【培优版】浙教版数学九上3.8 弧长及扇形面积 同步练习
一、选择题
1．（2024·从江模拟）如图， 中，，，以为直径的交于点，则的长为( )
A． B． C． D．
2．（2024·广安）如图，在等腰三角形ABC中，，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·馆陶模拟）如图，在中，直径，点D为AB上方圆上的一点，，于点E，点P是OE上一点，连接DP，AP，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
下列判断正确的是（ ）．
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确
C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
4．（2024·滨江二模）如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·花都模拟）如图，Rt△ABC中，，是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧EF的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·杭州期中）如图，正方形的边长为6，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在上滑动，同时点F在上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·红河模拟）如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·怀集模拟）如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为 ．
10．（2024·宝安模拟）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为 （结果保留）．
11．（2019·哈尔滨模拟）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（2022·番禺模拟）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2022九上·温州期中）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，长为半径画.以D为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
14． 如图， 内接于 交 于点 交 于点 ， 交 于点 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 若 的半径为 ， 求 的长 (结果保留 )．
15．如图，以等腰AABC的底边BC为直径作半圆，交AB，AC于点D，E.
（1）证明：
（2）若∠A=60°，BC=2，求阴影部分面积.
16．（2024九上·朝阳期末）如图1所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取3，结果保留整数）．
四、实践探究题
17．（2024七上·顺德期末）综合探究
将两块三角板如图1所示放置，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝90°，∠DCE＝30°，AC＝CD＝6．将△DCE 绕着点C顺时针旋转时CF平分∠BCD．
（1）如图1，当CD边与CA边重合时，求∠ECF的度数；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠ACD＝2∠ECF时，求线段CD扫过的面积（结果保留π）；
（3）当边CD与CB重合时停止旋转，探究∠ACD与∠ECF满足的数量关系，并说明理由．
18．（2024九下·深圳期中）根据背景素材，探索解决问题．
生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题 求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
解决问题 求OE的长．
任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD'的长．
19．（2024·通辽）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．
（1）【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
（3）【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
五、综合题
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
21．（2024九下·江夏月考）如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OE，
在 中，AB∥CD，
∴∠B=180°-∠C=180°-110°=70°，
∴∠AOE=2∠B=140°，
∵的直径AB=2，
∴OA=1，
∴的长为=π.
故答案为：C.
【分析】由平行新的性质求出∠B的度数，再利用圆周角定理求∠AOE的度数，然后利用弧长公式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD和OE，如图所示，
∵三角形ABC为等腰三角形，O是AB中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
∴的长度为：.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，结合半径相等即可求出和度数，利用平行线的判定求出度数，根据弧长公式即可求出的长度.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】如图，连结AD、OD、BP
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∵OE⊥BD
∴AD∥CE
∴
∴
∵
∴∠AOD=2∠ABD=60°
∵
∴
∴为定值
即阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，为定值
Ⅰ 错误
∵
又∵O为圆心
∴OE垂直平分线段BD
∴PD=PB
∴当A、P、B共线时AP+DP值最小
∴AP+DP值最小值=8
∴
∴ 阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
Ⅱ 正确
故答案为：B.
【分析】连结AD、OD、BP，根据 可得AD∥CE可得，可求出为定值，所以Ⅰ 错误，求阴影部分周长最小值也就是求AP+DP的最小值，根据“将军饮马问题”可得当A、P、B共线时AP+DP值最小，可得到阴影部分周长随点P的位置变化而变化，当点P与O点重合时，阴影部分周长最小， 其最小值为，所以Ⅱ 正确.
4．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：∵ 0A=7，
∴ AB= OA=4
∴ OB=OA-AB=3
∴ S扇===
故答案为C
【分析】本题考查扇形面积公式，熟悉扇形的面积计算是解题关键，已知扇形半径r，扇形弧所对圆心角度数是n，根据面积公式S= 计算可得。题目中，扇面面积=大扇形面积-小扇形面积。
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接， 如图所示：
∴，
四边形为矩形．
∵，
四边形为正方形．
∴，，
∴劣弧的长是．
故答案为：A
【分析】连接， 根据矩形的判定结合正方形的判定得到四边形为正方形，从而根据正方形的性质得到，，再根据弧长的计算公式即可求解。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2
∴ 是等边三角形
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知 是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵M是线段QF的中点，
∴，
∴M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是AF（QF）的中点，
∴，
∴，
同理可求得，
∴，
∴线段QF的中点M所经过的路线长，
故答案为：B.
【分析】连接BM，根据正方形的性质得∠QBF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BM的长，M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，当Q与A重合时，根据勾股定理算出AF的长，根据含30°直角三角形的性质可得∠BAF=30°，M是AF（QF）的中点，有等边对等角得∠ABM=30°，同理求出∠CBM1=30°，所以∠MBM1=30°，进而根据弧长计算公式算出即可.
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故答案为：A．
【分析】根据求解即可。
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=，∴AB=，BC=，∠A=60°。
如图，连接CD，过点C作CM⊥AB，垂足为M，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵以点C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB，CB与点D、E，∴CD=CE=AC=，
∵∠A=60°，∴为等边三角形，∴AD=，∠ACD=60°，
∴BD=AB-AD=，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，
∵∠B=30°，∴，，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为=
故答案为：.
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积的求解。根据∠C=90°，∠B=30°，AC=，求出AB、BC、∠A；再通过做辅助线求出，，扇形ACD和扇形ECD的面积，由图中阴影部分面积之和为即可求解。
10．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴==
∵ ，
∴=
∴ -=-=
∴ 大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为
故答案为：.
【分析】本题考查弧长公式的实际应用，由扇形圆心角（n），扇形半径r可得弧长=，根据公式求出和，求差可得答案。
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵ 的长为 ，
∴ ＝ ，
解得：R＝2，
∴AB＝ADcos30°＝2 ，
∴BC＝ AB＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝3，
∴S△ABC＝ ×BC×AC＝ × ×3＝ ，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝ ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据圆周角的定理可知∠BAC＝∠EBA得到BE∥AD，则 的长的计算公式可得半径R；在解直角三角形可得AB 、BC、AC的长，从而得到S△ABC；因为△BOE和△ABE同底等高，所以△BOE和△ABE面积相等，故图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE。
12．【答案】2π
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=AB=×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= =，
∴AC=2 ，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴
∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
【分析】根据多边形的内角和公式求出∠ABC=∠BAF=120°；根据三角形内角和是180°，解得∠BAC=30°；过B作BH⊥AC于H，解Rt△ABH，求AH，AC；根据扇形的面积公式求阴影部分的面积。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，
∵在正方形ABCD中，有，
∴四边形ABFE是矩形，
∵与的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴△ADG是等边三角形，
∴，
∵，
∴，平分，
∴矩形ABFE的面积为：，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵在中，有，，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，
∴，
∴的面积为：，
同理可求得：，
∵，，
∴扇形ADG的面积为：，
∴弓形AG的面积为：，
∵，，
∴扇形BAG的面积为：，
∴异形BGF的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
∴，
即：，
故答案为：.
【分析】连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，易得四边形ABFE是矩形，△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得AE=ED=1，EG平分∠AGD，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，用三角形的面积公式算出△AEG的面积S1，用扇形面积公式算出扇形ADG、扇形BAG的面积，根据算出弓形AG的面积，根据算出异形BGF的面积，最后根据图形的对称性，由代入计算即可得出答案.
14．【答案】（1）证明：
四边形 ADEB 为平行四边形，
．
（2）解：连结 OC、OA， 如图所示．
由(1) 得
的长 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据两组对边平行证四边形ADEB是平行四边形，根据平行四边形的性质，结合圆周角定理，等腰三角形的判定证明即可；
（2）连结 OC、OA， 根据圆周角定理求∠AOC的度数，根据弧长公式求解即可。
15．【答案】（1）证明：如图1，
连结 BE，CD.
∵BC 为直径，
∴ ∠BDC = ∠BEC = 90°，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
易证△ACD≌△ABE(AAS)， ∴ AD = AE，
∴ AB =AD=AC-AE，
即 BD =CE， ∴ BD =CE.
（2）解：如图2，连结 OD，OE.
∵等腰△ABC中∠A=60°，
∴ △ABC 是等边三角形.
和 是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据BC 为直径可得出∠BDC＝∠BEC＝90°，即可得出∠ADC＝∠AEB＝90°，然后利用“AAS”证明△ACD≌△ABE，可得出AD＝AE，从而可得出BD=AE，即可解答；
（2）先求出OD=OB=1，∠DOE的度数，然后利用S阴影＝S△ABC﹣S△BOD﹣S△COE﹣S扇形DOE即可解答．
16．【答案】（1）解：答案不唯一，例如
以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，抛物线顶点．
设抛物线对应的函数解析式为．
由抛物线经过点，可得，
解得．
．
（2）解：令，
解得（舍去）．
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（2）令， 得，
解得（舍去） ，
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【分析】（1）以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立平面直角坐标系 ，知道顶点 ，设抛物线对应的函数解析式为，利用待定系数法求得a的值，即可求解；
（2）令，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值，再利用扇形的面积公式代入数据计算即可求解.
17．【答案】（1）解：当CD边与CA边重合时，∠BCD＝∠BCA＝90°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCD＝45°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠ECF＝∠DCF﹣∠DCE＝15°，
∴∠ECF为15°；
（2）解：设∠ACD为x°，
∵∠ACD＝2∠ECF，
∴∠ECF＝x°，
∴∠DCF＝x°+30°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝x°+60°，
∵∠BCD+∠ACD＝90°，
∴x°+60°+x°＝90°，
∴x＝15，即∠ACD为15°，
∵
∴线段CD扫过的面积为；
（3）解：当∠ACD＜30°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°+∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°+2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°+2∠ECF＝90°，
∴∠ACD+2∠ECF＝30°；
当30°≤∠ACD＜90°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°﹣∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°﹣2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°﹣2∠ECF＝90°，
∴∠ACD﹣2∠ECF＝30°；
综上所述，当∠ACD＜30°时，∠ACD+2∠ECF＝30°；当30°≤∠ACD＜90°时，∠ACD﹣2∠ECF＝30°．
【知识点】角的运算；扇形面积的计算；图形的旋转；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD，再根据∠ECF=∠DCF-∠DCE，即可求得；
（2）设∠ACD为x°，分别表述出∠ECF，∠DCF，根据角平分线的定义可得∠BCD，再根据∠BCD+∠ACD=90°列方程，解出x，再根据扇形面积的公式计算面积即可；
（3）分两种情况，当∠ACD＜30°和30°≤∠ACD＜90°时，先用∠ECF表示出∠BCD，根据∠ACD+∠BCD=90°，即可求得.
18．【答案】解：任务1由题意得抛物线过点D（8，0），（7，），A（0，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，解得，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为
任务2∵水柱所在抛物线的函数解析式为
当时，，解得x或6，
∵点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
∴F（6，），∵E在OD上，OD⊥EF．
∴E（6，0），∴OE＝6，∴OE的长为6米；
任务3①由题意得OD＝8米，
∴这个喷头最多可洒水的面积为：π（平方米），
答：这个喷头最多可洒水π平方米；
②过点O作OH⊥DD'于H，
由题意得OD＝OD'＝8米，∠DOD'＝360°﹣240°＝120°，
∵OD＝OD'＝8米，OH⊥DD'，
∴DH＝D'HDD'，∠DOH∠DOD'＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OHOD＝4米，DHOH＝4米，
∴DD'＝2DH＝8米．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；弧长的计算；直角三角形的性质；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
任务2：利用（1）结论，求出时x值，即得F（6，），则E（6，0），即可得解；
任务3：①根据扇形的面积公式即可求解；
②过点O作OH⊥DD'于H， 根据垂径定理、等腰三角形及直接三角形的性质解答即可.
19．【答案】问题1：；；问题2：如图，四边形是正方形，，点O是的中点，，，，点O是的中点，，；.
（1）；
（2）证明：如图，四边形是正方形，
，
点O是的中点，
，
，
，
点O是的中点，
，
；.
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：（1）问题1：；；理由如下：
如图，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，，
，
，
；；
（3）解：如图，，，
G在以O为圆心，为半径的上，
过F作于N，
当时，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
而，，
四边形是正方形，
当旋转角从变化到时，G在上运动，
，，，
，
点G经过路线的长度为
【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，，从而结合三角形全等的判定与性质证明得到，，再结合题意得到，从而即可求解；
（2）先根据正方形的性质得到，进而根据中点得到，再根据垂直得到，从而根据中点得到，进而等量代换即可求解；
（3）根据题意得到G在以O为圆心，为半径的上，过F作于N，当时，，，进而结合题意根据勾股定理求出FN和DF，从而根据勾股定理的逆定理得到，再结合题意即可得到，而，，根据正方形的判定与性质得到当旋转角从变化到时，G在上运动，从而结合题意即可得到OA，再根据弧长的计算公式即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 然后根据垂径定理得出 AE=ED；
（2）根据垂径定理得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， 最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质并结合等边对等角得∠GAE=∠EAF，然后根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等可求解；
（2）作AH⊥BF于H，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠C+∠ABC=180°，结合已知可求得∠ABC的度数，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABF是等边三角形，所以可得BF=AB，∠BAF=60°，根据扇形面积公式可求得扇形BAF的面积，根据阴影部分面积的构成S阴影=S扇形ABF-S△ABF可求解.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.8 弧长及扇形面积 同步练习
一、选择题
1．（2024·从江模拟）如图， 中，，，以为直径的交于点，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OE，
在 中，AB∥CD，
∴∠B=180°-∠C=180°-110°=70°，
∴∠AOE=2∠B=140°，
∵的直径AB=2，
∴OA=1，
∴的长为=π.
故答案为：C.
【分析】由平行新的性质求出∠B的度数，再利用圆周角定理求∠AOE的度数，然后利用弧长公式计算即可.
2．（2024·广安）如图，在等腰三角形ABC中，，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD和OE，如图所示，
∵三角形ABC为等腰三角形，O是AB中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
∴的长度为：.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，结合半径相等即可求出和度数，利用平行线的判定求出度数，根据弧长公式即可求出的长度.
3．（2024·馆陶模拟）如图，在中，直径，点D为AB上方圆上的一点，，于点E，点P是OE上一点，连接DP，AP，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
下列判断正确的是（ ）．
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确
C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】如图，连结AD、OD、BP
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∵OE⊥BD
∴AD∥CE
∴
∴
∵
∴∠AOD=2∠ABD=60°
∵
∴
∴为定值
即阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，为定值
Ⅰ 错误
∵
又∵O为圆心
∴OE垂直平分线段BD
∴PD=PB
∴当A、P、B共线时AP+DP值最小
∴AP+DP值最小值=8
∴
∴ 阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为．
Ⅱ 正确
故答案为：B.
【分析】连结AD、OD、BP，根据 可得AD∥CE可得，可求出为定值，所以Ⅰ 错误，求阴影部分周长最小值也就是求AP+DP的最小值，根据“将军饮马问题”可得当A、P、B共线时AP+DP值最小，可得到阴影部分周长随点P的位置变化而变化，当点P与O点重合时，阴影部分周长最小， 其最小值为，所以Ⅱ 正确.
4．（2024·滨江二模）如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：∵ 0A=7，
∴ AB= OA=4
∴ OB=OA-AB=3
∴ S扇===
故答案为C
【分析】本题考查扇形面积公式，熟悉扇形的面积计算是解题关键，已知扇形半径r，扇形弧所对圆心角度数是n，根据面积公式S= 计算可得。题目中，扇面面积=大扇形面积-小扇形面积。
5．（2024·花都模拟）如图，Rt△ABC中，，是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接， 如图所示：
∴，
四边形为矩形．
∵，
四边形为正方形．
∴，，
∴劣弧的长是．
故答案为：A
【分析】连接， 根据矩形的判定结合正方形的判定得到四边形为正方形，从而根据正方形的性质得到，，再根据弧长的计算公式即可求解。
6．（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2
∴ 是等边三角形
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知 是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.
7．（2022九上·杭州期中）如图，正方形的边长为6，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在上滑动，同时点F在上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵M是线段QF的中点，
∴，
∴M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是AF（QF）的中点，
∴，
∴，
同理可求得，
∴，
∴线段QF的中点M所经过的路线长，
故答案为：B.
【分析】连接BM，根据正方形的性质得∠QBF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BM的长，M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，当Q与A重合时，根据勾股定理算出AF的长，根据含30°直角三角形的性质可得∠BAF=30°，M是AF（QF）的中点，有等边对等角得∠ABM=30°，同理求出∠CBM1=30°，所以∠MBM1=30°，进而根据弧长计算公式算出即可.
8．（2022·红河模拟）如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故答案为：A．
【分析】根据求解即可。
二、填空题
9．（2024·怀集模拟）如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=，∴AB=，BC=，∠A=60°。
如图，连接CD，过点C作CM⊥AB，垂足为M，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵以点C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB，CB与点D、E，∴CD=CE=AC=，
∵∠A=60°，∴为等边三角形，∴AD=，∠ACD=60°，
∴BD=AB-AD=，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，
∵∠B=30°，∴，，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为=
故答案为：.
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积的求解。根据∠C=90°，∠B=30°，AC=，求出AB、BC、∠A；再通过做辅助线求出，，扇形ACD和扇形ECD的面积，由图中阴影部分面积之和为即可求解。
10．（2024·宝安模拟）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为 （结果保留）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴==
∵ ，
∴=
∴ -=-=
∴ 大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为
故答案为：.
【分析】本题考查弧长公式的实际应用，由扇形圆心角（n），扇形半径r可得弧长=，根据公式求出和，求差可得答案。
11．（2019·哈尔滨模拟）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵ 的长为 ，
∴ ＝ ，
解得：R＝2，
∴AB＝ADcos30°＝2 ，
∴BC＝ AB＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝3，
∴S△ABC＝ ×BC×AC＝ × ×3＝ ，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝ ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据圆周角的定理可知∠BAC＝∠EBA得到BE∥AD，则 的长的计算公式可得半径R；在解直角三角形可得AB 、BC、AC的长，从而得到S△ABC；因为△BOE和△ABE同底等高，所以△BOE和△ABE面积相等，故图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE。
12．（2022·番禺模拟）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=AB=×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= =，
∴AC=2 ，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴
∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
【分析】根据多边形的内角和公式求出∠ABC=∠BAF=120°；根据三角形内角和是180°，解得∠BAC=30°；过B作BH⊥AC于H，解Rt△ABH，求AH，AC；根据扇形的面积公式求阴影部分的面积。
13．（2022九上·温州期中）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，长为半径画.以D为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，
∵在正方形ABCD中，有，
∴四边形ABFE是矩形，
∵与的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴△ADG是等边三角形，
∴，
∵，
∴，平分，
∴矩形ABFE的面积为：，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵在中，有，，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，
∴，
∴的面积为：，
同理可求得：，
∵，，
∴扇形ADG的面积为：，
∴弓形AG的面积为：，
∵，，
∴扇形BAG的面积为：，
∴异形BGF的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
∴，
即：，
故答案为：.
【分析】连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，易得四边形ABFE是矩形，△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得AE=ED=1，EG平分∠AGD，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，用三角形的面积公式算出△AEG的面积S1，用扇形面积公式算出扇形ADG、扇形BAG的面积，根据算出弓形AG的面积，根据算出异形BGF的面积，最后根据图形的对称性，由代入计算即可得出答案.
三、解答题
14． 如图， 内接于 交 于点 交 于点 ， 交 于点 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 若 的半径为 ， 求 的长 (结果保留 )．
【答案】（1）证明：
四边形 ADEB 为平行四边形，
．
（2）解：连结 OC、OA， 如图所示．
由(1) 得
的长 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据两组对边平行证四边形ADEB是平行四边形，根据平行四边形的性质，结合圆周角定理，等腰三角形的判定证明即可；
（2）连结 OC、OA， 根据圆周角定理求∠AOC的度数，根据弧长公式求解即可。
15．如图，以等腰AABC的底边BC为直径作半圆，交AB，AC于点D，E.
（1）证明：
（2）若∠A=60°，BC=2，求阴影部分面积.
【答案】（1）证明：如图1，
连结 BE，CD.
∵BC 为直径，
∴ ∠BDC = ∠BEC = 90°，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
易证△ACD≌△ABE(AAS)， ∴ AD = AE，
∴ AB =AD=AC-AE，
即 BD =CE， ∴ BD =CE.
（2）解：如图2，连结 OD，OE.
∵等腰△ABC中∠A=60°，
∴ △ABC 是等边三角形.
和 是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据BC 为直径可得出∠BDC＝∠BEC＝90°，即可得出∠ADC＝∠AEB＝90°，然后利用“AAS”证明△ACD≌△ABE，可得出AD＝AE，从而可得出BD=AE，即可解答；
（2）先求出OD=OB=1，∠DOE的度数，然后利用S阴影＝S△ABC﹣S△BOD﹣S△COE﹣S扇形DOE即可解答．
16．（2024九上·朝阳期末）如图1所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取3，结果保留整数）．
【答案】（1）解：答案不唯一，例如
以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，抛物线顶点．
设抛物线对应的函数解析式为．
由抛物线经过点，可得，
解得．
．
（2）解：令，
解得（舍去）．
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（2）令， 得，
解得（舍去） ，
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【分析】（1）以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立平面直角坐标系 ，知道顶点 ，设抛物线对应的函数解析式为，利用待定系数法求得a的值，即可求解；
（2）令，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值，再利用扇形的面积公式代入数据计算即可求解.
四、实践探究题
17．（2024七上·顺德期末）综合探究
将两块三角板如图1所示放置，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝90°，∠DCE＝30°，AC＝CD＝6．将△DCE 绕着点C顺时针旋转时CF平分∠BCD．
（1）如图1，当CD边与CA边重合时，求∠ECF的度数；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠ACD＝2∠ECF时，求线段CD扫过的面积（结果保留π）；
（3）当边CD与CB重合时停止旋转，探究∠ACD与∠ECF满足的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：当CD边与CA边重合时，∠BCD＝∠BCA＝90°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCD＝45°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠ECF＝∠DCF﹣∠DCE＝15°，
∴∠ECF为15°；
（2）解：设∠ACD为x°，
∵∠ACD＝2∠ECF，
∴∠ECF＝x°，
∴∠DCF＝x°+30°，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝x°+60°，
∵∠BCD+∠ACD＝90°，
∴x°+60°+x°＝90°，
∴x＝15，即∠ACD为15°，
∵
∴线段CD扫过的面积为；
（3）解：当∠ACD＜30°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°+∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°+2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°+2∠ECF＝90°，
∴∠ACD+2∠ECF＝30°；
当30°≤∠ACD＜90°时，如图：
∵∠DCE＝30°，
∴∠DCF＝30°﹣∠ECF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCF＝60°﹣2∠ECF，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD+60°﹣2∠ECF＝90°，
∴∠ACD﹣2∠ECF＝30°；
综上所述，当∠ACD＜30°时，∠ACD+2∠ECF＝30°；当30°≤∠ACD＜90°时，∠ACD﹣2∠ECF＝30°．
【知识点】角的运算；扇形面积的计算；图形的旋转；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD，再根据∠ECF=∠DCF-∠DCE，即可求得；
（2）设∠ACD为x°，分别表述出∠ECF，∠DCF，根据角平分线的定义可得∠BCD，再根据∠BCD+∠ACD=90°列方程，解出x，再根据扇形面积的公式计算面积即可；
（3）分两种情况，当∠ACD＜30°和30°≤∠ACD＜90°时，先用∠ECF表示出∠BCD，根据∠ACD+∠BCD=90°，即可求得.
18．（2024九下·深圳期中）根据背景素材，探索解决问题．
生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题 求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
解决问题 求OE的长．
任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD'的长．
【答案】解：任务1由题意得抛物线过点D（8，0），（7，），A（0，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，解得，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为
任务2∵水柱所在抛物线的函数解析式为
当时，，解得x或6，
∵点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
∴F（6，），∵E在OD上，OD⊥EF．
∴E（6，0），∴OE＝6，∴OE的长为6米；
任务3①由题意得OD＝8米，
∴这个喷头最多可洒水的面积为：π（平方米），
答：这个喷头最多可洒水π平方米；
②过点O作OH⊥DD'于H，
由题意得OD＝OD'＝8米，∠DOD'＝360°﹣240°＝120°，
∵OD＝OD'＝8米，OH⊥DD'，
∴DH＝D'HDD'，∠DOH∠DOD'＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OHOD＝4米，DHOH＝4米，
∴DD'＝2DH＝8米．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；弧长的计算；直角三角形的性质；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
任务2：利用（1）结论，求出时x值，即得F（6，），则E（6，0），即可得解；
任务3：①根据扇形的面积公式即可求解；
②过点O作OH⊥DD'于H， 根据垂径定理、等腰三角形及直接三角形的性质解答即可.
19．（2024·通辽）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．
（1）【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
（3）【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
【答案】问题1：；；问题2：如图，四边形是正方形，，点O是的中点，，，，点O是的中点，，；.
（1）；
（2）证明：如图，四边形是正方形，
，
点O是的中点，
，
，
，
点O是的中点，
，
；.
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：（1）问题1：；；理由如下：
如图，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，，
，
，
；；
（3）解：如图，，，
G在以O为圆心，为半径的上，
过F作于N，
当时，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
而，，
四边形是正方形，
当旋转角从变化到时，G在上运动，
，，，
，
点G经过路线的长度为
【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，，从而结合三角形全等的判定与性质证明得到，，再结合题意得到，从而即可求解；
（2）先根据正方形的性质得到，进而根据中点得到，再根据垂直得到，从而根据中点得到，进而等量代换即可求解；
（3）根据题意得到G在以O为圆心，为半径的上，过F作于N，当时，，，进而结合题意根据勾股定理求出FN和DF，从而根据勾股定理的逆定理得到，再结合题意即可得到，而，，根据正方形的判定与性质得到当旋转角从变化到时，G在上运动，从而结合题意即可得到OA，再根据弧长的计算公式即可求解。
五、综合题
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 然后根据垂径定理得出 AE=ED；
（2）根据垂径定理得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， 最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
21．（2024九下·江夏月考）如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质并结合等边对等角得∠GAE=∠EAF，然后根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等可求解；
（2）作AH⊥BF于H，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠C+∠ABC=180°，结合已知可求得∠ABC的度数，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABF是等边三角形，所以可得BF=AB，∠BAF=60°，根据扇形面积公式可求得扇形BAF的面积，根据阴影部分面积的构成S阴影=S扇形ABF-S△ABF可求解.
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