【提升版】浙教版数学九上3.7 正多边形 同步练习
一、选择题
1．（2024·德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA=OB=AB，
设AB=x，则OA=OB=x，
∴S正六边形=6S△AOB=，
∴6×·x·x=，
解得：x=2或x=-2＜0（舍去），
即正六边形的边长为2.
故答案为：C.
【分析】根据正六边形、等边三角形的性质和二次根式的乘除的计算法则计算即可求解.
2．（2024·遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n-2)×180°=1080°，
解得n=8，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，由多边形的内角和公式(n-2)×180°并结合该多边形的内角和为1080°列出方程，求解得出n的值，进而根据正多边形的每一个外角度数都相等且外角和为360°可算出每一个外角的度数.
3．（2024·宣恩模拟）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；正多边形的性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】连接OA，延长QC交x轴于点B，如图所示：
∵点O是正六边形的中心，点A、P是正六边形的顶点，
∴△AOP是正三角形，
∵点P的坐标为（0，-2），
∴OP=2，
∴OA=AP=OP=QC=2，
∴OD=OA=，
∴OB=2OD=，
同理可得，BC=CQ=AP=2，
∴QB=2QC=4，
∵点Q在第二象限，
∴点Q的坐标为（，4），
故答案为：B.
【分析】连接OA，延长QC交x轴于点B，先证出△AOP是正三角形，再求出OA=AP=OP=QC=2，OB=2OD=，再求出QB=2QC=4，可得点Q的坐标为（，4），从而得解.
4．（2024·深圳模拟）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则的度数为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点O为正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据正多边形的性质得到，，进而得到，再根据角的运算得到，从而化简即可求解.
5．（2023八下·双流期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
，
太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，，
，
.
故答案为：C.
【分析】多边形的外角和是，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补。
6．（2024九下·邯郸模拟）如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若MN=a，则表示实数a的点落在数轴上（如图）标有四段中的（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【知识点】无理数的估值；平行线的判定；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，如图所示：
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和点O的三角形都是等边三角形，
∴BE=4，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴∠EDC=120°，∠ECD=∠CED30°，
∴∠ECB=90°，
由勾股定理得，
∵∠EFO=∠AOF=60°，
∴BA∥EF，
∵∠EFO=∠BCO=60°，
∴CB∥EF，
∴EF∥DA∥CB，
∵EB=2OB，
∴EM=2NM，
∵CE＜ME＜BE，即，
∴．
∵
∴1.73
故答案为： C
【分析】连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，先根据正多边形的性质结合题意进行角的运算得到∠BCE=120°-30°=90°，进而根据勾股定理即可求出CE，再根据平行线的判定证明AB∥EF，BC∥EF，进而根据平行公理及其推论得到EF∥AD∥BC，从而根据平行线分线段比例结合题意即可求解。
7．（2024九下·余杭月考）如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形.在正八边形内作两条对角线，交于点.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接AA2，设AC=a，如图所示：
∵四边形AA1A2C为正方形，
∴∠A1A2A=45°，∠A1A2C=90°，A1A2=AA1=a，
∴∠AA2B=∠A1A2A+∠A1A2C=135°，
∵正八边形的每一个内角均等135°，每一条边都相等，均等于a，
根据正八边形的性质得：A4A5//A3A6，A4A8为该正八边形的一条对称轴，
∴∠A4A3B=180°-135°=45°，∠A3A4B=×135°=67.5°，
∴∠A3BA4-180°-∠A4A3B-∠A3A4B=180°-45°-67.5°=67.5°.
∴∠A3A4B=∠A3BA4-67.5°，
∴∠A3B=A3A4=A2A3=a，∠A2A3B=135°-∠A4A3B=135°-45°=90°，
在Rt△A2A3B中，A2A3=A3B=a，
由勾股定理得：A2B=，
在Rt△AA1A2中，A1A2=AA1=a，
由勾股定理得：AA2=
∴A2B=AA2，
∴∠ABC=∠A2AB=(180°-∠AA2B)=(180°-135°)=22.5°.
故答案为：A.
【分析】连接AA2，设AC=a，根据正方形的性质得∠A1A2A=45°，∠A1A2C=90°，A1A2=AA1=a，则∠AA2B=∠A1A2A+∠A1A2C=135°，再根据正八边形的每一个内角均等135°，每一条边都相等，均等于a，且A4A5//A3A6，A4A8为正八边形的1条对称轴，得∠A4A3B=45°，∠A3A4B=67.5°，进而得∠A3BA4=67.5°，则A3B=A3A4=A2A3=a，∠A2A3B=90°，再利用勾股定理证A2B=AA2，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数.
8．（2022九上·温州期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；正多边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图2所示，过菱形的顶点B作BE⊥AD于E；如图3所示，设正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，
设正八边形的边长为a，则AB＝AD＝MN＝a，
∴∠ABC＝180°-360°÷8＝135°，∠MON＝360°÷8＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE＝180°-ABC＝45°，
∴BE＝AB＝a，
∴S菱形ABCD＝AD·BE＝a2，
∴空白部分面积的面积=4×a2，＝a2，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝PM，
设OP＝PM＝b，则OM＝ON＝b，
∴PN＝（-1）b，
在Rt△MPN中，PM2+PN2＝MN2，
∴b2+（-1）2b2＝a2，
整理得：b2＝a2，
∴S△OMN＝ON·PM＝×b·b＝b2=a2，
∴正八边形的面积为：8×a2＝2（ 1+）a2，
∴阴影部分的面积为：2（ 1+）a2-a2，＝2a2，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为＝=．
故答案为：B．
【分析】如图2所示，过菱形的顶点B作BE⊥AD于E；如图3所示，设正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，根据正多边形的性质求得多边形的内角和中心角，设正八边形的边长为a，利用直角三角形的性质、菱形的性质、勾股定理及三角形的面积公式，用a表示出空白部分面积和正八边形的面积，进而得到阴影部分的面积，再把阴影部分的面积比上空白部分的面积，化简即可求解.
二、填空题
9．（2022八下·成安期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ ．
【答案】32°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5-2）×180°＝108°，
则∠3＝360°-60°-90°-108°-∠1-∠2＝32°．
故答案是：32°．
【分析】先分别求出等边三角形、正方形、正五边形的内角的度数，结合三角形内角和定理进行计算即可.
10．（2024·广元） 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解析】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，
，
是正五边形ABCDE的外角，
，
，
故答案为：18°.
【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．
11．（2024九下·邯郸模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、、、，如图所示：
∵正六边形是的内接正六边形，
，
∵点是的中点，
，
，
．
故答案为：
【分析】连接、、、，先根据圆内接正多边形的性质得到，根据弧的中点定义可证，得进可求出∠QOC的度数，再根据圆周角定理即可求解。
12．（2024·濠江模拟）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；正多边形的性质
【解析】【解答】解：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转， 完成第6次旋转时，点M落在原图中点B的位置，过点B作BH⊥x轴，则∠BCH=60°，∠CBH=30°，
在Rt△BCH中，BC=1，∠CBH=30°，
∴CH=BC=，BH=CH=，
∴FH=CF-CH=2-=，
∴B（，），
∴第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是（，）.
故答案为：（，）.
【分析】将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转， 完成第6次旋转时，点M落在原图中点B的位置，求出图中点B的坐标即得第6次点M在图中直角坐标系中的坐标.
三、解答题
13．（2023八上·新余月考）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为．求这个多边形的边数和内角和度数．
【答案】解：设每一个外角为，则每一个内角为，
根据题意，得，解得．
∴，．
答：这个多边形的内角和为，它的边数为8．
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】 设每一个外角为，则每一个内角为， 利用内角与外角的关系列出关于x的一元一次方程，解方程可得一个内角的度数，进而求得正多边形的边数，从而求解.
14．如图所示，在正五边形ABCDE中，F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于点.
（1）求证：.
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG
（2）解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC=108°，
∵△ABF≌△BCG，
∴∠BAF=∠CBG，
∵∠AHG=∠ABH+∠BAF=∠ABH+∠CBG=∠ABC，
∴∠AHG=∠ABC=108°.
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正五边形的性质可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，利用线段中点的定义可证得BF=CG，利用SAS可证得结论.
（2）利用正五边形的性质可求出∠ABC的度数，利用全等三角形的性质可证得∠BAF=∠CBG，利用三角形的外角的性质可推出∠AHG=∠ABC，据此可求出∠AHG的度数.
四、综合题
15．（2022八上·浦城期中）
（1）正十二边形每一个内角是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于，它是几边形？
【答案】（1）解：正十二边形的每个外角的度数是：，
则正十二边形每一个内角的度数是：
（2）解：设多边形的边数是n，则
，
解得.
所以它是十二边形.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互补即可求解；
（2）根据多边形内角和公式（n-2）·180°，列出方程并解之即可.
16．（2022七下·泰州期中）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°．
（1）求∠FAD的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
【答案】（1）解：由于六边形的内角和为，六边形的内角都相等，
每个内角的度数为，
，
；
（2）解：四边形的内角和为，，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据内角和公式以及正多边形的性质可得正六边形每个内角的度数为120°，然后根据∠FAD=∠FAB-∠1进行计算；
（2）根据四边形内角和为360°可得∠EDA=60°，则∠1=∠EDA，然后根据平行线的判定定理进行证明.
1 / 1【提升版】浙教版数学九上3.7 正多边形 同步练习
一、选择题
1．（2024·德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为( )
A．1 B． C．2 D．4
2．（2024·遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A． B． C． D．
3．（2024·宣恩模拟）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·深圳模拟）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则的度数为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
5．（2023八下·双流期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·邯郸模拟）如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若MN=a，则表示实数a的点落在数轴上（如图）标有四段中的（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
7．（2024九下·余杭月考）如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形.在正八边形内作两条对角线，交于点.则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·温州期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022八下·成安期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ ．
10．（2024·广元） 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
11．（2024九下·邯郸模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 ．
12．（2024·濠江模拟）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是 ．
三、解答题
13．（2023八上·新余月考）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为．求这个多边形的边数和内角和度数．
14．如图所示，在正五边形ABCDE中，F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于点.
（1）求证：.
（2）求的度数.
四、综合题
15．（2022八上·浦城期中）
（1）正十二边形每一个内角是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于，它是几边形？
16．（2022七下·泰州期中）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°．
（1）求∠FAD的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA=OB=AB，
设AB=x，则OA=OB=x，
∴S正六边形=6S△AOB=，
∴6×·x·x=，
解得：x=2或x=-2＜0（舍去），
即正六边形的边长为2.
故答案为：C.
【分析】根据正六边形、等边三角形的性质和二次根式的乘除的计算法则计算即可求解.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n-2)×180°=1080°，
解得n=8，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，由多边形的内角和公式(n-2)×180°并结合该多边形的内角和为1080°列出方程，求解得出n的值，进而根据正多边形的每一个外角度数都相等且外角和为360°可算出每一个外角的度数.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；正多边形的性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】连接OA，延长QC交x轴于点B，如图所示：
∵点O是正六边形的中心，点A、P是正六边形的顶点，
∴△AOP是正三角形，
∵点P的坐标为（0，-2），
∴OP=2，
∴OA=AP=OP=QC=2，
∴OD=OA=，
∴OB=2OD=，
同理可得，BC=CQ=AP=2，
∴QB=2QC=4，
∵点Q在第二象限，
∴点Q的坐标为（，4），
故答案为：B.
【分析】连接OA，延长QC交x轴于点B，先证出△AOP是正三角形，再求出OA=AP=OP=QC=2，OB=2OD=，再求出QB=2QC=4，可得点Q的坐标为（，4），从而得解.
4．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点O为正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据正多边形的性质得到，，进而得到，再根据角的运算得到，从而化简即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
，
太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，，
，
.
故答案为：C.
【分析】多边形的外角和是，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补。
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值；平行线的判定；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，如图所示：
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和点O的三角形都是等边三角形，
∴BE=4，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴∠EDC=120°，∠ECD=∠CED30°，
∴∠ECB=90°，
由勾股定理得，
∵∠EFO=∠AOF=60°，
∴BA∥EF，
∵∠EFO=∠BCO=60°，
∴CB∥EF，
∴EF∥DA∥CB，
∵EB=2OB，
∴EM=2NM，
∵CE＜ME＜BE，即，
∴．
∵
∴1.73故答案为： C
【分析】连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，先根据正多边形的性质结合题意进行角的运算得到∠BCE=120°-30°=90°，进而根据勾股定理即可求出CE，再根据平行线的判定证明AB∥EF，BC∥EF，进而根据平行公理及其推论得到EF∥AD∥BC，从而根据平行线分线段比例结合题意即可求解。
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接AA2，设AC=a，如图所示：
∵四边形AA1A2C为正方形，
∴∠A1A2A=45°，∠A1A2C=90°，A1A2=AA1=a，
∴∠AA2B=∠A1A2A+∠A1A2C=135°，
∵正八边形的每一个内角均等135°，每一条边都相等，均等于a，
根据正八边形的性质得：A4A5//A3A6，A4A8为该正八边形的一条对称轴，
∴∠A4A3B=180°-135°=45°，∠A3A4B=×135°=67.5°，
∴∠A3BA4-180°-∠A4A3B-∠A3A4B=180°-45°-67.5°=67.5°.
∴∠A3A4B=∠A3BA4-67.5°，
∴∠A3B=A3A4=A2A3=a，∠A2A3B=135°-∠A4A3B=135°-45°=90°，
在Rt△A2A3B中，A2A3=A3B=a，
由勾股定理得：A2B=，
在Rt△AA1A2中，A1A2=AA1=a，
由勾股定理得：AA2=
∴A2B=AA2，
∴∠ABC=∠A2AB=(180°-∠AA2B)=(180°-135°)=22.5°.
故答案为：A.
【分析】连接AA2，设AC=a，根据正方形的性质得∠A1A2A=45°，∠A1A2C=90°，A1A2=AA1=a，则∠AA2B=∠A1A2A+∠A1A2C=135°，再根据正八边形的每一个内角均等135°，每一条边都相等，均等于a，且A4A5//A3A6，A4A8为正八边形的1条对称轴，得∠A4A3B=45°，∠A3A4B=67.5°，进而得∠A3BA4=67.5°，则A3B=A3A4=A2A3=a，∠A2A3B=90°，再利用勾股定理证A2B=AA2，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；正多边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图2所示，过菱形的顶点B作BE⊥AD于E；如图3所示，设正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，
设正八边形的边长为a，则AB＝AD＝MN＝a，
∴∠ABC＝180°-360°÷8＝135°，∠MON＝360°÷8＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE＝180°-ABC＝45°，
∴BE＝AB＝a，
∴S菱形ABCD＝AD·BE＝a2，
∴空白部分面积的面积=4×a2，＝a2，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝PM，
设OP＝PM＝b，则OM＝ON＝b，
∴PN＝（-1）b，
在Rt△MPN中，PM2+PN2＝MN2，
∴b2+（-1）2b2＝a2，
整理得：b2＝a2，
∴S△OMN＝ON·PM＝×b·b＝b2=a2，
∴正八边形的面积为：8×a2＝2（ 1+）a2，
∴阴影部分的面积为：2（ 1+）a2-a2，＝2a2，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为＝=．
故答案为：B．
【分析】如图2所示，过菱形的顶点B作BE⊥AD于E；如图3所示，设正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，根据正多边形的性质求得多边形的内角和中心角，设正八边形的边长为a，利用直角三角形的性质、菱形的性质、勾股定理及三角形的面积公式，用a表示出空白部分面积和正八边形的面积，进而得到阴影部分的面积，再把阴影部分的面积比上空白部分的面积，化简即可求解.
9．【答案】32°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5-2）×180°＝108°，
则∠3＝360°-60°-90°-108°-∠1-∠2＝32°．
故答案是：32°．
【分析】先分别求出等边三角形、正方形、正五边形的内角的度数，结合三角形内角和定理进行计算即可.
10．【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解析】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，
，
是正五边形ABCDE的外角，
，
，
故答案为：18°.
【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．
11．【答案】45°
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、、、，如图所示：
∵正六边形是的内接正六边形，
，
∵点是的中点，
，
，
．
故答案为：
【分析】连接、、、，先根据圆内接正多边形的性质得到，根据弧的中点定义可证，得进可求出∠QOC的度数，再根据圆周角定理即可求解。
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；正多边形的性质
【解析】【解答】解：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转， 完成第6次旋转时，点M落在原图中点B的位置，过点B作BH⊥x轴，则∠BCH=60°，∠CBH=30°，
在Rt△BCH中，BC=1，∠CBH=30°，
∴CH=BC=，BH=CH=，
∴FH=CF-CH=2-=，
∴B（，），
∴第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是（，）.
故答案为：（，）.
【分析】将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转， 完成第6次旋转时，点M落在原图中点B的位置，求出图中点B的坐标即得第6次点M在图中直角坐标系中的坐标.
13．【答案】解：设每一个外角为，则每一个内角为，
根据题意，得，解得．
∴，．
答：这个多边形的内角和为，它的边数为8．
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】 设每一个外角为，则每一个内角为， 利用内角与外角的关系列出关于x的一元一次方程，解方程可得一个内角的度数，进而求得正多边形的边数，从而求解.
14．【答案】（1）证明：五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG
（2）解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC=108°，
∵△ABF≌△BCG，
∴∠BAF=∠CBG，
∵∠AHG=∠ABH+∠BAF=∠ABH+∠CBG=∠ABC，
∴∠AHG=∠ABC=108°.
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正五边形的性质可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，利用线段中点的定义可证得BF=CG，利用SAS可证得结论.
（2）利用正五边形的性质可求出∠ABC的度数，利用全等三角形的性质可证得∠BAF=∠CBG，利用三角形的外角的性质可推出∠AHG=∠ABC，据此可求出∠AHG的度数.
15．【答案】（1）解：正十二边形的每个外角的度数是：，
则正十二边形每一个内角的度数是：
（2）解：设多边形的边数是n，则
，
解得.
所以它是十二边形.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互补即可求解；
（2）根据多边形内角和公式（n-2）·180°，列出方程并解之即可.
16．【答案】（1）解：由于六边形的内角和为，六边形的内角都相等，
每个内角的度数为，
，
；
（2）解：四边形的内角和为，，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据内角和公式以及正多边形的性质可得正六边形每个内角的度数为120°，然后根据∠FAD=∠FAB-∠1进行计算；
（2）根据四边形内角和为360°可得∠EDA=60°，则∠1=∠EDA，然后根据平行线的判定定理进行证明.
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