵，互为相反数，
∴，则，
解得，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
解得，
即a的取值范围是；
（3）∵，a为整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或都满足题意．
6．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m得取值范围．
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，根据不等式的解集求参数：
（1）先利用加减消元法求出方程组的解为，进而得到，解不等式组即可得到答案；
（2）先把原不等式变形为，根据解集为得到，进而求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵x为非正数，y为负数，
∴，，
∴，
解得，
∴m的取值范围是．
（2）解：将不等式整理，得，
∵其解集为，
∴，
解得
∴．
结合m取整数，可得，
即当时，不等式的解集为．
7．已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组得出的值，再结合方程组的解是为非负数，为正数，得出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）由（1）可得，结合绝对值的性质化简即可得出答案．
【详解】（1）解：
①②，得，即，
把代入②，得，
由题意得，
解得．
（2）解：，
，．
．
8．已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【答案】(1)
(2)、0
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；
（2）结合（1），由为整数，可得的值．
【详解】（1），
①②得：，
，
，
，
解得；
（2）关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
9．已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为；
(3)若，求p的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)p的最大值是5，最小值是
【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围；
（2） 解不等式 ，再根据即可求解；
（3）分，，三种情况进行分类讨论；
【详解】（1）解原方程组得：，
因为 为非正数， 不大于 0 ，
所以可得：，
解得： ；
（2）解不等式 得： ，
因为 ，
所以 ，
解得: ，
所以 ，
所以整数 的值为 或 ；
（3）因为 ，
当 时，，
因为 ，
所以当 时， 有最大值是 5 ；
当 时， 有最小值是 ，
当 时，，
综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是；
【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解)
10．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)求此方程组的解（用含a的代数式表示）；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法进行求解即可；
（2）将代入不等式可得，解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：，
①②得：，
∴，
①③得：，
②③得：，
∴方程组的解为；
（2）∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键．
11．已知关于、的方程组（实数是常数）．
(1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值；
(2)若，满足，试化简：；
(3)若方程①满足，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解；
（2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解；
（3）根据（2）的结论，得出不等式组，解不等式组得出，然后计算，即可求解．
【详解】（1）解：联立
解得：
代入得，
解得：；
（2）解：
得，
解得：
将代入①得
∴
∵
∴
解得：，
∴
∴
（3）由（2）可得
∵，，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键．
12．已知关于和的二元一次方程组
(1)当时，求该方程组的解；
(2)若该方程组的解满足，求的值；
(3)设，若，试求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）方程组利用加减消元法解答即可；
（2）原方程组中的两个方程相加，得，结合已知可得关于k的方程，求解即可；
（3）解原方程组求得，代入w的式子可得，代入已知的不等式组可得，结合已知条件可得关于w的不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：当时，方程组即为，
，得，解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为；
（2）原方程组中的两个方程相加，得，
∵，
∴，
解得：；
（3）解方程组，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组和不等式组的解法是解题的关键
13．若关于x，y的二元一次方程组．
(1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可，
（2）用含有的式子表示， ，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
代入得：，
解得：，
故的值为，
（2）把，代入得：，
解得：，
故的取值范围为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式．
14．已知关于x，y的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求m的值；
(2)若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值．
【答案】(1)2023
(2)
(3)
【分析】（1）方程组中的两方程相加并整理可得，结合已知可得关于m的方程，解方程即可求出答案；
（2）先解方程组求出方程组的解，进而可得关于m的不等式组，再解不等式组即可求出答案；
（3）先解已知中的不等式得出m的一个范围，结合（2）的结果可得m总的范围，根据m为整数即可得到答案．
【详解】（1）解：方程组中的两方程相加得：，即,
∵，
∴，
∴；
（2）解方程组，得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）不等式，
移项得：，
∵不等式的解为，
∴，解得：，
又∵，
∴m的取值范围为，
∴整数m的值为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
15．已知关于，的方程组其中为任意有理数．
(1)试说明：代数式的值不会随着的值的变化而变化：
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法可知即可解答；
（2）由（1）可知，进而可得，最后解不等式即可解答．
【详解】（1）证明：
得，，
即，
∴代数式的值不会随着的值的变化而变化：
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的取值范围是，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，一元一次不等式组的解法，掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
16．已知关于 x、y 的二元一次方程组．
(1)当时，解这个方程组；
(2)若，设，求S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时，方程组为 ，采用加减消元法即可求解；
（2）利用得，，即：，再根据，可得 ，问题随之得解．
【详解】（1） 时，方程组为 ，
得，，
得，， 解得：，
将 代入②得，，
解得，
即方程组的解是；
（2），
得，，
即：，
∵，
∴ ，
即 ，
∴S 的取值范围是：．
【点睛】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
17．已知关于 的二元一次方程 和 ．
(1)如果 是方程 的一个解，求 的值；
(2)当 时，求两方程的公共解；
(3)若 是已知两方程的公共解，当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 代入方程 ，即可求解；
（2）把 代入两方程，得 解二元一次方程组即可求解；
（3）把 代入两方程，得 得出，根据题意得出解得 ，由 ，得 ，即可求解．
【详解】（1）把 代入方程 ，
得 ，
解得
（2）把 代入两方程，
得
解得
（3）把 代入两方程，
得
解得
，
，
解得 ，
由 得 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
18．已知关于的二元一次方程组（为常数）．
(1)若该方程组的解满足，求的取值范围；
(2)若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程组的结构，利用得，代入不等式，解不等式即可求解；
（2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，根据整除，求得的值，进而求得方程组的解．
【详解】（1）解：，
得，
∵该方程组的解满足，
∴，
解得；
（2）
得：
解得
将代入①得：
∵方程组的解均为正整数，且，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键．
19．关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求m的取值范围．
【答案】0＜m＜
【分析】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．
【详解】解：，
①+②得：3x+3y＝3+2m，即x+y＝，
①﹣②，得：x﹣y＝2m﹣1，
∵，
∴，
解得：0＜m＜．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意得出关于m的不等式组是解题的关键．
20．已知关于，的方程组．
(1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；
(2)若原方程组的解，满足，
①求的取值范围；
②求不等式组的解集．
【答案】(1)m=2
(2)①m＜；②若m≤-2，则不等式组无解，
若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．
【分析】（1）解方程组得出a=3m+2、b=m+1，代入方程2a-3b=7，解之可得；
（2）将a、b代入a+2b＜12得出m的范围，再解不等式组，根据解集分类讨论可得．
【详解】（1）解方程组得，
根据题意知2（3m+2）-3（m+1）=7，
解得：m=2；
（2）由题意知3m+2+2（m+1）＜12，
解得：m＜，
②解不等式x-m＜0，得：x＜m，
解不等式4x+3＞2x-1，得：x＞-2，
若m≤-2，则不等式组无解，
若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据题意得出关于m的方程或不等式是解答此题的关键．专题突破五：一元一次不等式和方程组的结合（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．若关于x，y的方程组
(1)求方程组的解（用含的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足，，求的整数解；
2．若关于、的二元一次方程组，
(1)若、满足方程，求的值；
(2)若，求的取值范围．
3．已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求：
(1)m的取值范围；
(2)化简；
(3)在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值．
4．已知关于，的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值．
5．已知关于x，y的方程组 ．
(1)当x、y互为相反数时， ；
(2)已知，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值．
6．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m得取值范围．
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
7．已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
8．已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
9．已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为；
(3)若，求p的最大值与最小值．
10．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)求此方程组的解（用含a的代数式表示）；
(2)若，求a的取值范围．
11．已知关于、的方程组（实数是常数）．
(1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值；
(2)若，满足，试化简：；
(3)若方程①满足，，求的取值范围．
12．已知关于和的二元一次方程组
(1)当时，求该方程组的解；
(2)若该方程组的解满足，求的值；
(3)设，若，试求的取值范围．
13．若关于x，y的二元一次方程组．
(1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值；
(2)若，求a的取值范围．
14．已知关于x，y的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求m的值；
(2)若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值．
15．已知关于，的方程组其中为任意有理数．
(1)试说明：代数式的值不会随着的值的变化而变化：
(2)若，求的取值范围．
16．已知关于 x、y 的二元一次方程组．
(1)当时，解这个方程组；
(2)若，设，求S的取值范围．
17．已知关于 的二元一次方程 和 ．
(1)如果 是方程 的一个解，求 的值；
(2)当 时，求两方程的公共解；
(3)若 是已知两方程的公共解，当 时，求 的取值范围．
18．已知关于的二元一次方程组（为常数）．
(1)若该方程组的解满足，求的取值范围；
(2)若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解．
19．关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，求m的取值范围．
20．已知关于，的方程组．
(1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；
(2)若原方程组的解，满足，
①求的取值范围；
②求不等式组的解集．
