浙教版（2024）数学七年级上册《第6章 图形的初步知识》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七上·郫都期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①经过一点可以作无数条直线，①正确；
②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，②正确；
③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，③错误；
④由两点之间线段最短可得，④正确；
所以共有3个正确．
故答案为：C．
【分析】本题考查直线、射线、线段.根据经过一点可以作无数条直线，据此可判断①；根据射线的表示方法可判断②；根据过3点的直线的条数可判断③；根据两点之间线段最短可判断④．
2．（华师大版数学七年级上册第4章4.6.1角 同步练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
【答案】B
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】∵∠1与∠AOB表示同一个角，∴选项A正确． ∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角， ∴∠AOC不能用∠O来表示，∴选项B错误． ∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，∴选项C正确．∵∠β表示的是∠BOC，∴选项D正确．故选：B．
【分析】根据角的表示方法判断即可．只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能用∠O来表示，据此判断即可．根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可．根据角的表示方法判断即可．
3．（2024七上·盘州期末）已知线段，延长至点，使，点，分别为线段，的中点，则的长度为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．1cm或5cm
【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】①当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=6，BC=4， 点，分别为线段，的中点，
∴MB=AB=3，BN=BC=2，
∴MN=MB+BN=3+2=5；
②当点C在线段AB上时，
∵AB=6，BC=4， 点，分别为线段，的中点，
∴MB=AB=3，BN=BC=2，
∴MN=MB-BN=3-2=1；
综上，MN的长度为1cm或5cm，
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当点C在线段AB的延长线上时，②当点C在线段AB上时，再利用线段中点的性质及线段的和差求解即可.
4．（2024七上·遵义期末）已知线段，点C为线段AB的中点，点D为线段AC上的三等分点，则线段BD的长的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】∵点C为线段AB的中点，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
∵点D是线段AC上的三等分点，
∴CD=AC=4或CD=AC=8，
①当CD=AC=4时，如图所示：
∴BD=BC+CD=12+4=16；
②当CD=AC=8时，如图所示：
∴BD=BC+CD=12+8=20，
综上，线段BD的长的最大值为20，
故答案为：D.
【分析】先利用线段中点的性质及线段的和差求出CD=AC=4或CD=AC=8，再分类画出图形并利用线段的和差求出BD的长即可.
5．（2021七上·雁塔月考）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离
②射线有两个端点
③若AB＝2CB，则点C是AB的中点
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；线段上的两点间的距离；角的大小比较；线段的中点
【解析】【解答】①连接两点之间的线段的长度叫两点间的距，故说法错误；
②射线只有一个端点，故说法错误；
③C不一定为AB中点，故说法错误；
④根据度分秒的换算，∠A=20°18'=20°1080"，∠B=20°28"，∠C=20.25°=20°900"，得∠A>∠C>∠B，故说法正确．
故答案为：A
【分析】根据两点距离的定义、射线的定义，度分秒的换算解决问题.
6．（2020七上·宽城期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）
A．∠BOA＞∠DOC B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180° D．∠BOC≠∠DOA
【答案】C
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：A.∠BOA与∠DOC的大小不确定，故此结论不成立；
B.∠BOA ∠DOC的值不固定，故此结论不成立；
C.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOC＋∠DOC＋∠DOC＋∠DOA＝180°，
即∠DOC＋∠BOA＝180°，故此结论成立；
D.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOD ∠COD＝∠AOC ∠DOC，
即∠BOC＝∠DOA，故此结论不成立；
故答案为：C．
【分析】根据角的和差关系以及余角和补角的定义、结合图形计算即可。
7．（2020七上·霍林郭勒期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝36°，则∠DOE等于（ ）
A．73° B．90° C．107° D．108°
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=36°，
∴∠COE=144°，∠BOD=36°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOB= ∠COB=72°，
∴∠EOD=72°+36°=108°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得∠BOE的度数，再利用对顶角的性质可得∠DOB=∠1，最后利用∠DOB+∠BOE即可。
8．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是（ ）
A．56° B．60° C．62° D．65°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意得：∠AED=∠ADD′，
∵∠CED′=56°，
∴∠DED′=180°﹣56°=124°，
∴∠AED=∠DED′=×124°=62°，
故选C．
【分析】根据折叠的性质，可得出∠AED=∠ADD′，再由已知∠CED′=56°，可得出∠AED的度数．
9．（2024七上·福田期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成：的两部分，射线叫做的三等分线若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，
∵ 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，
∴∠POQ=2x，
∴∠PON=∠POM=（x+2x）=，
∴∠MON=∠POM+∠PON=；
如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图，
射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图， 射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，
∴，
，
∴；
综上所述∠MON的度数为 或或
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，并分别画出图形： 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，用含x的代数式表示出∠POQ，∠PON，根据∠MON=∠POM+∠PON，代入可得到∠MON的度数；如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；即可求解.
10．（2024七上·罗湖期末）如图，，平分，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 平分，，
，
，
，
平分，
，
.
故答案为：D．
【分析】根据平分线的性质得到，由余角性质得，再根据平分，得到，由，代数求解即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七上·梅州期末）如图，O是直线上的点，是的平分线，若，则 ．
【答案】54
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=∠BOC，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC+∠BOC=180°，
∴ ∠BOC=108°，
∵ OD是∠COB的平分线，
∴ ∠BOD=∠BOC=54°.
故答案为：54.
【分析】先求出∠BOC，再根据角平分线的定义，即可求得∠BOD.
12．（2020七上·和平期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是 （度）．
【答案】40
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：40．
【分析】这个角为x，则余角为（90°-x），补角为（180°-x），根据题意可列方程求解即可。
13．（2021七上·西城期末）线段，C为线段AB的中点，点D在直线AB上，若，则CD＝ ．
【答案】6或12
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图1所示，当D在AB延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=6，
∴，
∴，
∴，
如图2所示，当D在BA延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=6，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6或12．
【分析】分类讨论，结合图形，利用线段的中点计算求解即可。
14．（2020七上·市南期末）一副三角板按如图方式摆放，且 的度数比 的度数小 ，则 的度数为 .
【答案】30
【知识点】角的运算
【解析】【解答】由图可知，∠1＋∠2＝180 90 ＝90 ，
所以，∠2＝90 ∠1，
由题意得，（90 ∠1）-∠1＝30 ，
解得∠1＝30 ．
故答案为：30 ．
【分析】根据图形用∠1表示出∠2，然后根据 的度数比 的度数小 列出方程求解即可．
15．（2024七上·德阳期末）如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：
①∠DOE＝90°；
②∠COE与∠AOE互补；
③若OC平分∠BOD，别∠AOE＝150°；
④∠BOE的余角可表示为．
其中正确的是 ．（只填序号）
【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝90°，故①结论正确；
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE+∠COE＝180°，
即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确；
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠COD＝90°﹣∠AOD，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOD，
解得：∠AOD＝60°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确；
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD，
∴∠BOE＝90°﹣∠COD，
∵∠BOE的余角为：90°﹣∠BOE，
∴∠BOE的余角为：∠COD，
∵∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，
∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），
即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确，
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义知：∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），由∠AOC+∠BOC＝180°，求得∠DOE＝90°，故①结论正确；根据补角的定义得
∠AOE+∠COE＝180°，即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确；∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确；根据余角的定义知∠BOE的余角为∠COD，∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确，综上所述，正确的有①②③④．
16．（2021七上·金牛期末）如图所示：已知 ， ，现有 点和 点分别从 ， 两点出发相向运动， 点速度为 ， 点速度为 ，当 到达 点后掉头向 点运动， 点在向 的运动过程中经过 点时，速度变为 ， ， 两点中有一点到达 点时，全部停止运动，那么经过 后 的距离为 ．
【答案】0.9或1.1或 或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，
①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：
由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：
由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到达A所用时间为5÷3= s，
当Q从A返回还未到B时，如图3所示：
由题意得： ，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；
④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：
此时Q从B-A-B用时为： s，
由题意得： ，
解得： s；
⑤当Q超过P时，如图5所示：
由题意得： ，
解得： s，
综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或 或 ，
故答案为：0.9或1.1或 或 ．
【分析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，分5种情况讨论，即①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，③Q到达A所用时间为5÷3= s，④当Q从A返回运动并超过B点时，⑤当Q超过P时，分别根据行程问题列一元一次方程求解即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·长沙期末）如图，线段，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点.
（1）求线段AD的长；
（2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长.
【答案】（1）解：线段，C是线段AB的中点，
，
是线段BC的中点，，
（2）解：，，，
分两种情况：
①当点E在点C左边时，，
②当点E在点C右边时，
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由中点的性质可得，进而可得，再利用线段的和差计算即可；
（2）由，可得CE=2，然后分两种情况讨论：①当点E在点C左边时，利用线段的和差计算即可；当点E在点C右边时 ，利用线段的和差计算即可.
18．（2024七上·安顺期末）如图，已知点在线段的延长线上，点，分别是，的中点．
（1）若，，则线段 ； ．（直接写出结果）
（2）若，，其他条件不变，求线段的长．（用含的式子表示）
【答案】（1）20；15
（2）解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵
∴，
∴
则.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）∵点，分别是，的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∵，，
∴AC=40，NC=5，
∴MC=20，MN=15，
故答案为：20；15.
【分析】（1）利用线段中点的性质求出MC=AC，NC=BC，再将数据代入求出MC=20，MN=15即可；
（2）利用线段中点的性质求出MC=AC，NC=BC，再求出，利用线段的和差求出最后求出即可.
19．（2024七上·仙居期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形）按如图1摆放，点在同一条直线上，分别平分和．
图1 图2
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）解：因为E、A、B在同一条直线上，
所以∠BAE＝180°.
因为∠BAC＝45°，∠DAE＝30°，
所以∠DAC=180°－∠BAC－∠DAE=105°
（2）解：因为∠BAE＝180°，AM平分∠BAE ，
所以∠MAE==90°
因为∠DAC=105°， AN平分∠CAD，
所以∠NAD==52.5°
所以∠MAN=∠MAE－∠DAE－∠NAD=7.5°
（3）解：∠MAN的度数在转动过程中不会变化
设∠NAD=x°，
因为AN平分∠CAD，
则∠CAD=2x°，
∠BAE ＝∠EAD+∠DAC+∠CAB
＝30°+2x°+45°=(75+2x)°，
又因为AM平分∠EAB，
所以∠MAE==(37.5+x)°，
所以∠MAN=∠MAE－∠DAE－∠NAD=7.5°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意，利用平角定义，计算求解即可；
（2）根据题意，利用角平分线的定义，∠MAE=，∠NAD=，由∠MAN=∠MAE－∠DAE－∠NAD，计算求解即可；
（3）根据题意，设，利用角平分的性质得∠CAD=2x°，用已知角表示出所求角，即可得到答案．
20．（2024七上·简阳期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，．
（1）当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点．
①当点C与点D重合时，探究AB与MN的数量关系，并说明理由．
②当时，直接写出MN的长度（用m，n表示）．
【答案】（1）-6；2
（2）解：①∵点M是AC的中点，点N是CB的中点，
，，
如图，当点C在线段AB上时：
，
如图，当点C在线段BA的延长线上时：
，
如图，当点C在线段AB的延长线上时：
，
综上所述，；
②或．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，即，
∵点B在数轴上位于原点右侧，
∴点B表示的数为：，
∴，
∵点A在数轴上位于原点左侧，
∴点A表示的数为∶，
故答案为：；
（2）②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴分情况讨论：
当在上时，点D在上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当在上时，点D在延长线上时，
设：，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在上时，点D在延长线上时，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
综上所述：或．
【分析】（1）先根据线段和差关系计算OA和OB的长，再利用数轴求解即可；
（2）①分两情况讨论：点C在线段AB上或点C在线段BA的延长线上，分别列式即可证明出；
②分9种情况讨论：点C在线段AB上，依据点D在的位置有3种；点C在线段AB的延长线上，依据点D的位置有3种；点C在线段BA的延长线上，依据点D的位置有3种；并列式分别计算即可得到本题答案．
21．（2024七上·南浔期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针方向旋转60°至图2的位置，求∠MOC的度数；
（2）如图3，将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转α度（0<α<360°）．
①若经过t秒后线段ON在∠AOC的内部，且∠AOM＝3∠NOC，求t的值；
②在三角板转动时，射线OC同时绕点O以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，当三角板停止转动时，射线OC也停止转动．经过t秒直线ON恰好平分∠AOC，请直接写出满足条件的t的值．
【答案】（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∴设∠AOC＝x，∠BOC＝2x．
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，∴x＝60°，
∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°．
∵三角板绕点O逆时针方向旋转60°即∠BOM＝60°，
∴∠MOC＝∠BOC－∠BOM＝120°－60°＝60°．
（2）解：①∵直角三角板绕点直角顶点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转t秒，
∴∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，
∴10t－180＝3（10t－210）．∴秒．
②t＝5秒，t＝20秒，t＝35秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2) ② 情况一：由（1）得，如图所示，
延长，当直线恰好平分锐角，
∴，
∴，
解得：秒；
情况二：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
情况三：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
∴三角板绕点O的运动时间为5秒或20秒或35秒．
【分析】（1）根据互补和∠AOC：∠BOC＝1：2，先求出的度数，由旋转的度数求出的度数即可；
（2）①根据∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，结合，列出等式求解即可.
②分三种情况进行讨论，情况一：ON的反向延长线平分∠AOC；情况二：ON在AB线上平分∠AOC；情况三：ON在AB线上平分∠AOC，即可.
22．（2024七上·成华期末）已知，射线在的内部，．将射线绕点逆时针旋转形成射线．
（1）如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？
（2）作射线，使射线为的平分线．
①如图2，当射线恰好平分时，求的度数；
②如图3，设，试探究与之间有何数量关系？说明理由．
【答案】（1）解：和的度数相等．
理由如下：
即和的度数相等
（2）解：①射线恰好平分
射线恰好平分
即的度数是
②数量关系是．
理由如下：
射线平分
即
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）可分别求得∠BOD和∠AOC都等于30°，即可得出和的度数相等；
（2）①首先根据角平分线的定义得出∠3=∠1+∠2=2∠1.进而得出∠COD=3∠1=60°，即可得出∠1=20°，从而得出∠3=2∠1=40°，从而得出∠BOD=120°-∠3-∠1-∠2=40°；②首先求得∠EOC=∠2=30°-，再求得∠BOD=∠4=60°-α。进而得出 。
23．（2024七上·越城期末） 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
24．（2024七上·邛崃期末）
（1）如图1，已知点M，N是线段CD上两点，且，点E和点F分别是线段CN和线段DM的中点．若线段，分别求线段，，的长；
（2）已知OM，ON是从的顶点发出的两条射线，且，射线OE和射线OF分别平分，．
①如图2，若OM，ON均为内的两条射线，且，求的度数；
②如图3，若OM为外的一条射线，且，则 ▲ ．
【答案】（1）解：，，∴，，
∴，，
∵点和点分别是线段和线段的中点
∴，，
∴；
（2）①，，，
，，
，，
射线OE和射线OF分别平分，，
，，
，
②或
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）
（2）①∵，，，
∴，，
∴，，
∵射线和射线分别平分，，
∴，，
∴；
②由①知，，
∵平分，
∴，则，
当在内部时，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，则；
当在外部时，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，则；
故答案为：或．
【分析】（1）先求出CM和DN的长，再根据中点的定义求出CE和DF的长，最后根据EF=CD-CE-DF计算即可；
（2）①先求出∠COM和∠DON的度数，根据∠CON=∠COD-∠COM，∠CON=∠COD-∠DON进行计算，再根据角平分线的定义求∠COE和∠DOF的度数，最后根据即可得出答案；
②结合①，根据角平分线定义求∠COF的度数，分两种情况：当OE在∠COF内部时，当OE在∠COF外部时，根据图象分别计算即可．
1 / 1浙教版（2024）数学七年级上册《第6章 图形的初步知识》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七上·郫都期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（华师大版数学七年级上册第4章4.6.1角 同步练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
3．（2024七上·盘州期末）已知线段，延长至点，使，点，分别为线段，的中点，则的长度为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．1cm或5cm
4．（2024七上·遵义期末）已知线段，点C为线段AB的中点，点D为线段AC上的三等分点，则线段BD的长的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．15 D．20
5．（2021七上·雁塔月考）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离
②射线有两个端点
③若AB＝2CB，则点C是AB的中点
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020七上·宽城期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）
A．∠BOA＞∠DOC B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180° D．∠BOC≠∠DOA
7．（2020七上·霍林郭勒期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝36°，则∠DOE等于（ ）
A．73° B．90° C．107° D．108°
8．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是（ ）
A．56° B．60° C．62° D．65°
9．（2024七上·福田期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成：的两部分，射线叫做的三等分线若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
10．（2024七上·罗湖期末）如图，，平分，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七上·梅州期末）如图，O是直线上的点，是的平分线，若，则 ．
12．（2020七上·和平期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是 （度）．
13．（2021七上·西城期末）线段，C为线段AB的中点，点D在直线AB上，若，则CD＝ ．
14．（2020七上·市南期末）一副三角板按如图方式摆放，且 的度数比 的度数小 ，则 的度数为 .
15．（2024七上·德阳期末）如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：
①∠DOE＝90°；
②∠COE与∠AOE互补；
③若OC平分∠BOD，别∠AOE＝150°；
④∠BOE的余角可表示为．
其中正确的是 ．（只填序号）
16．（2021七上·金牛期末）如图所示：已知 ， ，现有 点和 点分别从 ， 两点出发相向运动， 点速度为 ， 点速度为 ，当 到达 点后掉头向 点运动， 点在向 的运动过程中经过 点时，速度变为 ， ， 两点中有一点到达 点时，全部停止运动，那么经过 后 的距离为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·长沙期末）如图，线段，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点.
（1）求线段AD的长；
（2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长.
18．（2024七上·安顺期末）如图，已知点在线段的延长线上，点，分别是，的中点．
（1）若，，则线段 ； ．（直接写出结果）
（2）若，，其他条件不变，求线段的长．（用含的式子表示）
19．（2024七上·仙居期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形）按如图1摆放，点在同一条直线上，分别平分和．
图1 图2
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由．
20．（2024七上·简阳期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，．
（1）当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段BD的中点．
①当点C与点D重合时，探究AB与MN的数量关系，并说明理由．
②当时，直接写出MN的长度（用m，n表示）．
21．（2024七上·南浔期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针方向旋转60°至图2的位置，求∠MOC的度数；
（2）如图3，将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转α度（0<α<360°）．
①若经过t秒后线段ON在∠AOC的内部，且∠AOM＝3∠NOC，求t的值；
②在三角板转动时，射线OC同时绕点O以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，当三角板停止转动时，射线OC也停止转动．经过t秒直线ON恰好平分∠AOC，请直接写出满足条件的t的值．
22．（2024七上·成华期末）已知，射线在的内部，．将射线绕点逆时针旋转形成射线．
（1）如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？
（2）作射线，使射线为的平分线．
①如图2，当射线恰好平分时，求的度数；
②如图3，设，试探究与之间有何数量关系？说明理由．
23．（2024七上·越城期末） 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
24．（2024七上·邛崃期末）
（1）如图1，已知点M，N是线段CD上两点，且，点E和点F分别是线段CN和线段DM的中点．若线段，分别求线段，，的长；
（2）已知OM，ON是从的顶点发出的两条射线，且，射线OE和射线OF分别平分，．
①如图2，若OM，ON均为内的两条射线，且，求的度数；
②如图3，若OM为外的一条射线，且，则 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①经过一点可以作无数条直线，①正确；
②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，②正确；
③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，③错误；
④由两点之间线段最短可得，④正确；
所以共有3个正确．
故答案为：C．
【分析】本题考查直线、射线、线段.根据经过一点可以作无数条直线，据此可判断①；根据射线的表示方法可判断②；根据过3点的直线的条数可判断③；根据两点之间线段最短可判断④．
2．【答案】B
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】∵∠1与∠AOB表示同一个角，∴选项A正确． ∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角， ∴∠AOC不能用∠O来表示，∴选项B错误． ∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，∴选项C正确．∵∠β表示的是∠BOC，∴选项D正确．故选：B．
【分析】根据角的表示方法判断即可．只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能用∠O来表示，据此判断即可．根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可．根据角的表示方法判断即可．
3．【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】①当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=6，BC=4， 点，分别为线段，的中点，
∴MB=AB=3，BN=BC=2，
∴MN=MB+BN=3+2=5；
②当点C在线段AB上时，
∵AB=6，BC=4， 点，分别为线段，的中点，
∴MB=AB=3，BN=BC=2，
∴MN=MB-BN=3-2=1；
综上，MN的长度为1cm或5cm，
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当点C在线段AB的延长线上时，②当点C在线段AB上时，再利用线段中点的性质及线段的和差求解即可.
4．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】∵点C为线段AB的中点，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
∵点D是线段AC上的三等分点，
∴CD=AC=4或CD=AC=8，
①当CD=AC=4时，如图所示：
∴BD=BC+CD=12+4=16；
②当CD=AC=8时，如图所示：
∴BD=BC+CD=12+8=20，
综上，线段BD的长的最大值为20，
故答案为：D.
【分析】先利用线段中点的性质及线段的和差求出CD=AC=4或CD=AC=8，再分类画出图形并利用线段的和差求出BD的长即可.
5．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；线段上的两点间的距离；角的大小比较；线段的中点
【解析】【解答】①连接两点之间的线段的长度叫两点间的距，故说法错误；
②射线只有一个端点，故说法错误；
③C不一定为AB中点，故说法错误；
④根据度分秒的换算，∠A=20°18'=20°1080"，∠B=20°28"，∠C=20.25°=20°900"，得∠A>∠C>∠B，故说法正确．
故答案为：A
【分析】根据两点距离的定义、射线的定义，度分秒的换算解决问题.
6．【答案】C
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：A.∠BOA与∠DOC的大小不确定，故此结论不成立；
B.∠BOA ∠DOC的值不固定，故此结论不成立；
C.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOC＋∠DOC＋∠DOC＋∠DOA＝180°，
即∠DOC＋∠BOA＝180°，故此结论成立；
D.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOD ∠COD＝∠AOC ∠DOC，
即∠BOC＝∠DOA，故此结论不成立；
故答案为：C．
【分析】根据角的和差关系以及余角和补角的定义、结合图形计算即可。
7．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=36°，
∴∠COE=144°，∠BOD=36°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOB= ∠COB=72°，
∴∠EOD=72°+36°=108°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得∠BOE的度数，再利用对顶角的性质可得∠DOB=∠1，最后利用∠DOB+∠BOE即可。
8．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意得：∠AED=∠ADD′，
∵∠CED′=56°，
∴∠DED′=180°﹣56°=124°，
∴∠AED=∠DED′=×124°=62°，
故选C．
【分析】根据折叠的性质，可得出∠AED=∠ADD′，再由已知∠CED′=56°，可得出∠AED的度数．
9．【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，
∵ 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，
∴∠POQ=2x，
∴∠PON=∠POM=（x+2x）=，
∴∠MON=∠POM+∠PON=；
如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图，
射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，
∴，
，
∴；
如图， 射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，
∴，
，
∴；
综上所述∠MON的度数为 或或
故答案为：C.
【分析】分情况讨论，并分别画出图形： 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线， 射线是（∠QOP=2∠MOQ）的三等分线，∠MOQ=x，用含x的代数式表示出∠POQ，∠PON，根据∠MON=∠POM+∠PON，代入可得到∠MON的度数；如图， 射线是（∠MOP=2∠NOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOP）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；射线是（∠NOP=2∠MOP）的三等分线，射线是（∠MOQ=2∠QOM）的三等分线，用含x的代数式表示出∠QOP，∠NOP，据此可得到∠MON；即可求解.
10．【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 平分，，
，
，
，
平分，
，
.
故答案为：D．
【分析】根据平分线的性质得到，由余角性质得，再根据平分，得到，由，代数求解即可．
11．【答案】54
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=∠BOC，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC+∠BOC=180°，
∴ ∠BOC=108°，
∵ OD是∠COB的平分线，
∴ ∠BOD=∠BOC=54°.
故答案为：54.
【分析】先求出∠BOC，再根据角平分线的定义，即可求得∠BOD.
12．【答案】40
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：40．
【分析】这个角为x，则余角为（90°-x），补角为（180°-x），根据题意可列方程求解即可。
13．【答案】6或12
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图1所示，当D在AB延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=6，
∴，
∴，
∴，
如图2所示，当D在BA延长线上时，
∵C是AB的中点，AB=6，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6或12．
【分析】分类讨论，结合图形，利用线段的中点计算求解即可。
14．【答案】30
【知识点】角的运算
【解析】【解答】由图可知，∠1＋∠2＝180 90 ＝90 ，
所以，∠2＝90 ∠1，
由题意得，（90 ∠1）-∠1＝30 ，
解得∠1＝30 ．
故答案为：30 ．
【分析】根据图形用∠1表示出∠2，然后根据 的度数比 的度数小 列出方程求解即可．
15．【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝90°，故①结论正确；
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE+∠COE＝180°，
即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确；
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠COD＝90°﹣∠AOD，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOD，
解得：∠AOD＝60°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确；
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD，
∴∠BOE＝90°﹣∠COD，
∵∠BOE的余角为：90°﹣∠BOE，
∴∠BOE的余角为：∠COD，
∵∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，
∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），
即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确，
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义知：∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），由∠AOC+∠BOC＝180°，求得∠DOE＝90°，故①结论正确；根据补角的定义得
∠AOE+∠COE＝180°，即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确；∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确；根据余角的定义知∠BOE的余角为∠COD，∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确，综上所述，正确的有①②③④．
16．【答案】0.9或1.1或 或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，
①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：
由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：
由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到达A所用时间为5÷3= s，
当Q从A返回还未到B时，如图3所示：
由题意得： ，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；
④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：
此时Q从B-A-B用时为： s，
由题意得： ，
解得： s；
⑤当Q超过P时，如图5所示：
由题意得： ，
解得： s，
综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或 或 ，
故答案为：0.9或1.1或 或 ．
【分析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，分5种情况讨论，即①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，③Q到达A所用时间为5÷3= s，④当Q从A返回运动并超过B点时，⑤当Q超过P时，分别根据行程问题列一元一次方程求解即可.
17．【答案】（1）解：线段，C是线段AB的中点，
，
是线段BC的中点，，
（2）解：，，，
分两种情况：
①当点E在点C左边时，，
②当点E在点C右边时，
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由中点的性质可得，进而可得，再利用线段的和差计算即可；
（2）由，可得CE=2，然后分两种情况讨论：①当点E在点C左边时，利用线段的和差计算即可；当点E在点C右边时 ，利用线段的和差计算即可.
18．【答案】（1）20；15
（2）解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵
∴，
∴
则.
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）∵点，分别是，的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∵，，
∴AC=40，NC=5，
∴MC=20，MN=15，
故答案为：20；15.
【分析】（1）利用线段中点的性质求出MC=AC，NC=BC，再将数据代入求出MC=20，MN=15即可；
（2）利用线段中点的性质求出MC=AC，NC=BC，再求出，利用线段的和差求出最后求出即可.
19．【答案】（1）解：因为E、A、B在同一条直线上，
所以∠BAE＝180°.
因为∠BAC＝45°，∠DAE＝30°，
所以∠DAC=180°－∠BAC－∠DAE=105°
（2）解：因为∠BAE＝180°，AM平分∠BAE ，
所以∠MAE==90°
因为∠DAC=105°， AN平分∠CAD，
所以∠NAD==52.5°
所以∠MAN=∠MAE－∠DAE－∠NAD=7.5°
（3）解：∠MAN的度数在转动过程中不会变化
设∠NAD=x°，
因为AN平分∠CAD，
则∠CAD=2x°，
∠BAE ＝∠EAD+∠DAC+∠CAB
＝30°+2x°+45°=(75+2x)°，
又因为AM平分∠EAB，
所以∠MAE==(37.5+x)°，
所以∠MAN=∠MAE－∠DAE－∠NAD=7.5°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意，利用平角定义，计算求解即可；
（2）根据题意，利用角平分线的定义，∠MAE=，∠NAD=，由∠MAN=∠MAE－∠DAE－∠NAD，计算求解即可；
（3）根据题意，设，利用角平分的性质得∠CAD=2x°，用已知角表示出所求角，即可得到答案．
20．【答案】（1）-6；2
（2）解：①∵点M是AC的中点，点N是CB的中点，
，，
如图，当点C在线段AB上时：
，
如图，当点C在线段BA的延长线上时：
，
如图，当点C在线段AB的延长线上时：
，
综上所述，；
②或．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，即，
∵点B在数轴上位于原点右侧，
∴点B表示的数为：，
∴，
∵点A在数轴上位于原点左侧，
∴点A表示的数为∶，
故答案为：；
（2）②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴分情况讨论：
当在上时，点D在上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当在上时，点D在延长线上时，
设：，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在上时，点D在延长线上时，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在上时，
同理得：；
当在延长线上时，点D在延长线上时，
同理得：；
综上所述：或．
【分析】（1）先根据线段和差关系计算OA和OB的长，再利用数轴求解即可；
（2）①分两情况讨论：点C在线段AB上或点C在线段BA的延长线上，分别列式即可证明出；
②分9种情况讨论：点C在线段AB上，依据点D在的位置有3种；点C在线段AB的延长线上，依据点D的位置有3种；点C在线段BA的延长线上，依据点D的位置有3种；并列式分别计算即可得到本题答案．
21．【答案】（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∴设∠AOC＝x，∠BOC＝2x．
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，∴x＝60°，
∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°．
∵三角板绕点O逆时针方向旋转60°即∠BOM＝60°，
∴∠MOC＝∠BOC－∠BOM＝120°－60°＝60°．
（2）解：①∵直角三角板绕点直角顶点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转t秒，
∴∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，
∴10t－180＝3（10t－210）．∴秒．
②t＝5秒，t＝20秒，t＝35秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2) ② 情况一：由（1）得，如图所示，
延长，当直线恰好平分锐角，
∴，
∴，
解得：秒；
情况二：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
情况三：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
∴三角板绕点O的运动时间为5秒或20秒或35秒．
【分析】（1）根据互补和∠AOC：∠BOC＝1：2，先求出的度数，由旋转的度数求出的度数即可；
（2）①根据∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，结合，列出等式求解即可.
②分三种情况进行讨论，情况一：ON的反向延长线平分∠AOC；情况二：ON在AB线上平分∠AOC；情况三：ON在AB线上平分∠AOC，即可.
22．【答案】（1）解：和的度数相等．
理由如下：
即和的度数相等
（2）解：①射线恰好平分
射线恰好平分
即的度数是
②数量关系是．
理由如下：
射线平分
即
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）可分别求得∠BOD和∠AOC都等于30°，即可得出和的度数相等；
（2）①首先根据角平分线的定义得出∠3=∠1+∠2=2∠1.进而得出∠COD=3∠1=60°，即可得出∠1=20°，从而得出∠3=2∠1=40°，从而得出∠BOD=120°-∠3-∠1-∠2=40°；②首先求得∠EOC=∠2=30°-，再求得∠BOD=∠4=60°-α。进而得出 。
23．【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
24．【答案】（1）解：，，∴，，
∴，，
∵点和点分别是线段和线段的中点
∴，，
∴；
（2）①，，，
，，
，，
射线OE和射线OF分别平分，，
，，
，
②或
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）
（2）①∵，，，
∴，，
∴，，
∵射线和射线分别平分，，
∴，，
∴；
②由①知，，
∵平分，
∴，则，
当在内部时，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，则；
当在外部时，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，则；
故答案为：或．
【分析】（1）先求出CM和DN的长，再根据中点的定义求出CE和DF的长，最后根据EF=CD-CE-DF计算即可；
（2）①先求出∠COM和∠DON的度数，根据∠CON=∠COD-∠COM，∠CON=∠COD-∠DON进行计算，再根据角平分线的定义求∠COE和∠DOF的度数，最后根据即可得出答案；
②结合①，根据角平分线定义求∠COF的度数，分两种情况：当OE在∠COF内部时，当OE在∠COF外部时，根据图象分别计算即可．
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