3.1&3.2不等式及其基本性质六大题型（一课一讲）
题型一：不等式的定义
【经典例题1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个，
故选：B．
【变式训练1-1】在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤；
∴共有4个．
故选：C．
【变式训练1-2】式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式，
∴共个不等式．
故选：．
【变式训练1-3】在中，不等式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的定义．熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
根据不等式的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是不等式，故符合要求；
是等式，是整式，故不符合要求；
故选：C．
【变式训练1-4】下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：C
【变式训练1-5】下列式子中，是不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号连接的式子都叫做不等式．根据不等式的定义对各式子进行解答即可．
【详解】解：①，不含有不等号，不是不等式，不符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是不等式，符合题意；
④，是不等式，符合题意；
⑤，是不等式，符合题意；
⑥不含有不等号，不是不等式，不符合题意．
故选：C．
题型二：不等式的解集
【经典例题2】下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
【答案】D
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式，
可得．
A.由于，故不是不等式的解，故选项错误；
B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确；
故选D．
【变式训练2-1】下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答．
【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确；
②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确；
③不等式的解集为，正确．
故选C.
【变式训练2-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式训练2-3】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-4】在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
【答案】 ，0，1，3 ，，，0，1
【解析】略
【变式训练2-5】试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）是不等式的一个解；
（2），，0都是不等式的解；
（3）不等式的正整数解只有1，2，3；
（4）不等式的非正整数解只有，，0；
（5）不等式的解中不含0．
【答案】（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） （3）（答案不唯一） （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一）
【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以；
（2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以；
（3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以；
（4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以；
（5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以．
【详解】（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（2）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（3）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（4）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（5）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念．
题型三：列不等式
【经典例题3】针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ．
【答案】
【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为．
【详解】解：根据“水温不高于”可以写为．
故答案为：．
【变式训练3-1】根据下列数量关系列不等式：
(1)x的7倍减去1是正数．
(2)y的与的和不大于0．
(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．
(4)y的20%不小于1与y的和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可；
（2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可；
（3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可；
（4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：由题意得：；
（4）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查列不等式，准确理解“大于，小于，不大于，不小于”这些词语是关键．
【变式训练3-2】用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为．
(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据等量关系直接列出等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查列不等式和等式，准确找到等量关系和不等量关系是关键．
【变式训练3-3】根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（3）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（4）根据不等量关系，直接列出不等式即可．
【详解】（1）解 ：；
（2）解 ：；
（3）解 ：；
（4）解：．
【点睛】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
【变式训练3-4】某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由．
【答案】第二种规格的面积较大，见解析
【分析】本题考查了列代数式，分别表示出两种卡片的面积，进而比较大小，即可求解．
【详解】第一种规格的面积：
第二种规格的面积：
因为，所以第二种规格的面积较大．
题型四：不等式的基本性质
【经典例题4】如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答．
【详解】解：
A、因为，当，时，那么，故A错误；
B、因为，即，左右两边同时减去2，得到，故B正确；
C、因为，即，左右两边同时乘以，得到，故C错误；
D、因为，即，左右两边同时乘以2，得到，故D错误；
故选：B．
【变式训练4-1】若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．
根据不等式的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项符合题意；
D、∵，∴，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练4-2】下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可．
【详解】解：A．当时，，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意；
B．若，则，故本选项不符合题意；
C．若，当时，，故本选项不符合题意；
D．若，则，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式训练4-3】下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故此选项符合题意；
B．∵，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
D．∵，
当时，
∴，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式训练4-4】若，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意；
B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意；
C、若，则，故原选项错误，不符合题意；
D、∵，∴，∵，∴，故原选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练4-5】根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断，可得答案．
【详解】：A．根据不等式的两边同乘，不等号的方向改变，由，得，故此选项错误；
B．根据不等式的两边同除，不等号的方向改变，由，得，故此选项正确；
C．根据不等式的两边同除，不等号的方向改变，由，得，故此选项错误；
D．根据不等式的两边同除，不等号的方向改变，由，得，故此选项错误；
故选：B．
【变式训练4-6】下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由，得或，故错误，不符合题意；
B、由，得，故错误，不符合题意；
C、由，得，故正确，符合题意；
D、由，得，故错误，不符合题意；
故选：C．
题型五：不等式与二元一次方程组综合
【经典例题5】已知：和是关于x、y的二元一次方程的两组解．
(1)求k、b的值；
(2)当时，求y的范围．
【答案】(1)的值为2，的值为
(2)
【分析】题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，不等式的性质，熟练知识点是解题的关键．
（1）将已知两组解代入二元一次方程中得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值；
（2）由与的值确定出二元一次方程，根据不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：和是关于、的二元一次方程的两组解，
，
解得：，
即的值为2，的值为；
（2）解：由（1）得：该二元一次方程为，
当时，，
∴
∴．
【变式训练5-1】已知方程组中的m满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及不等式的性质,利用加减消元法解出x，y的值， 然后再求出， 最后由结合不等式的性质即可得出答案．
【详解】解：
由式得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：，
∴，
∵
∴，
∴的取值范围为：．
【变式训练5-2】已知．当时，；当时，．
(1)求出的值；
(2)当时，求代数式y的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据已知条件，可列出关于未知数、的方程组，解方程组即可求得其值．
（2）本题考查了不等式的性质，熟悉不等式性质是解决问题的关键．根据第一问的结果，可得到，求当时，的范围，注意不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，不等式两边同加一个数，不等号方向不变，即可解决问题．
【详解】（1）解： 当时，；当时，．
、满足方程组，
解方程组得：．
所以，．
（2）解：根据第一问结果，，，
，
当时，，
，
．
【变式训练5-3】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．
(1)求a的取值范围．
(2)化简：．
(3)关于k的不等式的解集为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由可得，，从而得到关于a的不等式，即可求解；
（2）根据题意可得，，然后根据绝对值的性质化简，再合并，即可求解；
（3）根据题意可得，再由不等式的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由，得：，
整理，得，
即，
∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，，
∴
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的加减混合运算，绝对值的性质，不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式训练5-4】已知，当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8．
（1）求a、b的值．
（2）若，当x=m时，y=n，且m＜-4，试比较n与p的大小，请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别把当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8，代入中，然后解二元一次方程组即可得到答案；
（2）先分别求出，，然后求出，利用即可求解．
【详解】解：（1）∵已知，当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∵当x=m时，y=n，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，不等式的性质，整式的减法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式训练5-5】已知实数而满足，，若．
（1）用含的代数表示，．
（2）求的取值范围，
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）对方程组进行求解即可求得含m的表示x和y的代数式；
（2）根据（1）中结果得到=，再根据m的范围，结合不等式的性质得到结果．
【详解】解：（1）∵，
∴①-②得：，
解得：，代入②中，
解得：；
（2）==，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和不等式的性质，解决本题的关键是求出方程组的解集．
题型六：阅读理解题型
【经典例题6】【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)若，，，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)a为任意实数
【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算.
（1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论．
（2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：，
．
（2），
，
，
，
解得．
所以a为任意实数．
【变式训练6-1】【阅读】
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，．
材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法：
解：，．
，y均为非负数，，即，．
，，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的性质等知识．理解题意，熟练掌握二元一次方程组的应用，不等式的性质是解题的关键．
（1）由题意得，，计算求解即可；
（2）由，可得，由，即，可求，则，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：，
．
，y均为非负数，
，即，
．
，
，
，
．
【变式训练6-2】先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．
（1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【详解】（1）由题意得②错误，
根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断；
故答案为：②；
（2）因为，
所以，
故．
【变式训练6-3】阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．结合以上材料解决下面的问题：
(1)分解因式；
(2)求代数式的最小值；
(3)当a、b为何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，时，有最小值为
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式因式分解的应用，以及非负数的性质，不等式性质；
（1）将多项式加4再减4，利用配方法和平方差公式，即可解题；
（2）根据（1）的步骤，结合与不等式性质求解，即可解题；
（3）解法与（2）类似，将多项式配方后可得结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
当时，代数式的最小值为；
（3）解：
．
，，
，
当，时，
即，时，有最小值为．
【变式训练6-4】在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值，
例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法：
解：．
∵，∴当时，的值最小，最小值是0，
∴．∴当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______；
(2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长；
(3)已知，求的最小值．
【答案】(1)，小，
(2)
(3)19
【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式，不等式的性质是解题的关键．
（1）根据完全平方公式求解作答即可；
（2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可；
（3）由，判断作答即可．
【详解】（1）解：．
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴．
∴当时，的值最小，最小值是，
∴当时，y有最小值是，
故答案为：，小，
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，代数式的最大值是，
∴，
此时该三角形的周长是
（3）∵
∴，
∴
当时，的最小值为19
【变式训练6-5】先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式的最小值．
解：，
的最小值是1
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值____________；
(2)若代数式有最小值是6，求k的值____________；
(3)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值；
(4)已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)2；
(2)；
(3)有最大值，最大值为12；
(4)，理由见解析
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，不等式的性质．掌握完全平方式恒大于等于0是解题的关键．
（1）仿照例题，将代数式化为完全平方式求解即可；
（2）仿照例题，将代数式化为完全平方式，再根据最小值，得到，求出的值即可
（3））仿照例题，将代数式化为完全平方式，再结合不等式的性质求解即可；
（4）将两个代数式作差，再结合完全平方式求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
的最小值是2；
（2）解：，
，
，
有最小值是6，
，
，
（3）解：，
，
，
，
有最大值，最大值为12；
（4）解：，理由如下：
，
，，
，
，
．3.1&3.2不等式及其基本性质六大题型（一课一讲）
题型一：不等式的定义
【经典例题1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练1-1】在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-2】式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-3】在中，不等式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-4】下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-5】下列式子中，是不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二：不等式的解集
【经典例题2】下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
【变式训练2-1】下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【变式训练2-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【变式训练2-3】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ．
【变式训练2-4】在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
【变式训练2-5】试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）是不等式的一个解；
（2），，0都是不等式的解；
（3）不等式的正整数解只有1，2，3；
（4）不等式的非正整数解只有，，0；
（5）不等式的解中不含0．
题型三：列不等式
【经典例题3】针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ．
【变式训练3-1】根据下列数量关系列不等式：
(1)x的7倍减去1是正数．
(2)y的与的和不大于0．
(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．
(4)y的20%不小于1与y的和．
【变式训练3-2】用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为．
(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．
【变式训练3-3】根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
【变式训练3-4】某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由．
题型四：不等式的基本性质
【经典例题4】如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式训练4-3】下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练4-4】若，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-5】根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【变式训练4-6】下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
题型五：不等式与二元一次方程组综合
【经典例题5】已知：和是关于x、y的二元一次方程的两组解．
(1)求k、b的值；
(2)当时，求y的范围．
【变式训练5-1】已知方程组中的m满足，求的取值范围．
【变式训练5-2】已知．当时，；当时，．
(1)求出的值；
(2)当时，求代数式y的取值范围．
【变式训练5-3】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．
(1)求a的取值范围．
(2)化简：．
(3)关于k的不等式的解集为______．
【变式训练5-4】已知，当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8．
（1）求a、b的值．
（2）若，当x=m时，y=n，且m＜-4，试比较n与p的大小，请说明理由．
【变式训练5-5】已知实数而满足，，若．
（1）用含的代数表示，．
（2）求的取值范围，
题型六：阅读理解题型
【经典例题6】【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)若，，，求a的取值范围．
【变式训练6-1】【阅读】
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，．
材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法：
解：，．
，y均为非负数，，即，．
，，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围．
【变式训练6-2】先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
【变式训练6-3】阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．结合以上材料解决下面的问题：
(1)分解因式；
(2)求代数式的最小值；
(3)当a、b为何值时，有最小值？最小值是多少？
【变式训练6-4】在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值，
例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法：
解：．
∵，∴当时，的值最小，最小值是0，
∴．∴当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______；
(2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长；
(3)已知，求的最小值．
【变式训练6-5】先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式的最小值．
解：，
的最小值是1
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值____________；
(2)若代数式有最小值是6，求k的值____________；
(3)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值；
(4)已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由．
