【培优版】浙教版数学九上3.7 正多边形 同步练习
一、选择题
1．（2022·山西模拟）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为 =30°，
∵OA=1，
∴AC= OA= ，
∴S△OAB= ×1× = ，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12× =3，
故答案为：B．
【分析】过A作AC⊥OB于C，根据正十二边形的性质求出圆心角为 =30°，再利用含30°角的性质求出AC= OA= ，再求出△OAB的面积，最后乘以12即可得到答案。
2．（2024·仪陇模拟）如图，正五边形内接于，点F为劣弧上的一点，则的度数为（ ）
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于，
∴∠CDE==108°，
∵四边形CDEF是内接四边形，
∴∠EFC+∠CDE=180°，
∴∠EFC=180°-∠CDE=180°-108°=72°，
故答案为：D.
【分析】先利用正多边形的性质及角的运算求出∠CDE==108°，再利用圆内接四边形的性质求出∠EFC=180°-∠CDE=180°-108°=72°即可.
3．（2024·邱县模拟）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5-2）÷5=108°，
∴组成的正多边形的每个内角为360°-2×108°-24°=120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：n=6，
故答案为：C.
【分析】先求出组成的正多边形的每个内角为360°-2×108°-24°=120°，再结合正多边形的内角和公式及性质可得，再求出n的值即可.
4．（2022七下·资阳期末）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故答案为：C.
【分析】先利用正多边形的内角和公式（n-2）×180°（n大于等于3且n为整数），则正多边形的各内角度数为（n-2）×180°÷n，求出∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，根据邻补角的定义求出∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，再根据三角形内角和等于180°，求出∠BOE＝48°，最后根据周角的定义得出∠COF的度数.
5．（2024·湖南模拟）如图，正五边形的外接圆为为劣弧上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
正五边形的外接圆为，
四边形是内接四边形，
，
；
故答案为：D．
【分析】连接OA，OB，AD，BD，根据正多边形的性质求∠AOB的度数，由圆周角定理求∠ADB的度数，再圆内接四边形的性质即可求解．
6．（2021·海陵模拟）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形 的中心 重合，且与边 、 相交于 、 （如图）.图中阴影部分的面积记为 ，三条线段 、 、 的长度之和记为 ，在大正六边形绕点 旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 变化， 不变 B． 不变， 变化
C． 变化， 变化 D． 与 均不变
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图所示，连接OA，OC，
由正六边形的性质可知，
OA=OC，∠AOC=∠GOH=120°，∠OAG=∠OCH=60°，
∴∠AOG=∠COH，
在△AOG与△COH中，
∴△AOG≌△COH(ASA)，
∴ ，AG=CH，
∴ ，
，
∵正六边形ABCDEF的边长为定值，
∴l不改变，四边形OABC的面积不改变，即S不改变，
故答案为：D.
【分析】如解析图，利用全等三角形的判定与性质，证明△AOG≌△COH，从而得到AG=CH，最终将所求问题转换到四边形OABC中进行判断即可.
7．（2024·南充模拟）如图，在正五边形中，作于，连接与交于下列结论，错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形
∴AB=AE=BC=CD=DE
∴∠ABE=∠AEB=36°，即∠3=36°
∴∠4=108°-∠3=72°
∴∠4=2∠3，②正确，不符合题意
∵∠4=72°，∠D=108°
∴∠4+∠D=180°
∴BE∥CD
∵AF⊥CD
∴AF⊥BE，③正确，不符合题意
∵AB=AE，AF⊥BE
∴∠1=∠2，①正确，不符合题意
在Rt△ABG中，∠ABG=36°，∠1=54°，∠AGB=90°
∴BG≠AB，即BG≠CD，④错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据正五边形的性质，直线平行性质逐项进行判断即可求出答案.
8．（2022·秦皇岛模拟）如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和中心构成的三角形都是等边三角形，
∴EB=4，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴△DEC中，∠CDE=120°，∠DCE=∠DEC=30°，
∴∠BCE=120°-30°=90°，
∴Rt△BCE中，BC=2，则，
∵∠OFE=∠AOF=60°，∴AB∥EF，
∵∠OFE=∠OCB=60°，∴BC∥EF，
∴EF∥AD∥BC，
∵BE=2OB，∴ME=2MN，
∵CE＜ME＜BE，即，
∴．
故答案为： C．
【分析】由正六边形的边长为2可得CD=DE=2可得，再根据ME=2MN可得答案。
9．（2024九下·长沙竞赛）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故答案为：A.
【分析】连接P1P2，P2P3，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
二、填空题
10．（2024八下·婺城期中）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 °．
【答案】12
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】正六边形的每个内角为，每个正五边形的内角为，故∠AOB=360°-120°-120°-108°=12°.
故答案为：12
【分析】根据正多边形的内角和公式进行求出正六边形与正五边形的内角，再用周角减去三个角即可得∠AOB的度数.
11．（2023·台儿庄模拟）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：
【分析】延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，先求出，再证出关于O对称，可得。
12．（2024·米东模拟） 如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，且半径为，则点和点的坐标分别为 ．
【答案】、
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，并设交轴于，如图所示：
正六边形的中心为原点，
，，
，
，
点的坐标为，
点和点关于轴对称，
点的坐标为，
故答案为：、．
【分析】连接，并设交轴于，进而根据正六边形的性质得到，，从而即可得到CG，再运用勾股定理即可得到OG，进而得到点C的坐标，再根据点关于坐标轴对称的坐标变化即可求解。
13．（2024九下·南康模拟）如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在圆上．若，则该圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设圆的圆心为点O，连接OB，BG，过E作，垂足为F，
∵正六边形的每个内角都为，
∴，
在中，，
∴（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理得：
∴，
∴，
在Rt△OBG中，OB2=OG2+BG2，
∴，
∴该圆的半径为，
故答案为：．
【分析】设圆的圆心为点O，连接OB，BG，过E作，垂足为F，利用特殊角的三角函数值求出BG的值，再利用勾股定理计算即可.
三、解答题
14．（2022八上·长顺期中）已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多，求这个正多边形的边数和每个内角的度数.
【答案】解：设这个正多边形的边数为，
根据题意得：，
解得，即这个正多边形的边数为9，
所以每一个内角的度数是.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】 设这个正多边形的边数为n，根据题中的相等关系“多边形的内角和=360°×3+180°”可得关于n的方程，解方程求得n的值；再根据正多边形的每一个角都相等可求得每个内角的度数.
15．（2023七下·道里期末）如图，ABCDE为正五边形．
（1）求∠A的度数；
（2）连接BD，CE，求证：BD＝CE．
【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA，
设∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=x，
则5x=(5-2)×180°，
解得x=108°，
即∠A＝108°；
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
∴△BCD≌△EDC（SAS），
∴BD＝EC．
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由正多边形的各个内角度数相等得∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA，设∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=x，则该五边形的内角和表示为5x或(5-2)×180°，由用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可建立方程，求解即可得出答案；
（2）由正五边形的各边相等，各内角相等得BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，从而用SAS判断出△BCD≌△EDC，根据全等三角形的对应边相等得BD=CE.
四、实践探究题
16．这些图形中的边与角有什么共同特征？
一般地，我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（regular polygon）．边数为五的正多边形叫做正五边形（如图2），边数为六的正多边形叫做正六边形，如图3的两个正多边形分别是正七边形和正八边形．
正多边形有许多优良的性质，匀称美观，常被人们用于图案设计和镶嵌平面（既不留空隙，又不相重叠地拼接）（图4）．
【答案】正三角形、正方形、正六边形的共同特征是各个内角都相等，各条边都相等.
【知识点】正多边形的性质
【解析】【分析】正多边形各个内角都相等，各条边都相等.
五、综合题
17．（2022八上·松山期末）问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下命题题设，请分别补充结论，不用证明．
（1）如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM与CN有何大小关系？
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM与CN有何大小关系？
（3）学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的问题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM与CN的大小关系是怎样的？请说明理由．
（4）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n边形（n≥3）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立？（不要求证明）
【答案】（1）解：BM=CN，理由为：
如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠BCM=∠CAN=60°，BC=CA，
∴∠BCN+∠ACN=60°，
∵∠BON=60°，
∴∠BCN+∠CBM=60°，
∴∠CBM=∠ACN，
∴△BCM≌△CAN（ASA），
∴BM=CN；
（2）解：BM=CN，理由为：
如图2，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCM=∠CDN=90°，BC=CD，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
∵∠BON=90°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN；
（3）解：BM=CN，理由为：
如图3，∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCM=∠CDN=108°，BC=CD，
∴∠BCN+∠DCN=108°，
∵∠BON=108°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN；
（4）解：由（1）（2）（3）的证明过程知，当∠BON= 时，BM=CN．
理由：如图4，∵正n边形ABCDEF…中，
∴∠BCM=∠CDN=，BC=CA，
∴∠BCN+∠DCN=，
∵∠BON=，
∴∠BCN+∠CBM=，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）BM=CN，理由：证明△BCM≌△CAN（ASA），利用全等三角形对应边相等即可求解；
（2）BM=CN，理由：证明△BCM≌△CAN（ASA），利用全等三角形对应边相等即可求解；
（3）BM=CN，理由：证明△BCM≌△CAN（ASA），利用全等三角形对应边相等即可求解；
（4） 当∠BON= 时，BM=CN． 理由： 当∠BON= 时，可推出 ∠CBM=∠DCN， 根据ASA证明△BCM≌△CAN，利用全等三角形对应边相等即可求解.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.7 正多边形 同步练习
一、选择题
1．（2022·山西模拟）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．（2024·仪陇模拟）如图，正五边形内接于，点F为劣弧上的一点，则的度数为（ ）
A．36° B．45° C．60° D．72°
3．（2024·邱县模拟）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022七下·资阳期末）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
5．（2024·湖南模拟）如图，正五边形的外接圆为为劣弧上一点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·海陵模拟）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形 的中心 重合，且与边 、 相交于 、 （如图）.图中阴影部分的面积记为 ，三条线段 、 、 的长度之和记为 ，在大正六边形绕点 旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 变化， 不变 B． 不变， 变化
C． 变化， 变化 D． 与 均不变
7．（2024·南充模拟）如图，在正五边形中，作于，连接与交于下列结论，错误的是( )
A． B． C． D．
8．（2022·秦皇岛模拟）如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．（2024九下·长沙竞赛）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
二、填空题
10．（2024八下·婺城期中）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 °．
11．（2023·台儿庄模拟）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是 ．
12．（2024·米东模拟） 如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，且半径为，则点和点的坐标分别为 ．
13．（2024九下·南康模拟）如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在圆上．若，则该圆的半径为 ．
三、解答题
14．（2022八上·长顺期中）已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多，求这个正多边形的边数和每个内角的度数.
15．（2023七下·道里期末）如图，ABCDE为正五边形．
（1）求∠A的度数；
（2）连接BD，CE，求证：BD＝CE．
四、实践探究题
16．这些图形中的边与角有什么共同特征？
一般地，我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（regular polygon）．边数为五的正多边形叫做正五边形（如图2），边数为六的正多边形叫做正六边形，如图3的两个正多边形分别是正七边形和正八边形．
正多边形有许多优良的性质，匀称美观，常被人们用于图案设计和镶嵌平面（既不留空隙，又不相重叠地拼接）（图4）．
五、综合题
17．（2022八上·松山期末）问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下命题题设，请分别补充结论，不用证明．
（1）如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM与CN有何大小关系？
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM与CN有何大小关系？
（3）学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的问题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM与CN的大小关系是怎样的？请说明理由．
（4）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n边形（n≥3）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立？（不要求证明）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为 =30°，
∵OA=1，
∴AC= OA= ，
∴S△OAB= ×1× = ，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12× =3，
故答案为：B．
【分析】过A作AC⊥OB于C，根据正十二边形的性质求出圆心角为 =30°，再利用含30°角的性质求出AC= OA= ，再求出△OAB的面积，最后乘以12即可得到答案。
2．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于，
∴∠CDE==108°，
∵四边形CDEF是内接四边形，
∴∠EFC+∠CDE=180°，
∴∠EFC=180°-∠CDE=180°-108°=72°，
故答案为：D.
【分析】先利用正多边形的性质及角的运算求出∠CDE==108°，再利用圆内接四边形的性质求出∠EFC=180°-∠CDE=180°-108°=72°即可.
3．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5-2）÷5=108°，
∴组成的正多边形的每个内角为360°-2×108°-24°=120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：n=6，
故答案为：C.
【分析】先求出组成的正多边形的每个内角为360°-2×108°-24°=120°，再结合正多边形的内角和公式及性质可得，再求出n的值即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故答案为：C.
【分析】先利用正多边形的内角和公式（n-2）×180°（n大于等于3且n为整数），则正多边形的各内角度数为（n-2）×180°÷n，求出∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，根据邻补角的定义求出∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，再根据三角形内角和等于180°，求出∠BOE＝48°，最后根据周角的定义得出∠COF的度数.
5．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
正五边形的外接圆为，
四边形是内接四边形，
，
；
故答案为：D．
【分析】连接OA，OB，AD，BD，根据正多边形的性质求∠AOB的度数，由圆周角定理求∠ADB的度数，再圆内接四边形的性质即可求解．
6．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图所示，连接OA，OC，
由正六边形的性质可知，
OA=OC，∠AOC=∠GOH=120°，∠OAG=∠OCH=60°，
∴∠AOG=∠COH，
在△AOG与△COH中，
∴△AOG≌△COH(ASA)，
∴ ，AG=CH，
∴ ，
，
∵正六边形ABCDEF的边长为定值，
∴l不改变，四边形OABC的面积不改变，即S不改变，
故答案为：D.
【分析】如解析图，利用全等三角形的判定与性质，证明△AOG≌△COH，从而得到AG=CH，最终将所求问题转换到四边形OABC中进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形
∴AB=AE=BC=CD=DE
∴∠ABE=∠AEB=36°，即∠3=36°
∴∠4=108°-∠3=72°
∴∠4=2∠3，②正确，不符合题意
∵∠4=72°，∠D=108°
∴∠4+∠D=180°
∴BE∥CD
∵AF⊥CD
∴AF⊥BE，③正确，不符合题意
∵AB=AE，AF⊥BE
∴∠1=∠2，①正确，不符合题意
在Rt△ABG中，∠ABG=36°，∠1=54°，∠AGB=90°
∴BG≠AB，即BG≠CD，④错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据正五边形的性质，直线平行性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和中心构成的三角形都是等边三角形，
∴EB=4，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴△DEC中，∠CDE=120°，∠DCE=∠DEC=30°，
∴∠BCE=120°-30°=90°，
∴Rt△BCE中，BC=2，则，
∵∠OFE=∠AOF=60°，∴AB∥EF，
∵∠OFE=∠OCB=60°，∴BC∥EF，
∴EF∥AD∥BC，
∵BE=2OB，∴ME=2MN，
∵CE＜ME＜BE，即，
∴．
故答案为： C．
【分析】由正六边形的边长为2可得CD=DE=2可得，再根据ME=2MN可得答案。
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故答案为：A.
【分析】连接P1P2，P2P3，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
10．【答案】12
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】正六边形的每个内角为，每个正五边形的内角为，故∠AOB=360°-120°-120°-108°=12°.
故答案为：12
【分析】根据正多边形的内角和公式进行求出正六边形与正五边形的内角，再用周角减去三个角即可得∠AOB的度数.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：
【分析】延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，先求出，再证出关于O对称，可得。
12．【答案】、
【知识点】勾股定理；关于坐标轴对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，并设交轴于，如图所示：
正六边形的中心为原点，
，，
，
，
点的坐标为，
点和点关于轴对称，
点的坐标为，
故答案为：、．
【分析】连接，并设交轴于，进而根据正六边形的性质得到，，从而即可得到CG，再运用勾股定理即可得到OG，进而得到点C的坐标，再根据点关于坐标轴对称的坐标变化即可求解。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设圆的圆心为点O，连接OB，BG，过E作，垂足为F，
∵正六边形的每个内角都为，
∴，
在中，，
∴（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理得：
∴，
∴，
在Rt△OBG中，OB2=OG2+BG2，
∴，
∴该圆的半径为，
故答案为：．
【分析】设圆的圆心为点O，连接OB，BG，过E作，垂足为F，利用特殊角的三角函数值求出BG的值，再利用勾股定理计算即可.
14．【答案】解：设这个正多边形的边数为，
根据题意得：，
解得，即这个正多边形的边数为9，
所以每一个内角的度数是.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】 设这个正多边形的边数为n，根据题中的相等关系“多边形的内角和=360°×3+180°”可得关于n的方程，解方程求得n的值；再根据正多边形的每一个角都相等可求得每个内角的度数.
15．【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA，
设∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=x，
则5x=(5-2)×180°，
解得x=108°，
即∠A＝108°；
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
∴△BCD≌△EDC（SAS），
∴BD＝EC．
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由正多边形的各个内角度数相等得∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA，设∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=x，则该五边形的内角和表示为5x或(5-2)×180°，由用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可建立方程，求解即可得出答案；
（2）由正五边形的各边相等，各内角相等得BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，从而用SAS判断出△BCD≌△EDC，根据全等三角形的对应边相等得BD=CE.
16．【答案】正三角形、正方形、正六边形的共同特征是各个内角都相等，各条边都相等.
【知识点】正多边形的性质
【解析】【分析】正多边形各个内角都相等，各条边都相等.
17．【答案】（1）解：BM=CN，理由为：
如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠BCM=∠CAN=60°，BC=CA，
∴∠BCN+∠ACN=60°，
∵∠BON=60°，
∴∠BCN+∠CBM=60°，
∴∠CBM=∠ACN，
∴△BCM≌△CAN（ASA），
∴BM=CN；
（2）解：BM=CN，理由为：
如图2，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCM=∠CDN=90°，BC=CD，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
∵∠BON=90°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN；
（3）解：BM=CN，理由为：
如图3，∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCM=∠CDN=108°，BC=CD，
∴∠BCN+∠DCN=108°，
∵∠BON=108°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN；
（4）解：由（1）（2）（3）的证明过程知，当∠BON= 时，BM=CN．
理由：如图4，∵正n边形ABCDEF…中，
∴∠BCM=∠CDN=，BC=CA，
∴∠BCN+∠DCN=，
∵∠BON=，
∴∠BCN+∠CBM=，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）BM=CN，理由：证明△BCM≌△CAN（ASA），利用全等三角形对应边相等即可求解；
（2）BM=CN，理由：证明△BCM≌△CAN（ASA），利用全等三角形对应边相等即可求解；
（3）BM=CN，理由：证明△BCM≌△CAN（ASA），利用全等三角形对应边相等即可求解；
（4） 当∠BON= 时，BM=CN． 理由： 当∠BON= 时，可推出 ∠CBM=∠DCN， 根据ASA证明△BCM≌△CAN，利用全等三角形对应边相等即可求解.
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