【基础版】浙教版数学九上4.1 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·武义期末）已知，则下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．，
2．（2019九上·昌图期末）一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．（2024九上·裕华开学考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·义乌期中）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．（2024九上·威宁期末）已知，若，则＝（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
6．（2023九上·安徽期中）已知，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·杭州月考）已知P为线段AB的黄金分割点，AB＝4，AP＞BP，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·盘州期末）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2019九上·宝安期中）已知＝＝＝k，则k的值是 ．
10．（2021九上·滨江期末）两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1： .
11．（2024九上·黔江期末）已知，则的值为 ．
12．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
三、解答题
13．（2024九上·定边期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长．
14．（2024九上·临江期末）已知，，，是的三边，且，，求的面积.
15．（2023九上·余江期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？
16．（2023九上·瑞安月考）
（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A.∵，∴3x=2y，故本选项不正确；
B. ∵，设，则，故本选项不正确；
C. ∵，∴，故本选项正确；
D.∵，∴x＝2，y＝3不一定成立，故本选项错误.
故答案为：C
【分析】根据比例的性质将等式变形并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个.
【分析】根据黄金分割点的定义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D．
【分析】先结合“”可得，再求出即可.
4．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据比例线段的性质（最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，它们的积相等），结合题意即可求解
5．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可.
6．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A：∵，
∴a：b=9：12，式子错误，不符合题意；
B：∵，
∴a：b=6：8，式子正确，符合题意；
C：∵，
∴a：b≠（a+3)：（b+3)，式子错误，不符合题意；
D：∵，
∴a：b=3：4，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对每个选项逐一计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴，
又∵AB=4，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，则，把AB=4代入即可.
8．【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，根据黄金分割的性质可得.
9．【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1；
2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k
∴k=2
综上所述：k=2或-1.
【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值.
10．【答案】60000000
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：1200千米＝120000000厘米，
2：120000000＝1：60000000.
故答案为：60000000.
【分析】1200千米＝120000000厘米，然后根据图上距离：实际距离=比例尺进行解答.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，所以
故答案为： .
【分析】设，用k分别表示出a，b，c，再代入求值 .
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
13．【答案】解：已知，，，是成比例线段，
根据成比例线段的定义得，
代入，，得：，
解得：，
∴线段的长为
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据成比例线段的性质，可得ad=bc；将已知a、b、c的值代入，即可解得d的值.
14．【答案】解：设，
∴，，，
又∵，∴，
∴，∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为6.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质
【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
15．【答案】解：设这双高跟鞋的高度为合适，
由题意得：，解得：，
，
这双高跟鞋的高度偏高．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设这双高跟鞋的高度为合适，利用黄金分割比例出方程求出x的值，再比较大小即可.
16．【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab=4.5×2=9，
解得：c1=3，c2=-3，
∴c为3或-3.
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，
∴.
【知识点】黄金分割；比例中项
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解；
（2）根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，即可求解.
1 / 1【基础版】浙教版数学九上4.1 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·武义期末）已知，则下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A.∵，∴3x=2y，故本选项不正确；
B. ∵，设，则，故本选项不正确；
C. ∵，∴，故本选项正确；
D.∵，∴x＝2，y＝3不一定成立，故本选项错误.
故答案为：C
【分析】根据比例的性质将等式变形并结合各选项即可判断求解.
2．（2019九上·昌图期末）一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个.
【分析】根据黄金分割点的定义即可求解.
3．（2024九上·裕华开学考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D．
【分析】先结合“”可得，再求出即可.
4．（2023九上·义乌期中）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据比例线段的性质（最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，它们的积相等），结合题意即可求解
5．（2024九上·威宁期末）已知，若，则＝（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可.
6．（2023九上·安徽期中）已知，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A：∵，
∴a：b=9：12，式子错误，不符合题意；
B：∵，
∴a：b=6：8，式子正确，符合题意；
C：∵，
∴a：b≠（a+3)：（b+3)，式子错误，不符合题意；
D：∵，
∴a：b=3：4，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对每个选项逐一计算求解即可。
7．（2024九上·杭州月考）已知P为线段AB的黄金分割点，AB＝4，AP＞BP，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴，
又∵AB=4，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，则，把AB=4代入即可.
8．（2024九上·盘州期末）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，根据黄金分割的性质可得.
二、填空题
9．（2019九上·宝安期中）已知＝＝＝k，则k的值是 ．
【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1；
2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k
∴k=2
综上所述：k=2或-1.
【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值.
10．（2021九上·滨江期末）两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1： .
【答案】60000000
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：1200千米＝120000000厘米，
2：120000000＝1：60000000.
故答案为：60000000.
【分析】1200千米＝120000000厘米，然后根据图上距离：实际距离=比例尺进行解答.
11．（2024九上·黔江期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，所以
故答案为： .
【分析】设，用k分别表示出a，b，c，再代入求值 .
12．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
三、解答题
13．（2024九上·定边期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长．
【答案】解：已知，，，是成比例线段，
根据成比例线段的定义得，
代入，，得：，
解得：，
∴线段的长为
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据成比例线段的性质，可得ad=bc；将已知a、b、c的值代入，即可解得d的值.
14．（2024九上·临江期末）已知，，，是的三边，且，，求的面积.
【答案】解：设，
∴，，，
又∵，∴，
∴，∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为6.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质
【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
15．（2023九上·余江期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？
【答案】解：设这双高跟鞋的高度为合适，
由题意得：，解得：，
，
这双高跟鞋的高度偏高．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设这双高跟鞋的高度为合适，利用黄金分割比例出方程求出x的值，再比较大小即可.
16．（2023九上·瑞安月考）
（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab=4.5×2=9，
解得：c1=3，c2=-3，
∴c为3或-3.
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，
∴.
【知识点】黄金分割；比例中项
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解；
（2）根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，即可求解.
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