【提升版】浙教版数学九上4.1 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·余杭月考）若2x＝5y，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=5y，
∴.
故答案为：B
【分析】利用比例的基本性质，可将等积式转化为比例式.
2．（2021九上·覃塘期中）若四条线段a，b，c，d成比例，且a＝2cm，b cm，c cm，则线段d的长是（ ）
A． cm B．3 cm C． cm D．2 cm
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：四条线段a，b，c，d成比例，
∴ 即 ，
∴ cm.
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义先列出比例式，再代值求解即可.
3．（2021九上·温州期末）若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用比例的基本性质合比性质，进行变形后即可得出结果.
4．（2019九上·正定期中）已知线段 ， ，线段 是 ， 的比例中项，则 等于（ ）
A．36 B．6 C．-6 D．6或-6
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，
∴
∴
∴x=±6，x= 6(舍去).
故答案为：B.
【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
5．（2024九上·鄞州期末）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点，且，则线段AC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的定义及性质即可得结果.
6．（2024九上·杭州月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圆 的半径
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长.
7．（2024九上·铜仁期末） “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点P是的黄金分割点，
，
的长为，
，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割点的定义进行计算即可.
二、填空题
8．（2020九上·简阳月考）若 ，则 = .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵
∴
∴原式＝
故答案为：
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案.
9．（2024九上·深圳期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美，如图，点P为的黄金分割点.如果的长度为，那么的长度为 .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意可得，，且BP=2cm，
∴ AP=.
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的含义列出等式，求解即可.
10．（2024九上·瑞安开学考）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ．
【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：线段是线段和线段的比例中项，
，
，，
∴b2=16，
∴，
∴b1=4，b2=-4(舍去).
故答案为：4．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则b2=ac，从而代值后利用直接开平方法求解后根据实际问题进行取舍即可.
11．（2024九上·洞口开学考）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
所以，
所以米，
故填：．
【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解．
三、解答题
12．（2024九上·自贡期末）如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
【答案】解：设线段的长为，则
即，整理得
解得（不合题意舍去）
黄金分割数为：
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割的概念，结合一元二次方程的解法求解即可。
13．（2024九上·遂川期末）
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值．
【答案】（1）解：
，
∴，
∴解得，；
（2）解：∵2，3，6，a成比例，
∴．
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；比例线段
【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便；
（2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或），那么，这四条线段叫做成比例线段。
14．（2023九上·永康月考）已知：线段a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）如果对于线段a，b，c，满足a+b+c=36，求a，b，c的值.
【答案】（1）解：∵=，
∴=，
∴==；
（2）解：设===k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
∴k=3，
∴a=9，b=12，c=15．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；
（2）首先设===k，则a=3k，b=4k，c=5k，利用a+b+c=36求出k的值即可得出答案.
15．（2024九上·平山期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点E、点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接、、，求的面积；
（3）是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请直接写出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
，，
所以点E的坐标为，
点E在反比例函数上，代入，得到，
故反比例函数解析式为；
（2）解：如图1，连接、、，
，
时，，
，
即，，，
，
；
（3）解：存在点P，坐标为，
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理的应用；矩形的性质；比例的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，
，
设所求点坐标为，
，，
，
，
，
当时，
，
即，，
解得，，
故；
当时，
，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点，坐标为，．
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，进而结合题意根据比例即可得到点E的坐标，再代入函数解析式即可求解；
（2）连接、、，进而将x=8代入求出y，从而即可得到，，再根据“”即可求解；
（3）设所求点坐标为， 进而结合题意运用坐标系中两点间的距离公式得到，，，进而根据勾股定理结合题意分类讨论：当时，当时，从而即可求解。
1 / 1【提升版】浙教版数学九上4.1 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·余杭月考）若2x＝5y，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·覃塘期中）若四条线段a，b，c，d成比例，且a＝2cm，b cm，c cm，则线段d的长是（ ）
A． cm B．3 cm C． cm D．2 cm
3．（2021九上·温州期末）若 ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019九上·正定期中）已知线段 ， ，线段 是 ， 的比例中项，则 等于（ ）
A．36 B．6 C．-6 D．6或-6
5．（2024九上·鄞州期末）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点，且，则线段AC的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024九上·铜仁期末） “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2020九上·简阳月考）若 ，则 = .
9．（2024九上·深圳期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美，如图，点P为的黄金分割点.如果的长度为，那么的长度为 .
10．（2024九上·瑞安开学考）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ．
11．（2024九上·洞口开学考）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．
三、解答题
12．（2024九上·自贡期末）如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
13．（2024九上·遂川期末）
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值．
14．（2023九上·永康月考）已知：线段a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）如果对于线段a，b，c，满足a+b+c=36，求a，b，c的值.
15．（2024九上·平山期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点E、点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接、、，求的面积；
（3）是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请直接写出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=5y，
∴.
故答案为：B
【分析】利用比例的基本性质，可将等积式转化为比例式.
2．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：四条线段a，b，c，d成比例，
∴ 即 ，
∴ cm.
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义先列出比例式，再代值求解即可.
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用比例的基本性质合比性质，进行变形后即可得出结果.
4．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，
∴
∴
∴x=±6，x= 6(舍去).
故答案为：B.
【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的定义及性质即可得结果.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圆 的半径
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长.
7．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点P是的黄金分割点，
，
的长为，
，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割点的定义进行计算即可.
8．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵
∴
∴原式＝
故答案为：
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案.
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意可得，，且BP=2cm，
∴ AP=.
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的含义列出等式，求解即可.
10．【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：线段是线段和线段的比例中项，
，
，，
∴b2=16，
∴，
∴b1=4，b2=-4(舍去).
故答案为：4．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则b2=ac，从而代值后利用直接开平方法求解后根据实际问题进行取舍即可.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
所以，
所以米，
故填：．
【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解．
12．【答案】解：设线段的长为，则
即，整理得
解得（不合题意舍去）
黄金分割数为：
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割的概念，结合一元二次方程的解法求解即可。
13．【答案】（1）解：
，
∴，
∴解得，；
（2）解：∵2，3，6，a成比例，
∴．
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；比例线段
【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便；
（2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或），那么，这四条线段叫做成比例线段。
14．【答案】（1）解：∵=，
∴=，
∴==；
（2）解：设===k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
∴k=3，
∴a=9，b=12，c=15．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；
（2）首先设===k，则a=3k，b=4k，c=5k，利用a+b+c=36求出k的值即可得出答案.
15．【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
，，
所以点E的坐标为，
点E在反比例函数上，代入，得到，
故反比例函数解析式为；
（2）解：如图1，连接、、，
，
时，，
，
即，，，
，
；
（3）解：存在点P，坐标为，
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理的应用；矩形的性质；比例的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，
，
设所求点坐标为，
，，
，
，
，
当时，
，
即，，
解得，，
故；
当时，
，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点，坐标为，．
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，进而结合题意根据比例即可得到点E的坐标，再代入函数解析式即可求解；
（2）连接、、，进而将x=8代入求出y，从而即可得到，，再根据“”即可求解；
（3）设所求点坐标为， 进而结合题意运用坐标系中两点间的距离公式得到，，，进而根据勾股定理结合题意分类讨论：当时，当时，从而即可求解。
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